全国卷II理科详细答案

1、2006高考数学试题全国II卷理科试题本试卷分第I卷(选择题)和第I I卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第I I卷3至4页。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷注意事项：1 ?答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3 .本卷共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给岀的四个选项屮，只有一项是符合 题目要求的。参考公式%1.如果事件A、B互斥，那么P(A +

2、 fi) = P(A) + P(fi)如果事件A、B相互独立，那么P(A.B) = P(A).P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立好发牛k次的概率是P” (k ) = Ph选择题已知集合 M = xlx<3,AA = xllog 2x>l,贝U MCN =球的表面积公式S = 4収其屮R表示球的半径 球的体积公式其屮V= -tvR33R表示球的重复试验中恰(A) 0(C) x 11 < x < 3函数y = sin 2xcos 2x的最小正周期是(B) xl0<x<3(D) x I 2 < x < 3(A) 271(B) 4

3、 乃(3)3 =(1-0-(B) -i2(A) -i2(4)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面(A3(B)11662(5已知AABC的顶点B、C在椭圆个焦点在BC边上，则AABC的周长是(B) 6的反函数为(A) 2A3(6) 函数 y = Inx +1(% > 0)(A) y = ex+i (x e R)(C) y = ex+ x>l) 如图，平面a丄平面0,/、 兀(C)4(C) iF+Z 上,(C) 4 A/3(D)71顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的(B) y =exxeR)(D) y = exx>V )w队AB与两平面(D) 12a、0所成的角分别JT TT

4、为丝和丝。过 A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为 4'、贝U ABAB'=46(A) 2:1(B) 3:1(C) 3:2(D) 4:3(8) 函数y = y (x)的图像与函数g(.x) = log 2 .r(.r > 0)的图像关于原点对称，则/ "(x)的表达式为(9)(10)(A) f(.r) = -A(.r>0)CB) f(x)=-(x<0)Iog2xlog 2(-x)=-log 2(D) /(x) = -log22x)(x<0) a-与=1的一条渐近线方程为y = -x,则双曲线的离心率为a' b-(C) f(x) x(x

5、> 0) 已知双曲线冷(B)-(A)-3若 /(sin x) = 3- cos 2x，则3/(cos x)=(C)-(D)- 22(-(A) 3-cos 2x(C) 3 + cos 2x(B) 3-sin 2x(D) 3 + sin 2x(11)设S”是等差数列a”的前n项和,(12)3(A)10(B)-111(C)-(D)919函数于(兀)=工卜一的最小值为n=l(B)171(A) 190(C) 90理科数学第II卷(非选择题，共CD) 4590分)注意事项：本卷共2页,10小题，用黑碳素笔将答案答在答题卡上。答在试卷上的答案无效。%1.填空题：本人题共 4小题，每小题4分，共1 6分

6、，把答案填在横线上。(13) 在(F+丄)"的展开式中常数项是 。(用数字作答)x(14) 已知ABC的三个内角 A、B、C成等差数列，且 AB = 1,BC = 4,则边BC ±1勺屮线 AD的长为o(15) 过点(1,血)的直线/将圆(x-2)2 + y2 =4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 /的斜率点= .(16) 个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人屮再用分层抽样方法抽岀100人作进一步调查，则在2500,3000)(元)

7、月收入段应抽岀JUX%1.解答题：本人题共 6小题，共7 4分。解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤。(17) (本小题满分1 2分)已知向量a = (sin 8,l),b = (1, cos &),-亍 v & v 亍(I) 若Q丄乙，求&(II) 求p+耳的最大值。(18) (本小题满分1 2分)某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。(I) 用歹表示抽检的 6件产品屮二等品的件数，求歹的分布列及纟的数学期望；(II) 若抽检的6件产品中有

8、2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被 用户拒绝的概率。(19) (本小题满分1 2分)如图，在直三棱柱 ABC-AC,中，AB = BC,D. E分别为BB “ AC】的中点。(I) 证明：ED为异面直线与 AC】的公垂线；(II) 设 AA, =AC = 41AB,求二面角 A.-AD-C,的人小。(20(本小题1 2分)设函数/(x) = (x + l)l n(x + l).若对所有的 x>0,都有(21)(本小题满分为1 4分)已知抛物线.r2 = 4y的焦点为F, A、B是热线上的两动点，且AF = 2FB(2 > 0).过A、B两 点分别作抛物线的切

