第二章空间的平面和直线

1、第二章 空间的平面和直线本章教学目的：通过本章的学习，使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式，熟练掌握平面与空间直线间各种位置关系的解析条件，会求平面与空间直线间各种距离和夹角.本章教学重点：（1）空间坐标系下平面、直线方程的几种重要形式； （2）平面与空间直线间各种位置关系的解析条件； （3）平面与空间直线各种度量关系的量化公式.本章教学难点：（1）空间直线一般方程向标准方程的转化； （2）综合运用位置关系的解析条件求平面、空间直线方程.本章教学内容：§2.1 仿射坐标系中平面的方程，两平面的相关位置2.1.1 平面的参数方程和普通方程确定一个平面的条件有：不在同一直线上的

2、三个点；一条直线和直线外的一点；两条相交或平行直线.为了利用向量法，我们将利用“一点和两个不共线的向量来确定一个平面”.约定：表示平面；定义：与平面平行的一对非共线向量，称为的方位向量.与垂直的非零向量，称为的法线向量，简称法向量.一. 平面的参数方程 1.已知上一点及其方位向量时： 建立坐标系，设=,对动点,设，则共面共面, 的向量式参数方程 （1） 若令，则的坐标式参数方程 （2）二 平面的普通方程 为得到的普通方程，我们有共面=0, 的一般（普通）方程 （3）即， (4)其中 （1）（3）统称为的点位式方程.三 平面的其他方程1. 已知平面上三非共线点,建立坐标系，设. 对动点，令,由（

3、1），（2），（3）有 （5）=0. （6） （4）（6）统称为平面的三点式方程. 特别地，若是与三坐标轴的交点，即,则=0, （7）即 的截距式方程. 其中称为在三坐标轴上的截距.2. 已知平面上一点及其法向量： 建立直角坐标系,设, (图3.1)对动点，令，则, （8）的点法式方程或法线式方程.特别地，若是自向所作垂线的垂足，而,且记， （9）其中，该方程称为的法式方程，它有如下特征： 1°一次项系数的平方和等于1； 2°常数项。四一般方程向法式方程的转化： 在直角坐标系下，若已知的一般方程为，则是的法向量，而法式方程（9）中的一次项系数是的一特殊单位法向量的分量。将一

4、般方程化为法式方程只需在一般方程两边同乘以因子有，再据选取的符号即可。下面，我们介绍平面方程中系数的几何意义。定理 设平面的方程是(4),则向量平行于平面的充分必要条件是。证明:的充分必要条件是共面,从而,即.因为平面的方程中不全为0,取,令,则,并且不共线. 由于与平面平行的两个不共线的向量可以决定平面的定向,因此平面方程中一次项系数可以平面的定向。推论 设平面的是(4),则平面平行于轴（或轴）的充分必要条件是；平面通过原点的充分必要条件是。定理在空间取定一个仿射坐标系，则平面的方程必定是三元一次方程；反之，任意一个三元一次方程表示一个平面。证明：由平面普通方程的建立知平面的平面的方程必定是

5、三元一次方程. 反之，给一个三元一次方程（6），不妨设，取三点， 由于，则不共线,即不共线,从而它们确定的平面的方程为, 展开即为（6）。例题：画出平面。2.1.2 两平面的相关位置定理取定一个仿射坐标系，设平面的方程分别为： (10)则（1） 与相交的充分必要条件是它们方程中的一次项系数不成比例；（2） 与平行的充分必要条件是它们方程中的一次项系数成比例，但常数项不与这些系数成比例；（3） 与重合的充分必要条件是它们方程中的所有系数成比例。证明: 充分性(必要条件)。(1) 设平面的方程中一次项系数不成比例,则向量不共线,由定理1.4知不全为。 在(10)中,令,得 (11)由于该方程组(1

6、1)的系数行列式不为,所以(11)有唯一解。于是是(10)的一解,则与有公共点,并且第三个坐标为0的公共点只有一个。可以取到点是上的点，但不是上的点，所以与相交。 （2） 由已知条件得，存在一个实数，使得。于是（10）变为 因为，所以该方程组无解，即与平行。（3）由已知条件得，存在一个实数，使得。于是（10）变为 显然两个方程同解，即与重合。2.1.3 三平面恰交于一点的条件命题设三个平面在仿射坐标系中的方程分别为:. （12）则这三平面恰交于一点的条件的充分必要条件是.证明：上述三个平面交于一点等价于方程组（12）有唯一解，从而（12)的系数行列式不等于。作业 习题 2.1: 1（1），（3

