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文档简介

1、4. 解:在空气中: (1) 在液体中有系统的振动方程: (2) (3)结合(1)(3)可得:将上式变形后得:5解质量m产生的离心惯性力是。它在L法线方向的分量(是摆线与O之间的夹角)由几何关系可以得到:(是摆线与水平线之间的夹角)当摆角很小时有:质量m的切向加速度:,(是摆线与质量到O连线的夹角)二力对点取力矩的合力应等于零。整理后得到 (1)无阻尼受迫振动方程为: (2)将(1)(2)对比后得到:系统的固有角频率为:6解:杆与水平面的夹角为,则利用等效质量和等效刚度先把原系统简化到B点,根据简化后动能相等。 简化前后势能相等。固有频率:7解:在临界位置系统的自由振动方程的解为:其中 , 到

2、达平衡位置时,令带入相关数据得8解:在临界点状态时系统的自由度振动方程解为:其中 (1) (2)到达平衡位置时,由(1)可得令带入相关数据得 到达最远位置时,由(2)可得带入到(1)可得9解:系统的振动方程为其解为 式中常数由初始条件确定,利用(1)可得 带入(1)得初始响应为: (2)由已知条件可知,。带入(2)近似得到。式子中固有频率为,10解:有图示可得F(t)的方程式由傅里叶级数求各项系数分别为将带入。系统的振动方程为: 其中解方程后得:2-1解:依题意得 取圆柱体的圆心的水平位移位x和棒偏离平衡位置时的转角为广义坐标。设圆柱体的圆心为O,棒的质心为中点A,系统的动能和势能分别为=将动

3、能和势能带入到拉格朗日方程可以得到: (j=1,2,3.n)式子中的分别振动方程中广义坐标和广义速度,n位系统的自由度。在做微小的振动时,可以忽略sin,并有,得到振动方程为由振动方程得频率方程 2-4解,由影响系数法可得 ,设系统的刚度矩阵为,2-8解 设m1,m2,m3运动的位移分别为x1,x2,x3.系统的运动微分方程 得特征方程展开得 解得特征值和固有频率将带入到特征方程,得方程组设=1,(r=1,2,3),解得2-10解 重物的质量都为m,则得到频率方程为有上述方程得到:。2-12解,取直角坐标系X-Y(以右下角弹簧为X轴,Y轴垂直X轴向上),计算刚度影响系数,令x1=1,y1=0令

4、x2=0,y1=1故刚度矩阵为 振动微分方程为 得到固有频率由于振动方程是两个独立的,表明x,y就是两个主坐标,因此主振型为2-14解:由已知 两端边界条件为固定端 ,自由端 由自由端边界条件得频率方程:带入各单元状态变量的第一元素:,得到模态:1解 系统的振动微分方程;系统的等效刚度为k=2k1,则固有频率为。下面求振动响应的位移,速度和加速度。系统是一个单自由度系统,将数据带入到振动方程,解微分方程可得,将式子求一次导后,带入初始条件。可以求得C1和C2.相应得到振动响应的位移,速度和加速度。通过欧拉法及其改进编写Matlab程序,也可以求得。2解 系统的运动微分方程为上式的矩阵形式的M,

5、C和K都是对称的,对于两自由度的振动方程,由通解可得:其中,只需要将对应的矩阵中的元素带入其中即可求出。求得的响应中含有常数,带入初始条件V即可确定响应。该题也可通过马克法计算响应。3解 系统的振动方程的矩阵形式为对于三自由度的系统,已知质量矩阵和刚度矩阵,其特征值的问题为,U为一组常数,K,M分别为刚度和质量矩阵。特征方程为 =0通过以上式子可以求得三个固有频率。已知振动微分方程,求系统的响应,实际求2阶非齐次方程解。该题也可通过威尔森法计算响应4-1解 两端固定的弦自由振动微分方程的解为 (1) 式子中初始条件为 于是 将初始位移条件展开成傅里叶级数: (2) 由(1)式得 (3)将(2)

6、式i=n,与(3)比较可得, (n=1,3,5.)所以4-2解 ky F mg 弦振动微分方程的解为 其中 (1)根据端点条件x=0有 当x=时,质量块受弦张力,弹簧恢复力及自身重力,可以得到 由于m只能作很小的振动 所以有 (2)将D带入(1),再将(1)带入到(2)中得到频率方程4-3解系统的振动微分方程的解为 带入初始条件得到系统的频率方程为将上式子进行合并可得到4-4解设杆的截面纵向位移为y,直杆纵向振动微分方程为微分方程的解为 (1)根据边界条件x=0.y(0,t)=0得 D=0当x=l时,根据受力分析得到 (2)将D带入1式,再将1式带入到2式得到4-5解 一端固定,一端自由的圆杆扭转的自由振动的解为 (1)式子中初始条件 带入到(1)得 (2)将2式等号左右前乘

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