综合法分析法

1、§2.1 综合法 姓名 一、学习目标：1了解演绎推理及直接证明的一种基本方法 综合法2理解综合法的思考过程、特点，会用综合法证明数学问题二、 学习过程（一）复习1：复习2：课本P6最后两段合情推理为演绎推理确定了目标和方向，演绎推理为合情推理提供了前提且对猜想作出判决和证明。 否定猜想-举反例猜想需要推理 肯定猜想-证明（二）知识导学从 性的原理出发,推出某个 情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.演绎推理的一般模式：(1) -已知的一般原理; (2) -所研究的特殊情况; (3) -根据一般原理,对特殊情况作出判断.例如：1、每一个司机都应该遵守交通规则，

2、（ ）小李是司机， （ ）所以，小李应该遵守交通规则。 （ ）2、设m为实数,求证:方程x2-2mx+m-1=0有两个相异的实根. 利用三段论证明时,大前提: ; 小前提: ; 结论: . 3、写出用三段论证明f(x)=x3+sin x(xR)为奇函数的步骤.大前提: ; 小前提: ; 结论: . 三段论的基本格式MP（M是P） （大前提）SM（S是M） （小前提）SP（S是P）（结论）三段论推理的依据,用集合的观点来理解:如右上图。 演绎推理是由 到 的推理,从一般性的原理出发,通过三段论的模式,推出某个特殊情况下的结论,因而只要

3、、 、 都正确,结论就一定正确,即演绎推理得出的结论是可靠的. （三）引入新课引例：四边形ABCD是平行四边形，求证：AB=CD，BC=DA。证： 连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB/CD，BC/DA。故1=2，3=4。又AC=CA， ABCCDA 。故 AB=CD，BC=DA。思考：若利用三段论来证明,大前提，小前提，结论分别是什么？直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为直接证明，其一般形式为： 。 （左右，即综合法；右左，即分析法）综合法和分析法是直接证明的两种基本方法。思考：综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？（四）学习新知1综合法的定义从命题的

4、出发，利用 、 、 及 ，通过 ，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法(顺推证法) 2综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：说明：(1)综合法是“_ ”，其特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法(2)综合法的书写形式一般为：“ 因为 所以 ” (或“ ”)或 “ ”.3综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确

5、定恰当的解题方法第二步：转化条件，组织过程把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路第三步：适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取（五）例题分析例1 求证：是函数的一个周期。利用三段论证明时,大前提:一般地，对于函数f(x)，如果存在_，对定义域内的任意一个x值，都有_，我们就把f(x)称为周期函数，_称为这个函数的周期小前提: ; 结论: . 思考：如何用综合法书写证明过程？例2：（韦达定理）已知和是一元二次方程的两个

6、根。求证：。利用三段论证明时,大前提: ;小前提: ; 结论: . 思考：如何用综合法书写证明过程？例3：已知：x,y,z为互不相等的实数，且求证：证明：根据条件可得又由x,y,z为互不相等的实数，所以上式可变形为 。 同理可得 所以 (六)课堂练习：在中，三个内角、对应的边分别为a、b、c，且、成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：为等边三角形分析：由A,B,C是ABC的内角可得什么？由A,B,C成等差数列可得什么？由a,b,c成等差数列可得什么？(六)课堂练习：课本第9页练习(七)课外作业：课本第12页习题1-2 2，3 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（

7、 ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 组长或教师评价 该同学（学生）完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差§2.2 分析法(一) 姓名 一、学习目标：1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一 -分析法；2. 了解分析法的思考过程、特点。二、 学习过程（一）复习：1综合法的定义从命题的 出发，利用 、 、 及 ，通过 ，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法(顺推证法) 2综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框

8、图表示为：3. 特点：(1)综合法是“_ ”，是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件（二）引入新课例1 已知：a，b是不相等的正数。求证：。证明： a，b是不相等的正数， 即 即 。思考：这种证法是综合法吗？例1 已知：a，b是不相等的正数。求证：。证明（课本P9上的证法）：（三）学习新知1分析法的定义从 出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的 ，直到归结为这个命题的 ，或者归结为 、 、 等，这种思维方法称为分析法2分析法证明的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：说明：(1)分析法是“_ ”，其特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，