7、），（5），2（3），9，11。§2.2 直角坐标系中平面的方程,点到平面的距离2.2.1 直角坐标系中方程的系数的几何意义法向量:与平面垂直的非零向量，称为的法线向量，简称法向量。, （8）的点法式方程或法线式方程. 由(8)可看出:直角坐标系中方程的系数的几何意义: 在直角坐标系中,平面方程的一次项系数是平面的一个法向量,即。2.2.2 点到平面的距离一 离差：定义：设为自原点指向平面的单位矢量，为空间中一点，自向引垂线，垂足为，称在法矢上的射影，xyzOPQM0为与间的离差。可见，当位于的指向的一侧时，否则。(图3.2)命题2.1：若平面的法式方程为 ，则与间的离差。事实上，命

8、题2.2 在直角坐标系中,点到平面的距离是。证明：作，垂足，则到平面的距离是。平面的一个法向量，由于，所以, (13)在(13)两边用作内积得于是。2.2.3 三元一次不等式的几何意义设平面，则空间中任一点与间的离差而是固定地，所以上式的符号取决于，从而有：对平面一侧的点，使得而对另一侧的点，使得。当然，对上的点，使得。例1：证明线段与相交，而线段与不相交，其中。证：略2.2.4 两个平面的夹角定义：两个相交平面的夹角是指交成四个二面角中任一个。其中两个等于两个平面法向量的夹角，另两个等于。两个平行或重合的平面的夹角为或。 若在直角坐标系中，两个平面方程为，则两个平面的夹角满足。特别地有。例2

9、: 设在直角坐标系中，平面的方程分别为。求由构成的二面角的角平分面的方程，在此二面角内有点.解：点在所求的角平分面上的充分必要条件是：到两平面距离相等，并且与必须都在的同一侧或都在两平面的交线上。因为的坐标适合所以的坐标满足条件，并且适合或者解得，这就是所求的二面角的角平分面的方程。作业习题2.2：4，5，8，9。§2.3 直线的方程，直线、平面间的相关位置2.3.1 直线的方程一、 直线的参数方程：利用：“一点和一个非零向量决定一条直线”来建立直线方程。建立坐标系，设,非零向量，求过点且方向向量为的直线方程。根据点在直线上的充分必要条件是。再设的定位向量为，则有。 -直线的向量式参

10、数方程. （3.1）其中是参数,其几何意义是点在直线上中的坐标.(直线的任一方向向量的坐标叫做该直线的一组方向数，而它的方向余弦叫做该直线的方向余弦.)由(3.1)得 - 直线的坐标式参数方程. (3.2) 二、 空间直线的对称式方程：若一非零向量平行于一条已知直线，这个向量就称之该直线的方向向量. 显然，直线上的任何向量均平行于直线的方向向量。我们知道，过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线，因此，当直线上的一点和它的一个方向向量给定之后，空间直线的位置就完全确定了。下面，我们来建立这种直线的方程.(图3.4)如图(3.5)，设是直线上的任一点，则，而，故 。 -直线的对称式(或标

11、准、点向式)方程. (3.3.1)反过来，如果点不在直线上，则与不平行，从而(3.3)式不成立。若不全为，不妨设，(3.3)式可改写为以下形式 () 可整理为其中，上述两个平面分别平行于轴，我们把()叫做直线的射影式方程。3、 直线的两点式方程：若已知直线上两点，则成为直线的一个方向向量，得直线的方程：。 -直线的两点式方程. (3.4)四、 直线的普通（一般）方程：空间直线可看成两平面和的交线。事实上，若两个相交的平面和的方程分别为那么空间直线上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程，即应满足方程组 (3.5)反过来，如果点不在直线上，那么它不可能同时在平面和的上，所以它的坐标不满足方程组(

12、3.5)。因此，可用方程组(3.5)表示，方程组(3.5)叫做直线的一般方程。一般说来，过空间一直线的平面有无限多个，所以只要在无限多个平面中任选其中的两个，将它们的方程联立起来，就得到了空间直线的方程。例1 用对称式方程及其参数方程表示直线解 先找出这直线上的一点，如：取代入方程组得解此二元一次方程组得，于是，得到直线上的一点。再找该直线的一个方向向量，由于两平面的交线与两平面的法线向量都垂直，可取因此，所给直线的对称式方程为；直线的参数方程为2.3.2 两条直线的相关位置一、空间两直线的位置关系：设二直线。下面讨论空间两直线的相关位置问题. 由直线上定点，上的定点，得矢量，根据三矢量的关系

