第4章_机器人动力学

1、.机器人学基础机器人学基础智能科学基础系列课程教学团队智能科学基础系列课程教学团队“机器人学机器人学”课程配套教材课程配套教材蔡自兴蔡自兴 主编主编中南大学中南大学2009.2第四章 机器人动力学分析机器人操作的动态数学模型，主要采用下列两种理论：动力学基本理论，包括牛顿欧拉方程。拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程。 对于动力学，有两个相反的问题：其一是已知机械手各关节的作用力或力矩，求各关节的位移、速度和加速度，求得运动轨迹。其二是已知机械手的运动轨迹，即各关节的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或力矩。 机器人学基础.34.1 刚体动力学拉格朗日函数L被定义为系统的动能K和位能P

2、之差，即:系统动力学方程式，即拉格朗日方程如下： 式中， 为表示动能和位能的坐标， 为相应的速度，而 为作用在第i个坐标上的力或是力矩。 第四章 机器人动力学PKLniqLqLdtdiii, 2 , 1, F(4.1)(4.2)iqiq iF.44.1.1 刚体的动能与位能2002112121xxMMK0011201)(21gxgxxxMMkP201)(21xx D01FxFx W4.1 刚体动力学图4.1 一般物体的动能与位能.54.1.1 刚体的动能与位能 为广义坐标 其中，左式第一项为动能随速度（或角速度）和时间的变化；第二项为动能随位置（或角度）的变化；第三项为能耗随速度变化；第四项为

3、位能随位置的变化。右式为实际外加力或力矩。表示为一般形式： 4.1 刚体动力学1, 0 xx 11111xWxPxDxKxKdtdgFxxx111111MdcM .64.1.1 刚体的动能与位能 均为广义坐标，有下式： 或用矩阵形式表示为： 100, 0 xxx和Fgxxxxx1010111)()(MkcM Fgxxxxx0010100)()(MkcM FFxxxxxx0101010100kkkkccccMM 4.1 刚体动力学.74.1.1 刚体的动能与位能二连杆机械手的动能和位能 4.1 刚体动力学图4.2 二连杆机器手（1）.84.1.1 刚体的动能与位能二连杆机械手系统的总动能和总位能

4、分别为：(4.3)21KKK)(cos)(21)(2121212212221222212121ddmdmdmm21PPP)cos(cos)(21221121gdmgdmm(4.4)4.1 刚体动力学.94.1.2 动力学方程的两种求法拉格朗日功能平衡法 二连杆机械手系统的拉格朗日函数L为： 求得力矩的动力学方程式：4.1 刚体动力学PKL)2(21)(21222121222212121dmdmm)cos(cos)()(cos2122112121212212gdmgdmmddm(4.5)2112212212121211122221222211122111212221121121DDDDDDDDD

5、DDDDDTT (4.10).10拉格朗日功能平衡法 比较可得本系统各系数如下：有效惯量 耦合惯量向心加速度系数4.1.2 动力学方程的两种求法2212222212111cos2)(ddmdmdmmD22222dmD)cos(cos221222221222212dddmddmdmD0sinsin022222122112212122111DddmDddmDD.11拉格朗日功能平衡法哥氏加速度系数重力项4.1.2 动力学方程的两种求法0sin2212122212121112DDddmDD)sin()sin(sin)(21222212211211gdmDgdmgdmmD.12拉格朗日功能平衡法表4.

6、1给出这些系数值及其与位置 的关系。 表4.1 222cos11D12D22D1IfI负载地面空载09018027010-1064242101111164242323地面满载09018027010-1018102108404444418102102626外空间负载09018027010-10402202220220010001001001001001004022022202210221024.1.2 动力学方程的两种求法.134.1.2 动力学方程的两种求法牛顿-欧拉动态平衡法二连杆系统的动力学方程的一般形式为：式中的W、K、D、P和qi等的含义与拉格朗日法一样；i为连杆代号，n为连杆数目。

7、niqPqDqKqKdtdqWiiiii, 2 , 1, (4.11)4.1 刚体动力学.14牛顿-欧拉动态平衡法质量 的位置矢量 （见图4.3）为： 21rr 和21mm 和jirr)sin()cos(111101ddji)sin()cos(1111ddjirr)sin()cos(21221212ddji)sin(sin)cos(cos2121121211dddd4.1.2 动力学方程的两种求法图4.3 二连杆机械 .152牛顿-欧拉动态平衡法可得:1221222221211cos2)( ddmdmdmmT2122121122212222)sin2(cos ddmcddmdm)sin(sin

8、)()sin(21221121222212gdmgdmmddm(4.12)4.1.2 动力学方程的两种求法2122122222122122222sin)cos( ddmdmddmdmT)sin(212222gdmc(4.13).164.2 机械手动力学方程 分析由一组A变换描述的任何机械手，求出其动力学方程。推导过程分五步进行：计算任一连杆上任一点的速度；计算各连杆的动能和机械手的总动能；计算各连杆的位能和机械手的总位能；建立机械手系统的拉格朗日函数；对拉格朗日函数求导，以得到动力学方程式。第四章 机器人动力学图4.4 四连杆机械手.174.2.1 速度的计算连杆3上点P的速度为：对于连杆i上