9、其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件(2)分析法的书写形式一般为：要证明只需证明即证明得到一个明显成立的条件，所以结论成立. 或用“ ”。（3）从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结论，这个倒推的证明方法就是综合法分析法与综合法是对立统一的两种方法例2 求证：。证明：要证明 ，只需证明 ，即 ，只需证明 ，即 56>50，这显然成立。这样就证明了例3 求证：函数在区间（3，+）上是增加的。证明：要证明函数在区间（3，+）上是增加的，只需证明 对于任意，（3，+），且>时，有 ，只需证明 对任意的>>3，有>>3，->0，且+>6，它保证上式成立

10、。这样就证明了：函数在区间（3，+）上是增加的。例4 如图,SA平面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证： AFSC 。证明: 要证AFSC只需证 ，只需证 ，只需证 ，只需证 ，只需证 ，只需证 ，只需证 ，因为:SA平面ABC成立（已知），所以. AFSC成立例5. 设a,b,c为一个三角形的三边,且S2=2ab, 试证： s < 2a证明:小结：分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，

11、最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。 (四)课堂练习：课本第11页练习1 1, 2(五)课外作业：课本第12页习题1-2 4，5 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 组长或教师评价 该同学（学生）完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差§2.2 分析法(二) 姓名 一、学习目标：1. 结合已经学过的数学实例，进一步了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2. 根据问题的特点

12、，结合分析法和综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法 ;3. 了解、掌握两种方法在解题中的灵活应用，交叉应用。二、 学习过程（一）复习引入：1. 分析法与综合法的区别与联系(1)区别：综合法是由因导果，步骤严谨、逐层递进、步步为营，书写表达过程条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹缺点是探路艰难、困于思考、不易达到所要证明的结论分析法是执果索因，方向明确、利于思考、思路自然，便于寻找解题思路缺点是思路逆行、易表述出错两种方法各有所长，在解决具体的问题时，结合起来运用效果会更好(2)联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后的一步归结为已被证明了的事实

13、因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结论，这个倒推的证明方法就是综合法2分析综合法（混合型分析法）分析综合法是同时从已知条件与结论出发，寻找其之间的联系而沟通思路的方法在解题过程中，分析法和综合法是统一的，不能把分析法和综合法孤立起来使用，分析和综合相辅相成，有时先分析后综合，有时先综合后分析具体做法是：从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径. 分析综合法的方法结构如图所示：（二）例题讲解：例1 如图，已知BE，CF分别为ABC的边AC，AB上的高，G为EF的中点，H为BC的中点.求证：HGEF.证明：考虑待证的结论“

14、HGEF” .根据命题的条件：G为EF的中点，连接EH，HF， 法 只要证明EHF为等腰三角形，即EH=HF.根据条件CFAB，且H为BC的中点，可知FH是RtBCF斜边上的中线.所以 .同理 . 法这样就证明了EHF为等腰三角形.所以 HGEF.思考：只用综合法，如何书写证明过程？若只用分析法，又如何书写呢？例2 已知：a，b，c都是正实数，且ab+bc+ca=1.求证：a+b+c.证明：考虑待证的结论“a+b+c” ，因为a+b+c0，只需证明，题后小结：选择综合法或分析法证明不等式(1)综合法是证明不等式的最基本、最常用的方法，由条件或一些重要不等式入手，难度不大的不等式证明多直接采用综

15、合法，但对于比较复杂的不等式的证明还需要结合分析法等其他方法及技巧才能完成(2)对于一些条件复杂、结论简单的不等式的证明经常用综合法；对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明常用分析法（三）练习：1欲证<成立，只需证()A()2<()2 B()2<()2C()2<()2 D()2<()22在不等边三角形中，a为最长边，要想得到A为钝角的结论，三边a，b，c应满足条件()Aa2<b2c2 Ba2b2c2 Ca2>b2c2 Da2b2c23要证：a2b21a2b20，只要证明()A2ab1a2b20 Ba2b210 C.1a2b20 D(a21)(b21)04若P，Q(a0)，则P，Q的大小关