动力学作业答案

1、4. 解：在空气中： (1) 在液体中有系统的振动方程： （2） (3)结合(1)(3)可得：将上式变形后得：5解质量m产生的离心惯性力是。它在L法线方向的分量（是摆线与O之间的夹角）由几何关系可以得到：（是摆线与水平线之间的夹角）当摆角很小时有：质量m的切向加速度：，（是摆线与质量到O连线的夹角）二力对点取力矩的合力应等于零。整理后得到 （1）无阻尼受迫振动方程为： （2）将（1）（2）对比后得到：系统的固有角频率为：6解：杆与水平面的夹角为，则利用等效质量和等效刚度先把原系统简化到B点，根据简化后动能相等。 简化前后势能相等。固有频率：7解：在临界位置系统的自由振动方程的解为：其中 ， 到

2、达平衡位置时，令带入相关数据得8解：在临界点状态时系统的自由度振动方程解为：其中 （1） （2）到达平衡位置时，由（1）可得令带入相关数据得 到达最远位置时，由（2）可得带入到（1）可得9解：系统的振动方程为其解为 式中常数由初始条件确定，利用（1）可得 带入（1）得初始响应为： （2）由已知条件可知，。带入（2）近似得到。式子中固有频率为，10解:有图示可得F（t）的方程式由傅里叶级数求各项系数分别为将带入。系统的振动方程为： 其中解方程后得：2-1解：依题意得 取圆柱体的圆心的水平位移位x和棒偏离平衡位置时的转角为广义坐标。设圆柱体的圆心为O，棒的质心为中点A，系统的动能和势能分别为=将动

3、能和势能带入到拉格朗日方程可以得到： （j=1,2,3.n）式子中的分别振动方程中广义坐标和广义速度，n位系统的自由度。在做微小的振动时，可以忽略sin,并有,得到振动方程为由振动方程得频率方程 2-4解，由影响系数法可得 ，设系统的刚度矩阵为，2-8解 设m1,m2,m3运动的位移分别为x1,x2,x3.系统的运动微分方程 得特征方程展开得 解得特征值和固有频率将带入到特征方程，得方程组设=1，（r=1,2,3）,解得2-10解 重物的质量都为m,则得到频率方程为有上述方程得到：。2-12解，取直角坐标系X-Y(以右下角弹簧为X轴，Y轴垂直X轴向上)，计算刚度影响系数，令x1=1,y1=0令

4、x2=0,y1=1故刚度矩阵为 振动微分方程为 得到固有频率由于振动方程是两个独立的，表明x,y就是两个主坐标，因此主振型为2-14解：由已知 两端边界条件为固定端 ，自由端 由自由端边界条件得频率方程：带入各单元状态变量的第一元素：，得到模态：1解 系统的振动微分方程；系统的等效刚度为k=2k1,则固有频率为。下面求振动响应的位移，速度和加速度。系统是一个单自由度系统，将数据带入到振动方程，解微分方程可得，将式子求一次导后，带入初始条件。可以求得C1和C2.相应得到振动响应的位移，速度和加速度。通过欧拉法及其改进编写Matlab程序，也可以求得。2解 系统的运动微分方程为上式的矩阵形式的M,

5、C和K都是对称的，对于两自由度的振动方程，由通解可得：其中，只需要将对应的矩阵中的元素带入其中即可求出。求得的响应中含有常数，带入初始条件V即可确定响应。该题也可通过马克法计算响应。3解 系统的振动方程的矩阵形式为对于三自由度的系统，已知质量矩阵和刚度矩阵，其特征值的问题为,U为一组常数，K,M分别为刚度和质量矩阵。特征方程为 =0通过以上式子可以求得三个固有频率。已知振动微分方程，求系统的响应，实际求2阶非齐次方程解。该题也可通过威尔森法计算响应4-1解 两端固定的弦自由振动微分方程的解为 （1） 式子中初始条件为 于是 将初始位移条件展开成傅里叶级数： （2） 由（1）式得 （3）将（2）

6、式i=n,与（3）比较可得， （n=1,3,5.）所以4-2解 ky F mg 弦振动微分方程的解为 其中 （1）根据端点条件x=0有 当x=时，质量块受弦张力，弹簧恢复力及自身重力，可以得到 由于m只能作很小的振动 所以有 （2）将D带入(1)，再将（1）带入到（2）中得到频率方程4-3解系统的振动微分方程的解为 带入初始条件得到系统的频率方程为将上式子进行合并可得到4-4解设杆的截面纵向位移为y，直杆纵向振动微分方程为微分方程的解为 (1)根据边界条件x=0.y(0,t)=0得 D=0当x=l时，根据受力分析得到 (2)将D带入1式，再将1式带入到2式得到4-5解 一端固定，一端自由的圆杆扭转的自由振动的解为 （1）式子中初始条件 带入到（1）得 （2）将2式等号左右前乘