9、任一点的速度为： 4.2 机械手动力学方程ppppTTdtddtdrrrv333300)()(rrviijjjiqqTdtd1(4.15).184.2.1 速度的计算P点的加速度为：pjiippppqqTdtdTTdtddtdrrrva3313333300)()(pkjjkkjpjiiqqqqTqdtdqTrr33131323313pkjjkkjpjiiqqqqTqqTrr33131323313 4.2 机械手动力学方程.194.2.1 速度的计算速度的平方式中，Trace表示矩阵的迹。对于n阶方程来说，其迹即为它的主对角线上各元素之和。4.2 机械手动力学方程)()()()()(000020

10、TpppppTracevvvvv31313333)()(jkTpkkpjjqqTqqTTracerr31333133)( )(jkjkTTpkpjqqqTqTTracerr.204.2.1 速度的计算任一机械手上一点的速度平方为：ijikTikkiijjiqqTqqTTracedtdr1122rrvijkkTkiTikiikiqqqTqTTrace11rr(4.16)4.2 机械手动力学方程.214.2.2 动能和位能的计算动能的计算 令连杆3上任一质点P的质量为dm，则其动能为：dmvdKp2321dmqqqTrrqTTracejkiTkkTppi31313333)(2131313333)(

11、21jkiTkkTTppiqqqTrdmrqTTrace4.2 机械手动力学方程.22动能的计算任一机械手连杆i上位置矢量 的质点，其动能为：连杆3的动能为：dmqqqTqTTracedKijkjikkTiTijjii1121rrijkjikkTiTTiijiqqqTdmqTTrace11)(21rr331313333333)(21连杆连杆jkkjTkTppjqqqTdmqTTracedKKrrri4.2.2 动能和位能的计算.23动能的计算任何机械手上任一连杆i动能为：式中， 为伪惯量矩阵。具有n个连杆的机械手总的功能为：iiidKK连杆ijikkjkiijiqqqTIqTTrace1121

12、(4.17)4.2.2 动能和位能的计算iIninjkiikkTiijiniiqqqTIqTraceTKK111121(4.19).24动能的计算连杆 的传动装置动能为：所有关节的传动装置总动能为：机械手系统（包括传动装置）的总动能为：4.2.2 动能和位能的计算i221iaiaiqIKniiaiaqIK1221atKKK61116122121iijikiiaikjkTiiiiqIqqqTIqTTrace(4.20).254.2.2 动能和位能的计算位能的计算一个在高度h处质量m为的物体，其位能为：连杆i上位置 处的质点dm，其位能为：式中，rirdmTrdmdPiiTTigg0mghP 1

13、,zyxTggggiiiiiTiiTiirdmTrdmTdPP连杆连杆连杆ggiiiTiiiiiTrTmrmTgg。4.2 机械手动力学方程.26位能的计算连杆上位置 处的质点dm，其位能为：机械手系统的总位能为： rdmTrdmdPiiTTigg0niniiaiiPPPP11)(niiiiTirTm1g ri4.2.2 动能和位能的计算(4.21).274.2.3 动力学方程的推导据式(4.1)求拉格朗日函数 PKLt,2121112111niniiiiTiiainiijikkjkTiiiirTmqIqqqTIqTTraceg2 , 1n (4.22)4.2 机械手动力学方程.284.2.3

14、 动力学方程的推导再据式(4.2)求动力学方程，先求导数 nikikkTiipipqqTIqTTraceqL1121niijpapjpTiiiiqIqqTIqTTtace1121np, 2 , 14.2 机械手动力学方程.294.2.3 动力学方程的推导据式(4.18)知， 为对称矩阵，即 ，所以下式成立： jTiikijTiTikikTiijiqWIqTTraceqWIqTTraceqTIqTTracenipapkikpTiikipqIqqTIqTTraceqL11iTiIIiI4.2 机械手动力学方程.304.2.3 动力学方程的推导npiikpapkpTiikipqIqqTIqTTrac

15、eqLdtd1 npiijkjikiTiikjiqqqTIqqTTrace112npiijkjikiTiikpiqqqTIqqTTrace112npiikpapkpTiikiqIqqTIqTTrace1 npiijkjikkTiikjiqqqTIqqTTrace1122 4.2 机械手动力学方程.314.2.3 动力学方程的推导npiijikkjkTiikjipqqqTIqqTTraceqL11221npiiinpiiipiTiikkjjtiipkirqTmqqqTIqqTTrace11221gnpiijiknpiiipiTikjkTiijpirqTmqqqTIqqTTrace112g4.2 机械手动力学方程.324.2.3 动力学方程的推导具有n个连杆的机械手系统动力学方程如下：nijjkiaikiTjjkjiqIqqTIqTTraceT1 njjknjiiii