第十一节(变化率与导数)

1、第十一节变化率与导数、导数的计算知识能否忆起一、导数的概念1函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0).(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2函数f(x)的导函数称函数f(x)为f(x)的导函数二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)

2、sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)三、导数的运算法则1f(x)±g(x)f(x)±g(x)；2f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；3.(g(x)0)(理)4.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyu·ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积小题能否全取1(教材习题改编)若f(x)xex，则f(1)()A0BeC2e De2解析：选Cf(

3、x)exxex，f(1)2e.2曲线yxln x在点(e，e)处的切线与直线xay1垂直，则实数a的值为()A2 B2C.D解析：选A依题意得y1ln x，yxe1ln e2，所以×21，a2.3(教材习题改编)某质点的位移函数是s(t)2t3gt2(g10 m/s2)，则当t2 s时，它的加速度是()A14 m/s2B4 m/s2C10 m/s2D4 m/s2解析：选A由v(t)s(t)6t2gt，a(t)v(t)12tg，得t2时，a(2)v(2)12×21014(m/s2)4(2012·广东高考)曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_解析：y3x21，

4、yx13×1212.该切线方程为y32(x1)，即2xy10.答案：2xy105函数yxcos xsin x的导数为_解析：y(xcos x)(sin x)xcos xx(cos x)cos xcos xxsin xcos xxsin x.答案：xsin x1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误2曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线yf(x)在点P(x0，y0

5、)处的切线是指P为切点，切线斜率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线(2)曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条利用导数的定义求函数的导数典题导入例1用定义法求下列函数的导数(1)yx2；(2)y.自主解答(1)因为2xx，所以y (2xx)2x.(2)因为y，4·，所以.由题悟法根据导数的定义，求函数yf(x)在xx0处导数的步骤(1)求函数值的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)计算导数f(x0)li.以题试法1一质点运动的方程为s83t2.(1)求质点在1,1t这段时间内的平均速度

6、；(2)求质点在t1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)解：(1)s83t2，s83(1t)2(83×12)6t3(t)2，63t.(2)法一(定义法)：质点在t1时的瞬时速度vlili (63t)6.法二(导数公式法)：质点在t时刻的瞬时速度vs(t)(83t2)6t.当t1时，v6×16.导数的运算典题导入例2求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)y；自主解答(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y.则y(ln u)u·2，即y.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可

7、减少运算量(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误以题试法2求下列函数的导数(1)yex·ln x；(2)yx；解：(1)y(ex·ln x)exln xex·ex.(2)yx31，y3x2.导数的几何意义典题导入例3(1)(2011·山东高考)曲线yx311在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9B3C9 D15(2)设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()AB2C4 D自主解答(1)y3x2，故曲线在点P(1

8、,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y123(x1)，令x0得y9.(2)曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，g(1)k2.又f(x)g(x)2x，f(1)g(1)24，故切线的斜率为4.答案(1)C(2)C若例3(1)变为：曲线yx311，求过点P(0,13)且与曲线相切的直线方程解：因点P不在曲线上，设切点的坐标为(x0，y0)，由yx311，得y3x2，ky|xx03x.又k，3x.x1，即x01.k3，y010.所求切线方程为y103(x1)，即3xy130.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)

9、求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知切线过某点M(x1，f(x1)(不是切点)求切点，设出切点A(x0，f(x0)，利用kf(x0)求解以题试法3(1)(2012·新课标全国卷)曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_(2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线yxb与曲线yxln x相切，则b的值为()A2 B1CD1解析：(1)y3ln x13，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y14(x1)，即y4x3.(2)设切点的坐标为，依题意，对于曲线yxln

10、x，有y，所以，得a1.又切点 在直线yxb上，故b，得b1.答案：(1)y4x3(2)B典例(2012·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于()A1或B1或C或D或7尝试解题设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或x0，当x00时，由y0与yax2x9相切可得a，当x0时，由yx与yax2x9相切可得a1.答案A易错提醒针对训练1(2012·广州模拟)已知曲线C：f(x)x3axa，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜

