泛函分析知识点参考模板

1、泛函分析知识点知识体系概述（一）、度量空间和赋范线性空间第一节 度量空间的进一步例子1. 距离空间的定义：设X是非空集合，若存在一个映射d：XXR，使得x,y,zX,下列距离公理成立：（1） 非负性：d(x,y)0，d(x,y)=0x=y;（2） 对称性：d(x,y)=d(y,x);（3） 三角不等式：d(x,y)d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作（X，d）2.几类空间例1 离散的度量空间例2 序列空间S例3 有界函数空间B(A)例4 可测函数空M(X)例5 Ca,b空间 即连续函数空间例6 l2第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间

2、1. 开球定义 设（X,d）为度量空间，d是距离，定义U(x0, )x X | d(x, x0) N时，必有，则称是X中的柯西点列或基本点列。如果度量空间（X,d）中每个柯西点列都在（X,d）中收敛，那么称（X,d）是完备的度量空间.【注意】（1）Q不是完备集 （2）完备 （3）cauchy列不一定收敛，但收敛列一定是cauchy列. （4）Ca,b完备2.定理 完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为M是X中的闭子空间.第五节 度量空间的完备化1.定义 设（X,d）,( ,)是两个度量空间，如果存在X到上的保距映射T，即，则称（X,d）和( ,)等距同构，此时T称为X到上等距同构映射。

3、2.定理1（度量空间的完备化定理） 设X=（X,d）是度量空间，那么一定存在一完备度量空间=( ,)，使X与的某个稠密子空间W等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即若( ,)也是一完备度量空间，且X与的某个稠密子空间等距同构，则( ,)与( ,)等距同构。3.定理1 设X=（X,d）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间=( ,)，使X为的稠密子空间。第六节 压缩映射原理及其应用1.定义 设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数，01, ，那么f(t)g(t)在a,b上L可积,并且3引理2(Minkowski不等式) 设p1,f,gLpa,b,那么f+gLpa,b,并且成立不等式

4、f+gp fp +gp4. 定理1 当p1时,Lpa,b按(6)中范数fp 成为赋范线性空间.5. 定理2 Lp a,b(p1)是Banach空间.6. 定理3 设X是n维赋范线性空间,e1,e2,en是X的一组基,则存在常数M 和M,使得对一切成立 .7. 推论1 设在有限维线性空间上定义了两个范数x和x1 ,那么必存在常数M 和M,使得Mxx1 Mx.8. 定义2 设(R1,x1 )和(R2 ,x2 )是两个赋范线性空间.如果存在从R1 到R2 上的线性映射和正数c1 ,c2,使得对一切xR1,成立c1 x2 x1 c2 x2则称(R1 ,x1)和(R2,x2 )这两个赋范空间是拓扑同构的

5、.8. 推论2 任何有限维赋范空间都和同维数欧氏空间拓扑同构.相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构.(二)有界线性算子和连续线性泛函第一节 有界线性算子和连续线性泛函定义1 设X和Y是两个同为实(或复)的线性空间,D是X的线性子空间,T为D到Y中的映射,如果对任何x,yD,及数,有T(x+y)= Tx+ Ty, (1)T(x)=Tx, (2)则称T为D到Y中的线性算子,其中D称为T的定义域,记为D(T),TD称为T的值域,记为R(T),当T取值于实(或复)数域时,就称T为实(或复)线性泛函. 定义2 设X和Y是两个赋范线性空间,T是X的线性子空间D(T)到Y 中的线性算子,如果存在常数c,使对

6、所有xD(T),有Txcx, (3)则称T是D(T)到Y中的有界线性算子,当D(T)= X时,称T为X到Y中的有界线性算子,简称为有界算子.对于不满足条件(3)的算子,称为无界算子.本书主要讨论有界算子.定理1 设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子,则T为有界算子的充要条件为T是X上连续算子.定理2 设X是赋范线性空间,f是X上线性泛函,那么f是X上连续泛函的充要条件为f的零空间N(f)是X中的闭子空间定义3 T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空间Y中的线性算子,称 (4)为算子T在D(T)上的范数.引理1 设T是D(T)上有界线性算子,那么 （6）. 有界线性算子和连续线性泛函的例子例6 赋范线性空间X上的相似算子Tx=x是有界线性算子,且T=|,特别IX =1,O=0.第二节 有界线性算子空间和共轭空间. 有界线性算子全体所成空间定理1 当Y是Banach空间时,B(XY)也是Banach空间. 共轭空间定义1 设X是赋范线性空间,令X表示X上连续线性泛函全体所成的空间,称为X的共轭空间.定理2 任何赋范线性空间