9、线，设其交点为M。(I) 证明而.石为定值；(II) 设AABM 的面积为S,写岀S=fW的表达式，并求 S的最小值。(22)(本小题满分1 2分)设数列a”的前n项和为S'，且方程x-anx-an =0有一根为Sn -1, n = 1,2,3,.(I) 求 a.a?；(II) 求a”的通项公式,1 A'A= _ a,2&函数y = f(x)的图像与函数g(x) = log2x(x0)的图像关于原点对称，用(一 x, y)代换(x,y),f(.x) = -log 2(-x)(.x < 0),选 D.已知双曲线2v=1的一条渐近线方程为b-4y=-.r,2 c2a1

10、 +b'3-5232.亠、站5 *,禺心率 e=，选 A.310. f(sinx) = 3-cos2xJ lJf(cosx) = f(sin(-x) = 3-cos(.-2x) = 3+ cos2x，选 C.11. 设S”是等差数列a ”的前“项和，若a =-,则I如I二丄,Ss 3 a4 + a5 + a62S(% + a? + 他)：(° +。5 + 兔)：(° +) :(%0 + % i + %? ) = 1: 2 :3 :4 ,S21912. 函数/(兀)=工卜一 | =1兀一 11 +丨兀一 2丨 1 9L当x=10时取得最小值为2(9+8+7+n-3=,

11、选 A.10I x-+ 1)=90,选 C.二.填空题：本人题共 4小题，每小题4分，共1 6分，把答案填在横线上。参考答案.选择题题号123456789101112答案DDAACBADACAC1. M = xl xv 3,= xllog 2 x > 1 =x I X > 2,I2-函数汁si?cos2二血牡，它的最小正周期是y选D.M AN - = x12< x< 3,选 D.JTi 9 选 A.(I-2O24过球的一条半径的中点作垂直于该半径的平面所得截面圆的半径是宁，圆輙S 3球的表面积 S2=47iR2=选A52165. 椭圆一+ y2= 1中，a = A3,

12、ABC的周长是3AB + BC + AC=AB + BF + FC + AC=4a = 4y/3 ，选 c.6. 函数 y = Inx + l(x0),解得 x = (yWR),反函数为 y = exxeR),选7. 如图，平面 a丄平面0, AEa.BE/3,AB与两平面 a、0所成的角分别为 7T 7T4'、连 ABS ZBAB =和一。过 A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为46设 AB=a,贝 lj ABABBA a连 AT, ZABAA-,2 6NB'=yjAB' 2-AA'2 =-a, AB :A'B'=2 :1,选 A.213. 在

13、(x4 +-) 10的展开式中常数项是CA ( X4) 2 (-) 8=45.XX14. AABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，二 ZB=60° AB = 1,BC = 4,D 为 BC 中点.？ . BD=2,AD= 72 2+1 2-2-2-1- COS60 ° =巧.15. 过点（1,、伍）的直线/将圆（x 2）2 +犷=4分成-1J-I两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线/与 过点（1,血）和圆心（2, 0）的直线垂直，直线/72的斜率k=.216. 由分布图知组距=500,则各组的人数分别为100、200、 250、 250、 150、（元）月收入段共有

14、50。贝庇 :2500,3000 ）抽岀25人。250人，作进一步调查，应三.解答题：本大题共 6小题，共7 4分。解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤。17 解：（ I ） 若 a 丄，贝U sin&+cos&=0, 2 分由此得tan&= 1 （号V0V号），所以 0=_彳； 4分(II)由 a = (sin&, 1), b = (I, cos。)得I a+b I =y (sin& +1)2 + (1 + cos&)2=p3+2(sin0+cos&)=V3+2 迈 sin(0+f), 10分当sin(0+)=1时，血+勿取得最大值，

15、即当0=亍时，血+勿最大值为迈+1.1218. 解：(I) §可能的取值为0, 1, 2, 3. 2 2分? c4 C3 189C5C51 2 2 1 1 C4 C3 C4 qq 2P(均)=+ 二一=V丄丿2 2十2225C5 C5 C5 C51 1 1 2 2C4 C3 C2 Ca Cry 5 ')22 T 2 2 50C5 C5 C5 C51 2C4 C2 1P(23)=pp 二石.C5C5§的分布列为§0123P91215150255025数学期望为E §= 1.2.（II）所求的概率为12 分EOADB, EOBDP=P( §

