函数奇偶性的性质应用

1、函数奇偶性的应用一、利用函数的奇偶性判断函数的单调性1 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反2 奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大对于偶函数，如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即自变量的正负不统一，应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间，然后再根据单调性判断例假设奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，那么f(x)在b，a上是增函数，且有最小值M.例假设偶函数f(x)在(，0)上是减函数，那么f(x)在(0，)上是增函数例 如果f(x)是R上的奇函数，且在3,

2、6上有最大值4，最小值2，那么函数f(x)在6，3上的最大值和最小值各是多少？提示：奇函数的图象关于原点对称，联想图象可知函数f(x)在6，3上的最大值为2，最小值为4.例假设函数yf(x)(xR)是奇函数，且f(1)<f(2)，那么必有()Af(1)<f(2) Bf(1)>f(2)Cf(1)f(1) Df(2)f(1)解析：f(1)<f(2)，f(1)>f(2)又f(x)是奇函数，f(1)>f(2)答案：B例 函数yf(x)(xR)是奇函数，图象必过点A a, f(a) B-a, f(a) Ca, f(a)D-a, f(a)例设f(x)是R上的偶函数，且在

3、0，)上单调递增，那么f(2)，f()，f(3)的大小顺序是_解析：f(x)是R上的偶函数，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上递增，而2<3<，f()>f(3)>f(2)，即f()>f(3)>f(2)答案：f()>f(3)>f(2)例函数f(x)是R上的偶函数，且在0，)上单调递增，那么以下各式成立的是()Af(2)>f(0)>f(1)Bf(2)>f(1)>f(0)Cf(1)>f(0)>f(2)Df(1)>f(2)>f(0)解析：f(x)是R上的偶函数，f(2)f(2)，又f(x)

4、在0，)上递增，f(2)>f(1)>f(0)答案：B例函数f(x)在区间5,5上是奇函数，在区间0,5上是单调函数，且f(3)<f(1)，那么()Af(1)<f(3)Bf(0)>f(1)Cf(1)<f(1) Df(3)>f(5)思路分析：要比较各函数值的大小，需判断函数在区间5,5上的单调性，根据题意，应首先判断函数在区间0,5上的单调性解析：函数f(x)在区间0,5上是单调函数，又3>1，且f(3)<f(1)，故此函数在区间0,5上是减函数由条件及奇函数性质，知函数f(x)在区间5,5上是减函数选项A中，3<1，故f(3)>f

5、(1)选项B中，0>1，故f(0)<f(1)同理选项C中f(1)>f(1)，选项D中f(3)<f(5)答案：A例设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数假设x1x2>0，x2x3>0，x3x1>0，那么()Af(x1)f(x2)f(x3)>0Bf(x1)f(x2)f(x3)<0Cf(x1)f(x2)f(x3)0Df(x1)f(x2)>f(x3)解析：利用减函数和奇函数的性质判断x1x2>0，x1>x2.又f(x)是定义在R上单调递减的奇函数，f(x1)<f(x2)f(x1)f(x2)<0.同理，可得f(x2)f(

6、x3)<0，f(x1)f(x2)<0.2f(x1)2f(x2)2f(x3)<0.f(x1)f(x2)f(x3)<0.答案：B例2021年陕西文科卷定义在R上的偶函数满足：对任意的，有那么 A 答案：A例定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2(，0(x1x2)，有(x2x1)·f(x2)f(x1)>0.那么当nN时，有()Af(n)<f(n1)<f(n1)Bf(n1)<f(n)<f(n1)Cf(n1)<f(n)<f(n1) Df(n1)<f(n1)<f(n)思路分析：先判断出函数f(x)的单调性，

7、再转化为同一单调区间内判断函数值的大小关系解析：由(x2x1)f(x2)f(x1)>0得f(x)在x(，0为增函数又f(x)为偶函数，所以f(x)在x0，)为减函数又f(n)f(n)且0n1<n<n1，f(n1)<f(n)<f(n1)，即f(n1)<f(n)<f(n1)答案：C例假设y(a1)x22ax3为偶函数，那么在(，3内函数的单调区间为_解析：a0，yx23结合二次函数的单调性知答案：增区间(，0)，减区间0,3例 定义在区间(，)上的奇函数为增函数，偶函数在区间0，)上的图象与的图象重合，设0，给出以下不等式： 1f()f()g()g()；

8、2f()f()g()g()； 3f()f()g()g()； 4f()f()g()g() 其中成立的是 A (1)与(4) B (2)与(3) C (1)与(3) D (2)与(4) 解析：根据函数、的奇偶性将四个不等式化简，得： 1f()f()g()g()； 2f()f()g()g()； 3f()f()g()g()； 4f()f()g()g() 再由题义，有 显然1、3正确，应选C【技巧提示】具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间内的单调性，因而往往与不等式联系紧密二. 求函数的函数值和函数解析式此类问题的一般解法是：(1)“求谁那么设谁，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区

9、间内(2)要利用区间的解析式进行代入(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)例函数yf(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，那么方程f(x)0的所有实根之和是()A4B2C1D0思路分析：以偶函数的图象特征进行判断解析：偶函数yf(x)的图象关于y轴对称，f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称因此，假设一根为x1，那么它关于y轴对称的根为x1；假设一根为x2，那么它关于y轴对称的根为x2，故f(x)0的四根之和为x1(x1)x2(x2)0.应选D.例是偶函数，且定义域为，那么例.函数，假设为奇函数，那么_。 例. 设其中a,b,c为常数，且，试求f(2)的值。 解：

