专题七：函数内容分析与教学（一）

1、函数内容分析与教学（一） 胡：老师们，大家好！今天起，我们一同分析函数的有关内容与教学建议。我们知道，函数是中学数学里第一个正式研究“变化”过程的内容，确切地说，是研究运动变化的重要数学模型。 初中函数的内容包括：函数的概念；三种表示法；正比例函数的图象和性质；一次函数的的图象和性质；反比例函数的图象和性质；二次函数的图象和性质。具体地，标准对函数内容的学习要求如下： 字幕： 1. 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。2. 结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。3. 能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。4. 能确定简单实际问题中函数自变量的取值

2、范围，并会求出函数值。5. 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。 6. 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。 这其中的关键点有哪些呢？ 马：正如胡老师刚刚提到的，函数是研究运动变化现象的重要数学模型，是初中代数的主线。在标准中，它的出现和定位有一些独特之处：一方面，在小学阶段，标准就提出了“探索规律”的学习任务，这实际上就是函数学习的初期；另一方面，初中阶段的数学课程中，函数的定义也仅仅是采用了较为直观的“变量说”：一个变量的变化，引起另一个变量的变化，而没有采用抽象的“映射说”；同时，函数的三要素、函数的单调性，奇偶性等基本特性也没有系统提及；而只是要求结

3、合具体的函数，有效地渗透，逐步揭示函数的直观、本质特征联系和变化；但同时，标准也突出了将函数作为初中代数内容主线的观点。所以，函数学习在初中阶段并不是一个“全新”的内容，需要关注其与小学阶段的延续性；同时，初中阶段的学习也不是理论性的，还是以直观研究为主；但需要介绍函数与方程、不等式等内容的联系。 字幕：函数概念学习要点 1. 关注其与小学阶段的延续性； 2. 初中阶段的学习以直观研究为主； 3. 关注函数与方程、不等式等内容的联系。 胡：如果从教学的角度看，该如何体现这样的定位呢？ 程：应当是在帮助学生建立函数概念的过程中：一方面，尽可能地选取现实生活情境、其他学科案例、小学数学中的相关实例

4、作为学习素材，另一方面，借助图像分析的方法，是帮助学生建立函数概念过程中必须要考虑的。比如， 字幕： 1. 婴儿的体重随着年龄的变化而变化（婴儿的图片）； 2. 学生上学途中存在着的众多变量和变化过程； 3. 温度随时间的变化而变化； 特别地，这样的背景、实例等应当采用尽早渗透的方式，让学生在不断接触的过程有逐渐消化吸收，感悟函数概念的本质，而不是“毕其功于一役”，那样多半只是流于形式，达不到感受本质特征的目的。 胡：具体到函数的各个相关内容，还要重视什么？ 马：简单地说要特别注意以下几点；就函数的表示法而言，关键在于每一种表示法的特征、适合于表达什么类型的函数；对值域与定义域，强调基于现实背

5、景的要求；对一次函数，突出自变量与因变量之间的“按比例变化”特征，以及一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的内在联系；对于二次函数，突出对形式的研究，以更好地显示出“数”与“形”的相互联系和转换，彰显数形结合思想，以及二次函数与一元二次方程的联系。 字幕： 函数表示法：每一种表示法的特征、适合于表达什么类型的函数； 值域、定义域：强调基于现实背景的要求； 一次函数：突出自变量与因变量之间的“按比例变化”特征，以及一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的内在联系； 二次函数：关注形式的研究，显示“数”与“形”的相互联系和转换，突出二次函数与一元二次方程的联系。

6、胡：许多老师反映：函数教学的重点、难点较多。两位老师对此有什么好的建议？ 程：刚刚提到过建立函数概念的一些做法。而对于函数表示法，重心应当是如何从表示法中获得“对应关系”，以及每一种表示法的特点。有关这方面的教学可以参考标准提供的三个案例： 字幕： 例54 小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回。父亲在报亭看了10分报纸后，用15分返回家。下面的图形中哪一个表示父亲离家后的时间与距离之间的关系？哪一个图形是表示母亲的行走过程？ 这里给出了图像法，它可以帮助学生从中概括出“对应关系”，并与题设相对照。 字幕： 例55 某书定价8元。如果一次购买10本以上，

7、超过10本部分打八折。分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系。 这是一个分段函数，函数的三种表示法均适用于这个例子。分段函数应当画图，并且关注分段点处函数的变化情况。可以分组讨论三种方法，然后让学生分析比较每一种表示法的特点。 字幕： 例56 甲乙两地相距20千米。小明上午8：30骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8千米/时；小丽上午10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40千米/时。分别表示两个人所用时间与距离的函数关系，并回答谁先到达乙地。 问题的要点是同时分析两个函数关系。可以启发学生用各种方法来解答第二个问题，在分析、总结学生的解答时，可以把两个函数的图像放在一起进行直观比较。 字幕： 一般来说，列表法能够很快找出特定自变量所对应的因变量值，适用于变量取值是离散、个数又较