16、2)=P( 2)+P( §=3)=丽 +石=茹 19. 解法一：(I )设。为 AC屮点，连接 EO, B0,则 OA|c,C,又CiCBiB,所以 为平行四边形，ED/OB.2分':AB=BC, :.BO ±C,又平面 ABC丄平面 ACCS BOcffi ABC,故B0丄平面 ACCS.?.ED 丄平面 ACCiAi , BD士ACi , ED 丄 CCi,:.ED丄BBi, ED为异面直线 ACi与BBi的公垂线 6分(II )连接由AAx=AC=a2AB可知，AACC为正方形，c:.AtElACt，又由ED丄平面 ACCiA 和EDu平面ADC知平面ADCi

17、l平面 AtACCi，:.AxE丄平面 ADCt.EF1AD,垂足为 F,连接加川 贝U AxFIAD,ZAiFE为二面角Ai-AD-Ci的平面角.不妨设 AAi = 2,贝U AC=2, AB=AED = OB = , 咅，tanZAiFE=V3, ZAiFE 60° .所以二面角 Ai-AD-Ci为60° .12分解法二：(I )如图，建立直角坐标系O xyz,其中原点O为AC的中点.设Aa, 0, 0) , B (0, b, 0)B ( 0, b, 2c).贝U C( a, 0, 0), Cj( a, 0, 2c), E(0, 0, c), D(0, b, c).盘=

18、(0, b, 0),画=(0,0, 2c).乔丽=0, ; .ED 丄 BBi.XlS=( 2a, 0, 2c),:.EDLAC ,6 分所以ED是异面直线 B血与AG的公垂线.(II)不妨设 A(l, 0, 0),则 B(0, 1, 0), C( 1,0, 0), A,(l,尿=(1, -1, 0),扁=(1, 1, 0),面=(0, 0, 2),BC-AB =0, BC7141=0,即 BC+AB, BClAAi，aaBaAAaA, .?.BC 丄平面 /MD.又 E(0, 0, 1), D(0, 1, 1), C( 1, 0, 1),EC-AE =0, EC-ED =0,即 EC1AE,

19、 EC 丄 ED,又 AECED=E, :.ECXffi CiAD. 10 分->? >?> >ECBC 1 > >COSV EC , BC>= =Q即得EC和BC的夹角为EC=(-1,0, -1), AE=(-1, 0, 1), ED=(0, 1, 0),所以二面角 AiAD Ci为60° .12分20. 解法一：令 g (兀)=(兀 + I) In (x+ V) ax，对函数 g (兀)求导数：g%x) =ln (兀+1) + 1 a 令g '(兀)=0,解得兀=幺"一 1 1,. 5分(i)当aWI时，对所有兀 >

20、; 0, g'(兀)> 0,所以g (兀)在0, +oo)上是增函数，又g (0) =0,所 以对兀M0,都有g (兀)$g (0),即当aWI时，对于所有兀$0,都有f (x) "ax. 9分21.1)是减函g(o)=o,所以()当 a>l 时，对于 0<x<ea 1, g'(x)<0,所以 g(x)在(0, ea 又对0<x<e"T 1,都有g(x)Vg(0),即当al时，不是对所有的x$0,都有f(xfax成立.综上，a的取值范围是(一 8, 1.12分解法二：令 g(x) = (x+ l)ln(x+ l) a

21、x,于是不等式f(xfax成立即为g(x)三g(0)成立.3分对函数 g(x)求导数：g(x) = ln(x+1)+1 a令 g(r) = 0,解得 x = e"T 1,.6 分当 x> e"T 1 时，g? : )> 0, g(x)为增函数，当一 1<x<e"T 1, g，(x)<0, g(x)为减函数，9 分所以要对所有心0都有g(x)g(0)充要条件为e2K0.由此得aWl,即a的取值范围是(一 8, 1.12分解：(I)由已知条件， 得F(0, 1), A>0.设 A(x” yi), B(x2, y2)-由 AF =人

22、FB ,即得(一 x" l y)=A(x 2, y2l),(xi=Ax2?1-刃=心2-1)将式两边平方并把yi"xi 2, y2=Ax2代入得yi=Ay2解、式得 yi=久，$2=，且有X02= 4Ay2 = 4,抛物线方程为y=Ax2,求导得 y'=Ax.所以过抛物线上 A、B两点的切线方程分别是1,1,歹=空兀1(兀一兀 1)十 V1，丁 =尹2(兀一兀2)十歹 2，即 y=jx 1X-j X12, y = A 2X-jX 22.兀1 +兀2兀1兀2 兀1 +兀2解岀两条切线的交点M的坐标为(一一，)=(2 1)?所以 FM? AB （，2） ?（兀 2 兀 1 ，2力）=二（兀 2?Xi2） 2（a%2 2所以FM AB为定值，其值为 0.7分(II)由(I )知在 ZVI