10、设，易证g(x)是奇函数，故 于是 两式相加得：，即例：且，那么例.f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)x32x3，求f(x)在x<0时的解析式解：f(x)是偶函数，f(x)f(x)，x<0，x>0，f(x)(x)32(x)3x32x3.f(x)x32x3(x<0)例.函数f(x)在0,+上的解析式是f(x)=2x+1，根据以下条件求函数在-，0上的解析式.1f(x)是偶函数；2f(x)是奇函数. 例 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，。试求此函数的解析式。 解：1当x0时，于是； 2当x<0时，那么，由于f(x)是定义在R上的奇函数，那

11、么 此函数的解析式为 例f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)x22x2.(1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间解(2)先画出yf(x)(x>0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应yf(x)(x<0)的图象，其图象如以下列图所示由图可知，其增区间为1,0)及(0,1，减区间为(，1及1，)例f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)x|x2|，求x<0时，f(x)的表达式解：x<0，那么x>0，f(x)(x)|(x)2|.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)(x)|(x)2|x|x2|.故当x<0时，

12、f(x)x|x2|. 于原点对称，f(a)求f(a)，可尝试利用函数的奇偶性 f(x)u(x)1，f(x)u(x)1， f(x)f(x)u(x)u(x)2 u(x)是奇函数，u(x)u(x)0， f(x)f(x)2，那么 例. 设，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，求f(x)的表示式。 解：f(x)是奇函数，有；g(x)是偶函数，有，那么 即 两式相减得例 设x(1，1)，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)2lg(1x)，求10f(x)和10g(x)的表达式 解：法一：与上例同法二：x(1，1)关于原点对称，又f(x)是偶函数f(x)f(x)，g(x)是奇函数g(x)g(

13、x)，设f(x)g(x)2lg(1x)F(x)，那么F(x)2lg(1x)，而F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)， 2f(x)F(x)F(x) 2lg(1x)lg(1x) 2lg(1x2) 又2g(x)F(x)F(x) 2lg(1x)lg(1x)三. 解不等式例假设函数f(x)满足f(x)f(x)，又在(0，)上单调递增，且f(3)0，那么不等式x·f(x)<0的解集是_解析：f(x)f(x)，f(x)为奇函数，那么f(x)的简图如右图所示当x<0时，f(x)>0，那么x(3,0)；当x>0时，f(x)<0，那么x(0,3)答案：(3,0)(0,3

14、) 例. 2004年上海卷设奇函数f(x)的定义域是-5，5。当时，f(x)的图象如图1，那么不等式f(x)<0的解是_。图1 解：根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质，画出函数在区间-5，5上的图象如图2，易知不等式的解是。图2四. 函数的奇偶性的综合应用题 解决有关函数的奇偶性、单调性以及求字母取值范围的综合问题时，一般先利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性脱去函数的符号“f，转化为解不等式(组)的问题需要注意的是：在转化时，自变量必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f时，需转化为含符号“f的形式例函数f(x)是定义域为实数集R的偶函数，且在区间0，)上是增函数，假设

15、f(m)f(2)，求实数m的取值范围解：函数f(x)是实数集R上的偶函数，且在0，)上是增函数，所以f(x)在(，0)上是减函数当m<0时，由f(m)f(2)，知m2；当m0时，由f(m)f(2)，f(2)f(2)，可得f(m)f(2)，知m2.故所求的m的取值范围为(，22，)例 函数f(x)是奇函数x 0，当x 0，+时是增函数，假设=0，求不等式0的解集。思路分析：由f(x)的奇偶性及函数在(0，)上的单调性，不难得出f(x)在(，0)上的单调性再将不等式两边化为函数值的形式，利用单调性便可脱去函数记号“f，于是问题转化为解不等式答案 例 偶函数在定义域为R，且在，0上单调递减，求

16、满足 的的集合解析：偶函数在，0上单调递减，在0，上单调递增根据图象的对称性，等价于解之，满足条件的的集合为1，例 yf(x)是定义在(1，1)上的偶函数，且f(x)在(0，1)上是增函数，假设f(a2)f(4a2)0，试确定a的取值范围 解 因f(x)是定义在(1，1)上的偶函数，故它在关于原点对称的两个区间(0，1)和(1，0)上具有相反的单调性而f(x)在(0，1)上是增函数，于是f(x)在(1，0)上为减函数，且f(4a2)f(a24) 根据f(a2)f(4a2)f(a24)，考虑几种情况： (1)当a2和a24都在(0，1)上时，有 (2)当a2和a24都在(1，0)上时，有 (3)当a2和a24分别在(1，0)、(0，1)或(0，1)、(1，0)时，相应的不等式组无解例 f(x)是定义在1,1上的奇函数，对任意a、b1,1，当ab0时，都有>0.(1)假设a>b，试比较f(a)与f(b)的大小；(2)解不等式f(x)<f(2x)解：(1)假设a>b，那么ab>0，依题意有>0成立，f(a)f(b)>0.又f(x)是奇函数，f(a)f(b)>0，即f(a)>f(b)(2)由(1)可知f(x)在1,1上是增函