浅谈Lebesgue积分与Riemann积分的联系与区别

1、浅谈Lebesgue积分与Riemann积分的联系与区别 有人说，Lebesgue积分是Riemann积分的推广。然而对广义Riemann积分来说，Riemann积分的可积性并不意味着Lebesgue积分的可积性。那么，他们之间有怎么样的联系和区别呢，首先，我们先来回顾一下两种积分的定义。一、积分定义Riemann积分定义 假设是区间上的函数，若存在某个常数A，使得对区间的任意分割：及任意只要就有 则称在上Riemann可积。 Lebesgue积分定义 设是测度有限的可测集，是定义在E上的有界可测函数，即存在,使若是得任一分点组，则记，对任意，作和式 ，则称在上是Lebesegue可积的。若是

2、上的可测函数，且，如果在上的积分至少有一个不为，则称在上有积分，并记 若为有限数，则称在上Lebesgue可积。二、L积分与R积分的联系由于在通常意义下的R可积性意味着L可积性，所以我们有定理 如果有界函数在闭区间是R可积的，则在也是L可积的，且 ，此处表示在上的L积分，表示在上的R积分。证明： 因为是有界函数，所以只需证明是上的可测函数。由于是R可积的，取的分点组， ，记分别为在的下确界与上确界，由R积分的定义知 。令为如下的函数列： = 则因，故当区间长度缩小时，上确界不增，下确界不减，所以 于是，即 注意到都是有机可测的，所以是非负L可积函数，从而。 又，这说明 ，所以 即，由定理3（曹

3、广福版<实变函数>上76页）知 ,进一步 。因此在上可测。证毕。上述定理中，如果是在上广义R可积，则不一定成立。然而，通过一些条件变换，我们有定理 若在上广义R可积，且不变号，则 L可积，且积分值相等。证明： 就无界函数，积分值域为，仅在无界，在上非负来证明。令 则每个，都是非负的有界可测函数，容易证明 ，且由Levi定理 = =。证毕三、L积分与R积分的区别从L积分与R积分的定义来看，两种积分的主要区别是，R积分是将给定函数的定义域分小而产生的，而L积分则是划分函数的值域而产生的。R积分的优点是得度量容易给出，但是当分发的细度充分小时，函数在上的振幅仍可能较大。L积分的优点是函数

4、在上的振幅较小，但不再是区间，而是可测集。L积分理论是在测度理论基础上建立的，而测度是平面上度量的推广，故而L积分可以处理有界函数和无界函数的情形，而且把函数定义在更一般的点集上，而不仅仅局限于上，从而使L积分的积分范围比R积分更广泛。而在重积分运算时，R积分理论要求重积分和两个累次积分都存在时才相等，而L积分则只需可测且有一个累次积分存在即可，也就是说在L积分理论下重积分化累次积分的条件减弱了。另一方面，R积分中的逐项积分问题，也就是积分与极限交换问题，条件要求非常苛刻，被积函数必须一致收敛，极限才能通过积分号，不仅计算起来不方便，而且限制过强，L积分的要求就要比R积分少得多，只要函数非负即

5、可。就L控制收敛定理而言，只需存在控制函数使得 < 即可，因此在积分与极限交换次序这个问题上，L积分要比R积分灵活方便的多。L积分与R积分的区别，受限于自身的学力，只能对上述问题进行初步探讨。三、总结本文从L积分与R积分的定义，相关积分计算，积分范围，积分与极限交换次序等简要叙述了两种积分的区别；在普遍意义与广义R积分两种情况下用两个定理表述了两种积分的联系。L积分的诞生是基于R积分本身出现的问题，如在某些求极限问题上，涉及到无界区间时等，L积分的出现，使可积函数的范围扩大，为积分与极限交换次序等问题提供了更方便实用的理论，也为泛函分析的产生奠定了基础，当然L积分的作用远远不止这些，不过由于自身的的学识，只能较浅显的对两种积分进行讨论。参考文献1 曹广福，实变函数与泛函分析（上）（M），高等教育出版社，2011；2 华师大数学系，数学分析（M），高等教育出版社，2001；3