11、角互补，则a的值为()A.B2C2 D解析：选A设切点坐标为(t，t3ata)由题意知，f(x)3x2a，切线的斜率为ky|xt3t2a.所以切线方程为y(t3ata)(3t2a)(xt)将点(1,0)代入式得(t3ata)(3t2a)(1t)，解得t0或t.分别将t0和t代入式，得ka和ka，由题意得它们互为相反数，得a.2已知曲线y3xx3及点P(2,2)，则过点P的切线条数为_解析：设A(x0，y0)为切点，y33x2，y.kAPy|xx0，33x，即x3x20，解得x01或x01±.故切线有3条答案：31函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2)B2(x2a

12、2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析：选Cf(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)2已知物体的运动方程为st2(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t2时的速度为()A.B.C.D.解析：选Ds2t，s|t24.3 (2012·哈尔滨模拟)已知a为实数，函数f(x)x3ax2(a2)x的导函数f(x)是偶函数，则曲线yf(x)在原点处的切线方程为()Ay3xBy2xCy3xDy2x解析：选Bf(x)x3ax2(a2)x，f(x)3x22axa2.f(x)为偶函数，a0.f(x)3x22.f(0)2.曲线yf(x)在原点处的切线方程为y2x.4设曲线y在点处的切线与直线

13、xay10平行，则实数a等于()A1 B.C2 D2解析：选Ay，y|x1.由条件知1，a1.5若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A1 B.C.D.解析：选B设P(x0，y0)到直线yx2的距离最小，则y|xx02x01.得x01或x0(舍)P点坐标(1,1)P到直线yx2距离为d.6f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f(x)g(x)，则f(x)与g(x)满足()Af(x)g(x) Bf(x)g(x)0Cf(x)g(x)为常数函数 Df(x)g(x)为常数函数解析：选C由f(x)g(x)，得f(x)g(x)0，即f(x)g

14、(x)0，所以f(x)g(x)C(C为常数)7(2013·郑州模拟)已知函数f(x)ln xf(1)x23x4，则f(1)_.解析：f(x)2f(1)x3，f(1)12f(1)3，f(1)2，f(1)1438.答案：88(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_解析：易知抛物线yx2上的点P(4,8)，Q(2,2)，且yx，则过点P的切线方程为y4x8，过点Q的切线方程为y2x2，联立两个方程解得交点A(1，4)，所以点A的纵坐标是4.答案：49(2012·黑

15、龙江哈尔滨二模)已知函数f(x)xsin xcos x的图象在点A(x0，y0)处的切线斜率为1，则tan x0_.解析：由f(x)xsin xcos x得f(x)cos xsin x，则kf(x0)cos x0sin x01，即sin x0cos x01，即sin1.所以x02k，kZ，解得x02k，kZ.故tan x0tantan.答案：10求下列函数的导数(1)yx·tan x；(2)y(x1)(x2)(x3)；解：(1)y(x·tan x)xtan xx(tan x)tan xx·tan xx·tan x.(2)y(x1)(x2)(x3)(x1)

16、(x2)(x3)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x3)3x212x11.11已知函数f(x)x，g(x)a(2ln x)(a>0)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线解：根据题意有曲线yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)3，曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a.所以f(1)g(1)，即a3.曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1)，得：y13(x1)，即切线方程为3xy40.曲线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1)得y63(x1)，即切线方程为3xy90，所以，两条切线不是同一条直

17、线12设函数f(x)x3ax29x1，当曲线yf(x)斜率最小的切线与直线12xy6平行时，求a的值解：f(x)3x22ax9329，即当x时，函数f(x)取得最小值9，因斜率最小的切线与12xy6平行，即该切线的斜率为12，所以912，即a29，即a±3.1(2012·商丘二模)等比数列an中，a12，a84，f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，f(x)为函数f(x)的导函数，则f(0)()A0 B26C29D212解析：选Df(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，f(x)x(xa1)(xa8)x(xa1)(xa8)(xa1)(xa8)x(xa1)(xa8)，f(

