几何学是一门源远流长内容丰富的数学分支

1、基本图形与初中几何教学试论“相似三角形”中的基本图形内容提要：几何研究的对象是图形，识图是学习几何的基本功，而所有的图形都是由基本图形组成和发展变化而来的。相似三角形中就有许多特殊的基本图形。这些基本的规律图形是非常重要的，它是我们遇到的许多复杂图形的底图。在复杂的图形中，如果能够发现一些基本图形的话，对找到证明途径往往具有很大的启示作用。本文通过对相似三角形中的几种基本图形的分类和分析，以及典型例题的证明，进一步说明了基本图形的重要作用。几何学是一门源远流长、内容丰富的数学分支。它是数学领域里一门极为重要的学科。而几何是生活中的物质空间的数学化，把物质空间作为教学活动的源泉，它研究的对象主要

2、是学生日常生活中经常接触的东西。初中几何的内容包括：（1）线段、角；（2）相交线、平行线；（3）三角形；（4）四边形；（5）相似形；（6）解直角三角形；（7）圆。从内容和教学课程的安排上，我们可以看出，相似形不仅是几何学庞大知识链中承上启下的一环；也是初中数学教育的重要组成部分。“相似形”的内容是在“全等形”的基础上研究的，是有关全等知识的拓广和发展。从变换的角度来讲，也就是由保距变换进入到保角变换。但它也是几何中其他一些知识的基础，如为引进“锐角三角函数”作好了知识上、方法上的准备，又为证明圆幂定理等奠定了理论基础。相似形还是研究其他学科的基础，如物理学中的“力学、光学”等知识也需利用相似三

3、角形性质，同时相似形知识还有很重要的实用价值，如“工程设计、放大样、测量、绘图”等方面的工作都要用到这部分知识，因此这部分内容的学习对于今后参加生产劳动从事实际工作也具有重要作用。由于相似形是采用广泛联系着的比较抽象的相似变换的方法，再加上它所涉及的内容广泛，使之成为初中几何教学中的难点之一，而学好这部分的知识内容关键就是掌握其中一些主要的基本图形。其实学习平面几何,就是创造条件使一般图形向基本图形转化,然后利用基本图形的性质去解决问题,培养学生由具体到抽象,由“求真”的科学文化知识教育，将人类几千年沉积的科学文化成果转化为学生的个体身心的文化素质。所以，掌握图形的本质，特征，联系，应用是学好

4、平面几何，培养学生文化素质的重要一议。所谓基本图形，就是直接由定义、判定定理或性质定理所给出的一些几何图形。如三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180°。字母表达式为：A+B+C=180°。图1就是该定理的基本图形。又如平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。字母表达式为：=。图2就是该定理的基本图形。可见，定理决定了图形，图形表达了定理，知其一，便知其二。基本图形的展示可使学生结合图形能具体形象的理解掌握定理，进行了“求真”的科学文化知识的教育，加之“求美”的艺术图形的构成，使学生在快乐的教学过程中掌握知识，提高了文化素质，进而也提高了学

5、生的能力。基本图形之间是有联系的，明确与其联系演变，对掌握基本图形及应用有着重要作用。因此，必须根据学生的特点，为学生创设良好的思维环境，使之由形象思维向抽象思维过渡。如：平行线分线段成比例定理是相似一章的基本定理。同样，其基本图形也是本章其它图形的基础。三角形一边平行线判定，内外角平行线性质定理，相似三角形的判定定理，三角形中位线定理都是由平行线分线段成比例定理演变来的。因为学生的思维是不定向和不稳定的，通过基本图形的演变和学生对其定理的形式的掌握，会使学生的思维模式逐渐形成，理解力和记忆力也随之增强，开发了学生身心的潜能，使知识成果在学生的身心结构中积沉和内化。一、基本图形平行线分线段成比

6、例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例。字母表达式：=或AB*AE=AD*AC（图3、4）（一）基本型（图3）例1 已知如图1，在ABC中，点M是BC边上的中点，点D是AC边上的一点，且满足=,连结BD交AM于点E，求的值。解：过点M作BD的平行线交AC于点NMNBD CMNCBD =又点M是BC的中点 CM=MB CN=DN又= = =同理又MNED AEDAMN =求线段的比例关系通常让人联想到平行线分线段成比例定理，而运用此定理的关键是要有平行线，所以此类题型就转化为如何添置平行线的问题了。如何迅速

7、发现要利用的相似三角形是解题中的重点和难点。常见的方法是把稍有变化的题目转化为已经熟悉的题目和基本图形，如添辅助线（特别是平行线）、变式、等量代换等。例2 已知如图2,过菱形ABCD的顶点C的直线分别交BD、AB、AD的延长线于E、F、G。若AG=2AF,求证:EB=BD。证明： BCAG FBCFAG =又BC=DC = 又BFDC EBFEDC = EB=ED引入替换的思想方法，是相似三角形证明中经常用的一种方法。以上解法便利用“DC”取代“BC”来得到新的线段比例关系。例3 已知如图3，平行四边形ABCD，EFAC，BF交AD延长线于M。求证：AD2AE*AM证明： EFAC DEFDA