13、可得下面的定理。定理： 空间两直线的相关位置关系如下：10 异面：; ()20相交：， ； （） 30平行：； （）40重合：. （）2.3.3 直线和平面的相关位置一 各种位置关系的解析条件：设直线与平面。则 （1）与相交唯一的，使得； 所以有与相交； （2） 不存在唯一的使得； （3） 在上存在无穷多个使得。推论：但不在上。例题2.3 在直角坐标系中，直线的方程为，求过并且平行于轴的平面的方程以及在平面上的投影的方程。例题2.3 在仿射坐标系中，求过点，与平面平行，且与直线，相交的直线的方程。解：略。作业习题2.3： 4（1），5（2），7，8（3），9（3），10（2），11（2），（4

14、）。§2.4 点、直线和平面之间的度量关系2.4.1 点到直线的距离 设空间中有一点及一直线，是上的一点，则有。2.4.2 两条直线之间的距离定义2.1 两条直线上的点之间的最短距离称为这两条直线间的距离。定义2.2 分别与两条异面直线垂直相交（正交）的直线称为与的公垂线，两垂足的连线段称为公锤线段。命题2.4 两条异面直线的公垂线存在而且唯一。证明:存在性。因为不平行于，所以与不共线，于是决定一个平面。同理，决定一个平面。因为不平行于，根据习题1.5的11题知：与不共线，它们分别是平面和的法向量，于是和必相交，设交线为，的方向向量为：，根据习题1.5的10题知：这个向量等于，因此为

15、直线的一个方向向量。由于，所以。因为与都在内，且不平行于，所以与都相交，这说明是的公垂线。唯一性。假设也是的公垂线，则的方向向量垂直于，从而就是的方向向量。因为在由和所确定的平面内，所以是与的交线，于是与重合。命题2.5：二条异面直线与的公垂线段间长就与间的距离。证明：设是与的公垂线段。在上任取一点。作出由决定一个平面，于是公垂线。由作的垂线，垂足为，因为，所以。于是。所以是与上的点之间的最短距离。命题2.6 假设二异面直线与的方程分别为。则与间的距离为：。证明：假设二异面直线与的公锤线段为，因为公垂线的方向向量为，所以。记，则= 若直线方程在直角系下给出，则。注：该公式的几何意义是：两条异面

16、直线与间的距离等于以为棱的平行六面体的体积除以以为邻边的平行四边形的面积。4.3 两条直线的夹角，直线和平面的夹角1、 两直线的夹角：定义2.3 两条直线的夹角规定为它们的方向向量的夹角或它的补角。命题：设在直角坐标系下，两直线方程为。则。L1L2M1M1(图3.5)定义2.4 直线与平面（不垂直）的夹角规定为与它在平面上的垂直投影所夹的锐角；当时，与平面的夹角规定为。 设平面的法向量为的方向向量为。则有。因此有 。补充内容平面束与平面把一 平面束：1定义：空间中过一定直线的所有平面的集合称为有轴平面束，称为这平面束的轴；空间中平行于一定平面的所有平面的集合称为平行平面束。 有轴、平行平面束统

17、称为平面束。2 方程：定理1：对任一对确定的不全为的实数，方程， （1）表示过二相交平面的交线的一个平面；反之，对过的任一平面，必存在不全为0的实数，使的方程为（1）证明：先证（1）表示过的平面。方程（1）整理为。我们断言：上式中的系数不全为，其实若不然，则有，这与与相交矛盾。所以（1）表示一平面，又显然过与的交线。 下证：对任意过的平面，必存在不全为0的实数，使的方程为（1）。首先，若，取，若，取。一般地，若，取上一点。于是，即 ，因，故全不为，因此可取，则（1）便表示过的一平面，又显示该平面过，所以这平面就是。例：求过二平面的交线，且过原点的平面的方程。解：略。定理2：设在方程（1）中，则

18、对任意一对满足的不全为0的实数，（1）表示平行于的一个平面；反之，对任意平行于的平面，必存在满足的不全为0的实数，使的方程为（1）。证明：先证，对任意一对满足的不全为0的实数，（1）表示平行于的平面。由于，所以，从而（1）表示一平面，又，则，所以。 再证：对任意平行于的平面，必存在不全为的且满足 的实数，使的方程为（1）。 首先，若，取；若，取，显然此时有要么同时为0，要么同时非0）。 一般地，若，取上一点，同定理1的证明类似。取满足。下面验证。 其实，若不然，则， 即 ， 而，所以，进一步有，这与已知不符，所以，即（1）表示一平行于的平面， 又显然在该平面上，所以这平面正是。定理3：设平面，则的方程可表为。证明：事实上，“”显然。“”若，且设，则由两