18、0)(a1)·(a2)··(a8)0a1·a2··a8(a1·a8)4(2×4)4(23)4212.2已知f1(x)sin xcos x，记f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn(x)fn1(x)(nN*，n2)，则f1f2f2 012_.解析：f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)(cos xsin x)sin xcos x，f4(x)cos xsin x，f5(x)sin xcos x，以此类推，可得出fn(x)fn4(x)，又f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)0，f1f2f2 0

19、12503f1f2f3f40.答案：03已知函数f(x)x33x及yf(x)上一点P(1，2)，过点P作直线l，根据以下条件求l的方程(1)直线l和yf(x)相切且以P为切点；(2)直线l和yf(x)相切且切点异于P.解：(1)由f(x)x33x得f(x)3x23，过点P且以P(1，2)为切点的直线的斜率f(1)0，故所求的直线方程为y2.(2)设过P(1，2)的直线l与yf(x)切于另一点(x0，y0)，则f(x0)3x3.又直线过(x0，y0)，P(1，2)，故其斜率可表示为，所以3x3，即x3x023(x1)(x01)解得x01(舍去)或x0，故所求直线的斜率为k3.所以l的方程为y(2

20、)(x1)，即9x4y10.设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解：(1)方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又f(x)a，则解得故f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0·(xx0)，即y(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处

21、的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.第十二节导数的应用(一)知识能否忆起1函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数2函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数

22、的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值小题能否全取1(教材习题改编)若函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极

23、值，则a等于()A2B3C4 D5解析：选Df(x)3x22ax3，f(3)0，a5.2(2012·辽宁高考)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)解析：选B函数yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，则可得0<x1.3(2012·陕西高考)设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：选D求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)ex(x1)0，解得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点4函数f(x)x23x4在0,2上

24、的最小值是_解析：f(x)x22x3，f(x)0，x0,2，得x1.比较f(0)4，f(1)，f(2).可知最小值为.答案：5已知a>0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是_解析：f(x)3x2a在x1，)上f(x)0，则f(1)0a3.答案：31.f(x)>0与f(x)为增函数的关系：f(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0，所以f(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件2可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f(x0)0是可导函数f(x)在xx0处取得

25、极值的必要不充分条件例如函数yx3在x0处有y|x00，但x0不是极值点此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点3可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较运用导数解决函数的单调性问题典题导入例1(2012·山东高考改编)已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间自主解答(1)由f(x)，得f(x)，x(0，)，由于曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线与x轴平行，所以f(1

26、)0，因此k1.(2)由(1)得f(x)(1xxln x)，x(0，)，令h(x)1xxln x，x(0，)，当x(0,1)时，h(x)>0；当x(1，)时，h(x)<0.又ex>0，所以x(0,1)时，f(x)>0；x(1，)时，f(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)由题悟法求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)，令f(x)0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x

27、)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性以题试法1已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，ex0，x220，解得x.函数f(x)的单调递增区间是(，)(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f(x)0对xR

28、都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立ex0，x2(a2)xa0对xR都成立(a2)24a0，即a240，这是不可能的故不存在a使函数f(x)在R上单调递减运用导数解决函数的极值问题典题导入例2(2012·江苏高考)若函数yf(x)在xx0处取得极大值或极小值，则称x0为函数yf(x)的极值点已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点自主解答(1)由题设知f(x)3x22axb，且f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得a0，b3.(2)由(1)知f(x)x33x.因

29、为f(x)2(x1)2(x2)，所以g(x)0的根为x1x21，x32，于是函数g(x)的极值点只可能是1或2.当x2时，g(x)0；当2x1时，g(x)0，故2是g(x)的极值点当2x1或x1时，g(x)0，故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极值点为2.由题悟法求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f(x)0的根；(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；(4)由f(x)0根的两侧导数的符号来判断f(x)在这个根处取极值的情况以题试法2设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x)，若函数yf(x)的图象关于直线x对称，且f(1)0.(1)求

