章末复习课2019(秋)数学必修第四册人教B版(新教材)改题型

1、章末复习课要点回顾IM. III形成体系网络构建核心归纳1.正弦定理及其变形、应用a b(1)正弦定理：在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,则白/=/*= sin a sin bcsnd= 2R(R为AABC外接圆半径).(2)三角形面积公式: 111 S= 2aha=2bhb=2chc；111 S= 2absin C = 2bcsin A = 2acsin B ；1S= 7p (p-a)(pb)(p c),其中 p = 2(a+b+c).(3)常用变形:a=2Rsin A, b = 2Rsin B, c=2Rsin C； sin A=a2R'sin B =b2R

2、'sin C =c2R；sin A : sin B ： sin C= a ： b ： c.(4)利用正弦定理主要解决两类解三角形问题：一类是已知两角和任一边，求其 他两边和一角；另一类是已知两边和其中一边的对角， 求另一边的对角，进而求 出其他的边和角.(5)解题时，要注意“三角形内角和为180。”，“在一个三角形中，大边对大角” 等平面几何性质的运用.2.余弦定理及推论(1)余弦定理三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍，即a2= b2 + c22bccos A;b2= a2 + c22accos B;c2= a2+ b22abcos C.(2)

3、余弦定理的推论b2 + c2 a2a2 + c2- b28s A=2bc ； 8s B=2ac ；a2+b2c2cos C ;2ab.(3)利用余弦定理主要解决两类三角形问题：一类是已知三边求任意一角；另一 类是已知两边和任一角，求其余的边与角.要注意结合图形解决问题，挖掘题目中的隐含条件，如圆内接四边形中的性 质，通过三边之间的关系，发现三角形的特点.3.正、余弦定理的实际应用应用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，通常都是根据题意，从实际问题 中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所要求的量，从而得 到实际问题的解.(2)解题时应认真读题，未给出图形的，要画出示意图，结合图形去

4、选择正弦定 理、余弦定理，使解题过程简捷.另外，对于实际问题的解，要注意题目中给出 的精确度，合理地取近似值.要点聚焦iiiiIIHIMMMWIIH 分类突破 I要点一 利用正、余弦定理解三角形解三角形的常见类型及解法在三角形的六个元素中，若知道三个，其中至少一个元素为边，即可求解三角形, 按条件可分为以下几种：(1)已知两角和一边，如已知 A, B和c,由A+B+C=tt求C,由正弦定理求a, b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知 a, b和C,应先用余弦定理求c,再应用 正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C=电求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角，如已知 a, b和A,

5、可先用正弦定理求B,由A + B+C=冗求C,再由正弦定理或余弦定理求 c,也可利用余弦定理构造关于边 c的一元二次方程求解.要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a, b, c,可应用余弦定理求 A, B, C.【例 11如图所示，在 ABC 中，AB=AC=2, BC=2/3,点D在BC边上，/ ADC = 45°,求AD的长度.“口 匚解 在 ABC 中，.AB = AC = 2, BC = 2/3,:由余弦定理，得cos C =又 0 °< C<180 ；1 sin C 2.AC2+BC2-AB2 亚2 AC BC: 2，在 ADC中，由正弦定理得,AD

6、 AC-z= :"sin C sin/ADC一 AC _21 . AD= . / gc sin C = j=zXV2.sin/ADC / 2T_ .兀，【训练11 如图所小，在 ABC中，B = -, AB=8,点D在BC31边上，CD = 2, cos/ ADC = 7.求 sin/BAD;(2)求BD, AC的长.解(1)在 4ADC 中，因为 cos/ ADC = 7,所以 sin/ADC=473所以 sin/ BAD = sin(/ ADC B)=sin/ADC cos Bcos/ ADC sin Bj1 17 33 一 八八 一八 c=(2)在4ABD 中，sin/ADB=

7、sin( f/ADC)sin/ADC = 473,由正弦定理，得ABsin/BAD14sin/ADB在4ABC中，BC=BD + CD = 5,由余弦定理，得AC2=AB2+BC22AB BC cos B= 82 + 52-2X8X5X1 = 49,所以AC = 7.要点二与三角形有关的综合问题该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，因此通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公【例2】4ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知a= bcos C+csi

