关于增根的一些问题

1、.关于增根的一些问题定义增根extraneous root ，在分式方程化为整式方程的过程中，假设整式方程的根使最简公分母为0，根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0那么这个根叫做原分式方程的增根产生增根的来源对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，假如转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。1分式方程2无理方程3非函数方程分式方程增根介绍在分式方程化为整式方程的过程中，假设整

2、式方程的根使最简公分母为0，根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0那么这个根叫做原分式方程的增根例： x/x-2-2/x-2=0解：去分母，x-2=0x=2但是X=2使X-2和X2-4等于0,所以X=2是增根分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整公分母的值不为0，那么此解是分式方程的解，假设最简公分母的值为0，那么此解是增根。例如: 设方程 Ax=0 是x=0 的根,称 x=a 是方程的增根;假如x=b 是方程Bx=0 的根但不是Ax=0 的根,称x=b 是方程Bx=0 的失根.非函数方程增根介绍在两非函数方程如圆锥曲线联立求解的过程中，增根的出现主要表如今定义域的变化上。例如：假设椭圆

3、x2/a2+y2/b2=1a>b>0，O为原点坐标，A为椭圆右顶点，假设椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，求椭圆的圆心率的范围。存在一种解法：椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，即是以OA为直径画圆，要求与椭圆有除了Aa,0以外的另外一个解。所以联立椭圆和圆的方程：x2/a2+y2/b2=1x-a/22+y2=a/22→x2+y2-ax=0→b2·x2+a2ax-x2-a2·b2=0 *因为有两个根，所以>0∴=2b2-a

4、2>0∴e≠1/21/2 二分之根号二而正解却是由*得 x1=a x2=a·b2/c2∴0∴1/21/2然而问题出在，无论怎么取，只要e≠1/21/2，好似永远都>0于是我们取e=1/2假设 a2=4 b2=3 c2=1即可得椭圆x2/4+y2/3=1···与圆x2+y2-2x=0···联立即可得 x2-8x+12=0 &

5、amp;middot;··*有十字相乘 x1=2 x2=6显然 此时 x2=6是增根将x2=6 带入式 y2= -24将x2=6 带入式 y2= -24将x2=6 带入*式 y2=2x-x2= -24可知这里的确实确是产生了一个增根，而且在解题过程中不能通过任何方式排除，这说明多个非函数方程联立求解时，方程本身无法限制x的取值。一般来说，直线与圆锥曲线的联立并没有出现过算出两个解，还需要带回去验根的情况，大概是因为圆锥曲线不是函数，而直线是函数的原因。不过值得注意的是：不是任何的两个非函数方程联立都会产生增根。例如圆不是函数，但求两个圆的交点，不会产

6、生曾根。增根的产生和定义域有关系，但没有绝对的关系。不能说联立方程时，将x定义域扩大或缩小就必然会引起增根。如上述例题中，式定义域-2，2 式定义域0，2大多数人是在式中，用x表示y，写成y=ax-x2，再带入式，产生了增根。但是假如我们在式中用x表示y，写成y2=b21-x2/a2，再带入式，我们仍然会得到增根。下面列出两种必然会出现增根的一般式：椭圆与抛物线椭圆x2/a2+y2/b2=1a>b>0和抛物线y2=2pxp>0联立方程式得b2·x2+a22px-a2·b2=0由韦达定理得 x1&mid

7、dot;x2=-a2·b2/b2=-a2<0 且 x1+x2=-2a2·p/b2<0可知，假设x1>0，那么x2<0，出现原因是忽略了y2=2pxp>0中的隐含定义域x>0。联立方程式求解误认为x∈R 。另外我们还知道|x1|<|x2|双曲线与抛物线双曲线x2/a2-y2/b2=1a,b>0和抛物线y2=2pxp>0联立方程式得b2·x2-a22px-a2·b2=0

8、由韦达定理得 x1·x2=-a2·b2/b2=-a2<0 且 x1+x2=2a2·p/b2>0可知，假设x1>0，那么x2<0，出现原因是忽略了y2=2pxp>0中的隐含定义域x>0。联立方程式求解误认为x∈R 。另外我们还知道|x1|>|x2|无理数方程增根介绍√ 2X2-X-12=X解：两边平方得2X2-X-12=X2得X2-X-12=0得X=4或X=-3增根出现增根的原因是由于两边平方忽略

9、了上式的X>0且根号内的值大于等于0.由于同样的粗心，错误还会在无理不等式中表达如何求增根解分式方程时什么根，往往是由于违背了方程的同解原理或对方程变形时粗心大意造成的。1. 假如不遵从同解原理，即使解整式方程也可能出现增根.例如将方程x-2=0的两边都乘x，变形成xx-2=0，方程两边所乘的最简公分母，看其是否为0，是0即为增根。还可以把x代入最简公分母也可。增根是不可无视性许多人解方程时，得到了增根，比方说能量是负值，一般的人都会将这个无视掉，但这些值是挺令人寻味的。著名的物理学家狄拉克利用相对论、量子力学寻找粒子的能量时，他发现某个粒子的能量和其动量严密相关，即E2=p2+

10、m2p为动量，m为粒子的质量，解得E=±p2+m2½,你肯定想保存正根，因为你知道能量不会是负值，但数学家们告诉狄拉克，你不能忽略负值，因为数学告诉我有两个根，你不能随意丢掉。“教书先生恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生概念并非源于教书，最初出现的“先生一词也并非有传授知识那般的含义。?孟子?中的“先生何为出此言也？；?论语?中的“有酒食，先生馔；?国策?中的“先生坐，何至于此？等等，均指“先生为父兄或有学问、有德行的长辈。其实?国策?中本

11、身就有“先生长者，有德之称的说法。可见“先生之原意非真正的“老师之意，倒是与当今“先生的称呼更接近。看来，“先生之根源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师为“先生的记载，首见于?礼记?曲礼?，有“从于先生，不越礼而与人言，其中之“先生意为“年长、资深之传授知识者，与老师、老师之意根本一致。要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察才能，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、开展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察才能和语言表达才能的进步。要练说

12、，先练胆。说话胆小是幼儿语言开展的障碍。不少幼儿当众说话时显得害怕：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学形式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的时机，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气