30、实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值解：(1)因为f(x)2x3ax2bx1，故f(x)6x22axb，从而f(x)62b，即yf(x)关于直线x对称从而由题设条件知，即a3.又由于f(1)0，即62ab0，得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，所以f(x)6x26x126(x1)(x2)，令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x2或x1，当x(，2)时，f(x)>0，即f(x)在(，2)上单调递增；当x(2,1)时，f(x)<0，即f(x)在(2,1)上单调递减；当x(1，)时，f(x)>0，即f(x)在(1，)上单调递增从而函数f(x)在x2处

31、取得极大值f(2)21，在x1处取得极小值f(1)6.运用导数解决函数的最值问题典题导入例3已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值自主解答(1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0<k1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，

32、在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11时，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.本题条件不变，求f(x)在区间0,1上的最大值解：当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增所以f(x)在0,1上的最大值为f(1)(1k)e.当0<k1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最大值为f(0)和f(1)较大者若f(0)f(1)，所以k(1k)e，即k.当1<k<时函数f(x

33、)的最大值为f(1)(1k)e，当k<2时，函数f(x)的最大值为f(0)k，当k11时，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减所以f(x)在0,1上的最大值为f(0)k.综上所述，当k<时，f(x)的最大值为f(1)(1k)e.当k时，f(x)的最大值为f(0)k.由题悟法求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值以题试法3 (2012·重庆高考)已知函数f(x)ax3bxc在点x2处取

34、得极值c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最小值解：(1)因f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b，由于f(x)在点x2处取得极值c16，故有即化简得解得a1，b12.(2)由(1)知f(x)x312xc；f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)>0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)<0，故f(x)在(2,2)上为减函数；当x(2，)时，f(x)>0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x12处取得极大值f(2)16c，f(x)在x12处取

35、得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，得c12.此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.导数是解决函数问题的重要工具，利用导数解决函数的单调性问题、求函数极值、最值及解决生活中的最优化问题，是高考考查的热点，在解答题中每年必考，常与不等式、方程结合考查，试题难度较大，因此对该部分知识要加大训练强度，提高解题能力“大题规范解答得全分”系列之(二)导数的应用问题答题模板典例(2012北京高考·满分13分)已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具

36、有公共切线，求a，b的值；(2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值教你快速规范审题1审条件，挖解题信息2审结论，明解题方向3建联系，找解题突破口解方程组1审条件，挖解题信息2审结论，明解题方向3建联系，找解题突破口问题转化为求函数h(x)f(x)g(x),x3ax2 a2x1的导数增区间为和，单调递减区间为当1，即0<a2时，h(x)maxh(1)a当<1<，即2<a<6时，h(x)maxh()1当1，即6a时，h(x)maxh()1教你准确规范解题(1)f(x)2ax，g(x)3x2b，因为曲线yf(x)与曲线yg(x)

37、在它们的交点(1，c)处具有公切线，所以(2分)即解得ab3.(3分)(2)设h(x)f(x)g(x)，a24b，h(x)f(x)g(x)x3ax2a2x1.则h(x)3x22axa2，令h(x)0，解得x1，x2.(5分)由a>0，得h(x)与h(x)的变化情况如下：xh(x)00h(x)函数h(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为.(7分)当1，即0<a2时，函数h(x)在区间(，1上单调递增，h(x)在区间(，1上的最大值为h(1)a；(8分)当<1<，即2<a<6时，函数h(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间(，1上的最大值为h1；(1