8、C = 又AB=CD = (1) ABCD是平行四边形 MAB=FCB又AMBC M=CBF AMBCBF= (2) 由(1)(2) = (3)又ABCD MDFMAB = (4)由(3)(4) = 即AD2AE*AM成比例线段问题贯穿平面几何的相似形与圆两大章的内容。证明四条线段成比例问题，是常见的一种类型证明题，从基本图形得到四条线段成比例就得根据给要证明的四条线段放在两个合适的三角形中，通过证明两个三角形相似，然后应用两个三角形对应边成比例得到证明的已知条件，构造出基本图形，才能得出结论。（二）拓展型（图4）例4 已知如图4，E是正方形ABCD的边AB上的一点，H是CE的中点，过点H任意

9、作一直线FG，交AD、BC于点G、F。若AE=2BE，求。证明： 过点E作BC的平行线交FG于点MEMFC EMHCFH =又点H是CE的中点EH=HC MH=HF又EMAD 由平行线分线段成比例定理=MG=2FM=4HF=4MH =几何教学中经常遇到这样一个问题：学生定义、公理、定理记得很熟，但不会应用。其中主要原因就是定义、定理、公理都是针对一些“基本”图形（三角形、圆、矩形）的；但在实际应用中，学生在复杂图形中却发现不了这些基本图形。所以在确定相似三角形时，经常可以抓住这些基本图形的特征寻找到正确的解决方法。如果在教学中能够引导学生掌握这些基本图形，并能灵活地使用这些方法，则可使学生在解

10、题中拓展思路，培养其分析问题和解决问题的能力，提高其数学思维品质。（三）综合运用例5 已知如图5，DB=DC,APBC,PG分别交AB、AD、AC于E、F、G。求证：=。证明： 过点F作BC的平行线交AB、AC于点M、NMFBC APBC MFAP MEFAEP = (1)FNAP GNFGAP = (2)FMBD FNDC =又BD=DC MF=FN (1)=(2) 即 =引入中介值的思想，得四条线段成比例,这种方法，应用得非常普遍。以上解法便利用其中的两段线段相等，证明取代后的四条线段成比例即可。例6 已知如图6，在ABC中，D在AB上，过点D的直线分别交CB的延长线和AC于点F、E。如果

11、=。求证：AE=BF。证明： 过点E作BC的平行线交AB于点GEGBC AGEABC = (1)又EGBF EGDFBD = (2)又= (1)=(2) 即 = AE=BF例7 已知如图7，在梯形ABCD中，ABCD，AD、BC的延长线交于点F，过点F作EGAB，交BD、AC的延长线于点E、G。若AB=a，CD=b，求FG的长。解： EGAB CGFCAB = (1)又ABCD EGCD ACDAGF = (2)(2)-(1) 得 FG(-)=1 FG=我们知道数学的思想方法是数学的灵魂，它是构造数学能力的核心。基本图形是几何教学的基本途径，作为“模型”的基本图形能教给学生掌握知识的通法，即普

12、通意义的方法，提高掌握数学基础知识发展能力，使之带有规律性、全局性和运用面广的方法，发展思维的灵活性和创造性，使学生在天禀赋的基础上形成自身的能力和文化素质。二、基本图形(一) 当AED=ABC时，ADEACB(图5)字母表达式：=或AB*AD=AC*AE例1 已知如图1，在ABC中，BD、CE是高，且ABC+ACB=2A。求证：BC=2ED。证明： ABC+ACB=2A 而ABC+ACBA180°A60° ACE=ABD=90°60°30°= 又EAD=CAB=60° AEDACB = BC=2ED例2 已知如图2，PAB、PCD是

13、O的割线，且PAB过圆心O，若PA=AO求tgPOC*tgPOD的值。解： 连结BD、BC、AC、ADtgPOC*tgPODtgCBA*tgDBA=*=* (1)PCA=PBD P=P PCAPBD =又PDA=CBP P=P PADPCB =将(1)转化为 tgPOC*tgPOD*=*=又PA=AO OA=OB = tgPOC*tgPOD=基本图形的关键作用是模型作用，熟悉地掌握基本图形的性质、特征后，作为“模型”储存在记忆中，为理解应用概念，定理打基础，这样在解决问题中，才能应用自如，逐渐形成一个良好循环。看到图形，就能想到其反应的定理，概念的内容，明确求证的结论和已知的题设，就能联想到与