8、nB.求B；若b = 2,求 ABC的面积的最大值.解 (1)由正弦定理知a=2Rsin A, b = 2Rsin B,c= 2Rsin C,得 2Rsin A= 2Rsin Bcos C+ 2Rsin Csin B,即 sin A=sin Bcos C + sin Csin B.又 A=Tt (B+C), . .sin KB+C) = sin(B+C) =sin Bcos C + sin Csin B,即 sin Bcos C + cos Bsin C= sin Bcos C+ sin Csin B,cos Bsin C= sin Csin B.: sin Cw 0,一 一 .z _，小兀c

9、os B= sin B且 B 为二角形内角，B-4.c 12(2)$ABC = 2acsin B= 4 ac,由正弦定理，得2=(=走*$所A=242sin A, "2"同理，得 c= 2/sin C,Saabc= *x 2/sin Ax 2V2sin C =2啦sin Asin C= 2/sin Asin 亨-A=2也sin A sin -cos Acos vsin A 442 、=2(sin Acos A+ sin A).一.，一. 匚一. 冗 ，= sin 2A+1cos 2A=y2sin 2A4 +1,. AC 0,手，.2A # j,蒙,即A=当对',SA

10、BC有最大值J2+1.8【训练2】 在锐角 ABC中，a, b, c分别为角A, B, C所对的边,且也a= 2csin A.(1)确定角C的大小;(2)若c=S,且 ABC的面积为323,求a+b的值.a 2c斛（1） . V3a = 2csin A， sn"A：击.由正弦定理知sin A-sin C'. c _2c . .退"sin C一欣'"sin C_ 2 . .一万: ABC是锐角三角形,. C =-. 3(2)，c=<7, C = ., .,.由面积公式得:37t2absin 3 =啜即ab= 6,由余弦定理得a2+b22abco

11、s 3= 7,-a2+b2-ab=7,即(a+b)2 3ab= 7, . (a+b)2= 25, . a+ b= 5.要点三 正、余弦定理在实际中的应用正、余弦定理在实际中的应用，具一般思路为：(1)准确理解题意及问题的实际背景，明确已知和所求，并理清量与量之间的关 系；根据题意画出图形，将实际问题抽象成解三角形的数学模型；(3)把要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理 等有关知识建立数学模型，然后正确求解.【例3】 某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后， 立即测出该渔船在方位角为45°,距离为10海里的C处，并测得渔船正沿方位 角为

12、105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以1073海 里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.解 如图所示，设所需时间为t小时，舰艇与渔船在B处相遇，则 AB=10/3t 海里，CB=10t 海里, 在 4ABC 中，/ACB=45°+ (180 - 105 )=120 ；根据余弦定理，有 AB2=AC2 + BC2-2AC BCcos /ACB,可得(10V3t)2 = 102+(10t)2 2X10X 10tcos 120 ,整理得2t2t1=0,解得t=1或t= 2（舍去）.即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB=10>/3（海

13、里），BC=10（海里）,在 ABC中，由正弦定理得BCABsin/CAB = sin 120，°13BCsin 120 0 10X 21所以 sin/CAB=ab= 2又在 AABC 中，/ACB=120； 所以/ CAB = 30 °,所以舰艇航彳T的方位角为75 :【训练3】 如图所示，一辆汽车从 O点出发，沿海岸一条 直线公路以100千米/时的速度向东匀速行驶，汽车开动时， 在。点南偏东方向距。点500千米且与海岸距离为300千米 的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物 品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少以多大的速度行驶，才能把物品递送到司 机手中，并求快艇以最小速度行驶时的方向与 OM所成的角.解 设快艇从M处以v千米/时的速度出发，沿MN方向航行，t小时后与汽车 在N处相遇.在 AMON 中，OM = 500 千米，ON=100t 千米,MN = vt 千米，设 /MON= %由题意，知sin a=|,贝 cos后去 55由余弦定理，知MN2 = OM2+ON220M ONcos %即 v2t2 = 5002+1002t22X500X 100tx5.2一一 21整理，得 v2= 500X-80 +3 600.、78