38、0分)当1，即a6时，函数h(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，又因为hh(1)1aa2(a2)2>0，所以h(x)在区间(，1上的最大值为h1.(12分)综上所述：当a(0,2时，最大值为h(1)a；当a(2，)时，最大值为h1.(13分)常见失分探因易忽视条件“在它们的交点(1，c)处具有公切线”的双重性而造成条件缺失，不能列出关于a，b的方程组，从而使题目无法求解.易将单调递增区间写成并集“ (，) (，)”或“ (，)或 (，)”而导致错误.易忽视对a的分类讨论或分类不准确造成解题错误教你一个万能模板用导数求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步解答：

39、第一步求函数f(x)的导数f(x)第二步求函数f(x)在给定区间上的单调区间第三步求函数f(x)在给定区间上的极值第四步求函数f(x)在给定区间上的端点值第五步比较函数f(x)的各极值与端点值的大小，确定函数f(x)的最大值和最小值第六步反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范如本题的关键点是确定函数f(x)的单调区间；易错点是忽视对参数a的讨论1函数f(x)xeln x的单调递增区间为()A(0，)B(，0)C(，0)和(0，) DR解析：选A函数定义域为(0，)，f(x)1>0，故单调增区间是(0，)2(2012·“江南十校”联考)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x

40、)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()Af(b)>f(c)>f(d)Bf(b)>f(a)>f(e)Cf(c)>f(b)>f(a)Df(c)>f(e)>f(d)解析：选C依题意得，当x(，c)时，f(x)>0；当x(c，e)时，f(x)<0；当x(e，)时，f(x)>0.因此，函数f(x)在(，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，)上是增函数，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)3(2012·陕西高考)设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)

41、的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析：选D函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，当x2时，f(x)0；当x>2时，f(x)>0，函数f(x)为增函数；当0<x<2时，f(x)<0，函数f(x)为减函数，所以x2为函数f(x)的极小值点4(2012·大纲全国卷)已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c()A2或2 B9或3C1或1 D3或1解析：选A设f(x)x33xc，对f(x)求导可得，f(x)3x23，令f(x)0，可得x±1，易知f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减若

42、f(1)13c0，可得c2；若f(1)13c0，可得c2.5若f(x)，e<a<b，则()Af(a)>f(b) Bf(a)f(b)Cf(a)<f(b) Df(a)f(b)>1解析：选Af(x)，当x>e时，f(x)<0，则f(x)在(e，)上为减函数，f(a)>f(b)6函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是()A20 B18C3 D0解析：选A因为f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x±1，所以1,1为函数的极值点又f(3)19，f(1)1，f(1

43、)3，f(2)1，所以在区间3,2上f(x)max1，f(x)min19.又由题设知在区间3,2上f(x)maxf(x)mint，从而t20，所以t的最小值是20.7已知函数f(x)x3mx2(m6)x1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是_解析：f(x)3x22mxm60有两个不等实根，即4m212×(m6)>0.所以m>6或m<3.答案：(，3)(6，)8已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1,1，则f(m)的最小值为_解析：求导得f(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即3×42a×20，故a3

44、.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x.由此可得f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以对m1,1时，f(m)minf(0)4.答案：49已知函数yf(x)x33ax23bxc在x2处有极值，其图象在x1处的切线平行于直线6x2y50，则f(x)极大值与极小值之差为_解析：y3x26ax3b，y3x26x，令3x26x0，则x0或x2.f(x)极大值f(x)极小值f(0)f(2)4.答案：410已知函数f(x)ax2bln x在x1处有极值.(1)求a，b的值；(2)判断函数yf(x)的单调性并求出单调区间解：(1)f(x)2ax.又f(x)在x1处有极值.即解

45、得a，b1.(2)由(1)可知f(x)x2ln x，其定义域是(0，)，且f(x)x.由f(x)<0，得0<x<1；由f(x)>0，得x>1.所以函数yf(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，)11(2012·重庆高考)设f(x)aln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值解：(1)因f(x)aln xx1，故f(x).由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x>0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2义域内，舍去当x(0,1)时，f(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)>0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3.12已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在x1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(