14、其有关的图形。在实际解题中，能直接观察到一些基本图形，就会很容易联想到其表达式，找到解决问题的途径。特殊情况：当ACB=ADE=Rt时（图6） 例3 已知如图3，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿对角线AC将ACD翻折，点D落在点E处，AE交BC于点F，则点F到AC的距离FG为多少？解： AFBCFE AF=CF 又BF+CF=8 BF+AF=8 (1)又AF2=BF2+AB2=BF2+62 (2) 由（1）（2）解得BF= AF=FC= AC=10AGF=E=Rt GAF=EAC RtAFGRtACE = FG=AF*=例4 已知如图4，在ABC中，C=90°，P为AB上的一

15、点，且点P不与点A重合，过点P作PEAB交AC边于点E，点E不与点C重合。若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，求y与x之间的函数关系式。（北京市海淀区2002年高级中学中等学校招生考试）解： 在ABC中，C=90°，AB=10，AC=8，根据勾股定理，得BC=6又PEAB EPA=ACB=RtA为公共角 AEPABC =又AP=x = 即AE=，PE=EC=8- BP=10-x y=PE+EC+CB+BP=+8-+6+10-x-+24设点E与点C重合(图4) 有CPAB又ACB=90° CA2=AP*AB 即 8210*AP 解得AP=因点P与

16、点A不重合，点E与点C不重合 故自变量x的取值范围是0xy与x之间的函数关系式为y-+24（0x)(二)由上题的解答过程中可以发现另一种特殊的情况，那就是C、E两点重合的情形。也就是当图5中的点E重合于点C时，基本图形就变成为图7的形式了。这时的字母表达式应为： =或AC2=AD*AB例5 已知如图5，在ABC中，AD平分BAC，AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F。求证:FD2=FB*FC。（广州市中考题）证明： 连结AFFAD=FDA CAD=BAD FADCAD=FDABADFAC=B 又AFC=BFA（公共角） FACFBA= FA2=FB*FC又FA=FD FD2=FB*F

17、C用数形结合、引辅助线、以及解方程（比例）、等量代换（线段比、“中间比”）去寻找解体思路。如寻找“对应”，即如要找对应定点，只要判断两个定点是否相等，相等的角为对应角，它们的顶点就是对应顶点，相应两个对应顶点的连线就是对应线段等。例6 已知如图6，在ABC中，ACB=90°,AM是BC边上的中线，D在AM上，且DBM=BAM。求证：CDAM。证明： DBM=BAM BMD=AMB（公共角） DBMBAM = BM2=DM*AM又AM是BC的边上的中线 CM=BM CM2=DM*AM =又AMC=CMD（公共角） CMDAMC CDM=ACM=Rt CDAM对于一些较难的几何图形，基本

18、图形是隐藏在所给的图形里，必须根据所给的已知条件适当引辅助线构成基本图形，才能达到目的。例7 已知如图7，在ABC中，ACB=2ABC.求证：AB2=AC2+AC*BC。证明： 作ACB的角平分线交AB于点D 则ACD=ABC 又A=A（公共角） ACDABC = AC2=AD*AB (1) AC*BC=AB*CD (2) 又B=DCB BD=CD 则（2）转化为 AC*BC=AB*BD (3)由（1）（3）得 AC2+AC*BCAD*AB+AB*BD=AB(AD+DB)=AB2 得证例8 已知如图8，在正方形ABCD中，M是AB上一点，N是BC上一点。且BM=BN，BECM，垂足为点E。求证

19、：DEEN。证明： ABC=Rt BECM 1MBE=2+MBE=Rt 1=2 同理 又DCEECB=2+ECB=Rt DCE=2 又MEB=BEC=Rt BCEMBE = 又BC=DC BN=BM = 即= 又DCE2 DCENEB DECNEB DENBEC=Rt DEEN同样道理，当ACB=ADC=Rt时，基本图形就变为图8了。这时就变成了我们所熟悉的射影定理。字母表达式为：AC2=AD*AB或BC2=BD*AB例9 已知如图9，AB是O的直径，点P在BA的延长线上,PC是O的切线，切点为C，且CDAB，垂足为E。若OE:EA=1:2，PA=6,求O的半径。(长沙市2002年初中毕业会考

20、)解： 连结OC 设OE=x OE:EA=1:2 EA=2x OA=OC=3xOP=3x+6PC是O的切线 PCO=Rt 又CDAB 由射影定理知 OC2=OE*OP即(3x)2=x(3x+6) x11 x20（不合题意，舍去）故r=OA=3*1=3三、圆中的基本图形重视掌握基本图形联系，演变，好就好在只要记住或回忆起其中一个，就能记住其它。如：相交弦定理，切割线定理，割线定理，就是从上面几种基本图形演变而来的。以切割线定理为例，可知此图形其实就是基本图形（二）的演变。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项。字母表达式：PC2=PA*PB（图9）例1 已知如图1，P为O外一点，PA为O切线