用蒙特卡罗法计算多圆体面积参考模板

1、用蒙特卡罗法计算多圆体面积1、问题的提出已知平面区域上的n个圆的圆心及半径为(xi,yi,ri)， i=1,2,.,n， 求由这n个圆组成的多圆体的面积。（可采用蒙特卡罗法求近似值）请以下面这组数据为例给出你的计算结果。x0.0013-0.06830.49760.3116-0.01430.3944-0.3625-0.11000.42740.4175y0.21360.1183-0.15670.4360-0.37520.23060.14650.3332-0.10170.2498r0.83520.32250.55230.97910.54930.33040.61950.36060.75650.4139

2、2、模型的假设 我们作如下假设 假设落在边界上的点不算。 假设点落在每个区域的机率是等可能的。3、模型的建立 在矩形区域内产生随机点（x,y），如果该点（x,y）到任何一个圆心的距离小于其半径,则表示点落在区域内，否则落在区域外。产生的点数为N，如果点产生在曲线所围区域内，则计数器m加1，最后根据公式Area×S当N时，越接近于真实值。4、模型的求解取N=10000 (在长方形区域内产生10000个随机点)运行两次分别得到10个面积如表所示%蒙特卡罗法计即面积计算源程序x0=0.0013 -0.0683 0.4976 0.3116 -0.0143 0.3944 -0.3625 -0.

3、1100 0.4274 0.4175;y0=0.2136 0.1183 -0.1567 0.4360 -0.3752 0.2306 0.1465 0.3332 -0.1017 0.2498;r= 0.8352 0.3325 0.5523 0.9791 0.5493 0.3304 0.6195 0.3606 0.7565 0.4139;Cxy=x0' y0'for i=1:length(r)theta=0:2*pi/9000:2*pi;Circle1=Cxy(i,1)+r(i)*cos(theta);Circle2=Cxy(i,2)+r(i)*sin(theta);plot(Ci

4、rcle1,Circle2) 1 / 8hold onendaxis equalhold offfor k=1:10 n=10000; m=0;for i=1:n x(i)=unifrnd(-1,1.5); y(i)=unifrnd(-1,2); for j=1:length(r) if(x(i)-x0(j)2+(y(i)-y0(j)2<(r(j)2) m=m+1;break; end endendArea=2.5*3*m/nend表1 蒙特卡罗法计算面积所得数据3.99534.01934.01403.99223.99833.94134.00054.00574.01184.00733.9

5、8483.93983.93153.98634.09124.07783.99154.02973.95624.0403平均值4.00075、模型分析 因为是随机投点，而且边界上的点不算在区域内，所得面积比真实值小一点。如果增加投点数，误差可能会更小。用三次插值法计算广西面积摘要：根据测量的数据利用Malab软件进行三次多项式插值。关键词：Malab 插值 平面积分法1、问题的提出已知广西省的地图，为了算出它的面积，首先对地图作如下测量：以由西向东为x轴，由南向北为y轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标y1和

6、y2，这样就得到了测量的数据（单位：mm）。根据地图的比例我们知道70mm相当于355km，并且我们知道广西的面积为236700km ，试由测量数据计算广西近似的面积，并于它的精确值比较。广西地图边界测量值（单位：mm）表1x2510151825283540445055y166636558575857.53636231610y2717071.575.5757271727379.58589x60637075798387909296100105y19877991084356y2838379.5818785909293919797x1111151201251301381401421451501521

7、54y114152020.52933324950556262y210097981041021039570727170.564表2x22252830313335y137323635363634y2424447414142552、模型的假设 我们作如下假设。 假设测量的地图和数据准确，由最西边界点与最东边界点分为上下两条连续的边界曲线，边界内所有的土地均为该省的土地。 假设从最西边界点到最东边界点，变量xa,b,划分a,b为n小段x,x,并由此将土地分为n小块，设每一小块均为X区域。即作垂直于x轴的直线穿过该区域，直线与边界曲线最多只有两个交点。 由于在广西地图的某区间内作垂直于x轴的直线穿过该区

8、域，直线与边界曲线有四个交点，为了便于测量，我们把地图分为两部分，以保证作垂直于x轴的直线穿过该区域，直线与边界曲线最多只有两个交点。3、模型的建立 在求广西面积时，利用求平面图形面积的数值积分方法将该面积分为若干个小长方形，分别求出每个小长方形的面积，然后把它们相加即为该面积的近似解。设上边界函数为f2(x),下边界为f1(x)，由定积分定义可知曲线所围区域面积为dx= )-f1()式中x,x。4、模型的求解 %三次多项式插值及面积计算源程序代码1clear allx=2 5 10 15 18 25 28 35 40 44 50 55 60 63 70 75 79 83 87 90 92 9

9、6 100 105 111 115 119 120 125 130 138 140 142 145 150 152 154;y1=70 63 65 58 57 58 57.5 36 35 23 16 10 9 8 7 7 9 9 10 8 4 3 5 6 14 15 13 20 20.5 29 33 32 49 50 55 62 63;y2=71 70 71.5 75.5 75 72 71 72 73 79.5 85 89 83 83 79.5 81 87 85 90 92 93 91 97 97 100 97 96 98 104 102 103 95 70 72 71 71 64;newx=

10、2:0.1:154;L=length(newx);newy1=interp1(x,y1,newx,'linear');newy2=interp1(x,y2,newx,'linear');Area1=sum(newy2-newy1)*0.1*(355000/70)2/106fill(newx newx(L-1:-1:2),newy1 newy2(L-1:-1:2),'red')hold onplot(x,x,y1,y2,'r*')xlabel('东西距离（单位：mm）),ylabel(南北距离（单位：mm）)title(&#

11、39;广西面积计算三次插值法（比例尺70:355000）)代码2clear allx=22 25 28 30 31 33 35;y1=37 32 36 35 36 36 34;y2=42 44 47 41 41 42 55;newx=2:0.1:154;L=length(newx);newy1=interp1(x,y1,newx,'linear');newy2=interp1(x,y2,newx,'linear');Area2=sum(newy2-newy1)*0.1*(355000/70)2/106hold onplot(x,x,y1,y2,'r*')xlabel('东西距离（单位：mm）),ylabel(南北距离（单