一次函数一次方程和一元一次不等式基础知识讲解

1、一次函数、一次方程和一元一次不等式（基础）责编：杜少波【学习目标】1能用函数的观点认识一次函数、一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想2能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题【要点梳理】要点一、一次函数与一元一次方程 一次函数（0，为常数）.当函数0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线（0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.要点二、一次函数与一元一次不等式由于任

2、何一个一元一次不等式都可以转化为0或0或0或0（、为常数，0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式0（0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线0）上方部分的所有点的横坐标的范围.要点三、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.要点四、如何确定两个不等式的大小关系（，且）的解集的函数值大于的函数值

3、时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围【典型例题】类型一、一次函数与一元一次方程1、若直线与轴交于（5，0）点，那么关于的方程的解为_.【答案】【解析】0的解是直线与轴交点横坐标.【总结升华】当函数时，就得到了一元一次方程0，此时自变量的值就是方程0的解.举一反三：【变式1】如图，已知直线，则关于的方程的解_.【答案】4；提示：根据图形知，当1时，4，即时，4方程的解4【变式2】如图，直线分别交轴和轴于点A、B，则关于的方程0的解为_.【答案】；提示：方程0的解其实就是当时一次函数与轴的交点横坐标由图知：直线与轴交于点（2，0），即当2时，0.类型二、一次函数与一元一次不等式2

4、、（2015乐山模拟）如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（3，0）、B（0，1）两点，则不等式kxb0的解集为（）Ax3Bx3Cx3Dx3【思路点拨】求kxb0的解集，即为kx+b0，就是求函数值大于0时，x的取值范围【答案】A；【解析】解：要求kxb0的解集，即为求kx+b0的解集，从图象上可以看出等y0时，x3故选：A【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合举一反三：【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，例2】【变式】如图，直线与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，3）

5、，则不等式30的解集是（）A0B0C2D2【答案】A；提示：从图象上知，直线的函数值随的增大而增大，与轴的交点为B（0，3），即当0时，3，所以当0时，函数值33、直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（ ）A B C D无法确定【答案】B；【解析】从图象上看的解，就是找到在的上方的部分图象，看这部分图象自变量的取值范围.当时，故选B.【总结升华】本题考察了用数形结合的方法求解不等式的大小关系，解题的关键是找出表示两条直线的交点的横坐标，再根据在上方的图象表示的函数值大，下方的图象表示的函数值小来解题.举一反三：【变式】直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如

6、图所示，则关于的不等式的解集为（）A1 B1C2D2【答案】B；提示：与直线：在同一平面直角坐标系中的交点是（1，2），根据图象得到1时不等式成立4、画出函数的图象，并利用图象求： (1)方程210的解； (2)不等式210的解集； (3)当3时，的取值范围； (4)当33时，的取值范围【思路点拨】可用两点法先画出函数的图象，方程210的解从“数”看就是自变量取何值时，函数值是0，从“形”看方程210的解就相当于确定直线与轴的交点，故图象与轴交点的横坐标就是方程210的解同理：图象在轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式210的解集【答案与解析】解：列表：010在坐标系内描点(0，1)和，并过

7、这两点画直线，即得函数的图象如图所示(1)由图象可知：直线与x轴交点， 方程210的解为；(2)由图象可知：直线被轴在点分成两部分，在点右侧，图象在轴的上方故不等式210的解集为；(3)过点(0，3)作平行于轴的直线交直线于点M，过M点作轴的垂线，垂足为N则N点坐标为(1，0)；从图象上观察，在点(1，0)的左侧，函数值3，则当3时，自变量的取值范围是1；(4)过(0，3)作轴的平行线交直线于点P，过P作轴的垂线，垂足为H，则点H的坐标为(2，0)观察图象，在(2，0)的右侧，在(1，0)的左侧，函数值33 当33时，自变量的取值范围是21【总结升华】仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不

8、等式之间的内在联系： (1)一元一次方程(是已知数)的解就是直线上这点的横坐标；(2)一元一次不等式(，是已知数，且)的解集就是直线上满足那条线段所对应的自变量的取值范围；(3)一元一次不等式(或)(是已知数)的解集就是直线上满足(或)那条射线所对应的自变量的取值范围.举一反三：【变式】（2015秋蒙城县校级月考）画出函数y=2x+6的图象，利用图象：（1）求方程2x+6=0的解；（2）求不等式2x+60的解；（3）若2y2，求x的取值范围【答案】解：图象为：（1）观察图象知：该函数图象经过点（3，0），故方程2x+6=0的解为x=3；（2）观察图象知：当x3时，y0，故不等式2x+60的解为x3；（3）当2y2时，4x2类型三、用一次函数的性质解决不等式的实际问题5、（1）如图，是函数的图象，它与轴的交点坐标是（3，0），则方程0的解是_；不等式0的解集是_.（2）如图：OC，AB分别表示甲、乙两人在一次赛跑中各自的路程S（米）和时间t（秒）的函数图象，根据图象写出一个正确的结论_.【答案】（1）；（2）根据图象的性质可以得到，两个两个函数的交点意义是当9秒时，两个人跑的路程相等，即两个人相遇；或者从图象上看出乙的速度比甲的速度快乙的速度比甲的速度快；（答案不唯一）【解析】（1）从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即能求得方程0的