近五年高考数学数列试题的研究

1、摘要【摘要】数列在中学数学中有着非常重要的地位，它衔接了初等数学和高等数学，是高考数学每年必考的重要内容。主要内容涉及到数列概念、等差数列和等比数列通项及求和、数学归纳法和数列极限等；它渗透了函数和方程、分类讨论、归纳等重要的数学思想。本文通过收集近五年全国各地的数学高考题中的数列考题，同时查阅相关资料与文献，分类归纳数列考题中包含的函数、方程、归纳、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想方法，并对其进行分析。在此基础上提出若干相应的复习建议。【关键词】高考；数列；思想方法；建议Research on sequence in mathematics test of college entranc

2、e examination nearly five yearsAbstract【ABSTRACT】Sequence in the middle school mathematics plays a very important position.It links elementary mathematics and advanced mathematics.It is the important content in mathematics test of college entrance examination of each year.Its main content involves s

3、equence concept,arithmetic progression,geometric progression and their general term formula and summation,mathematical induction and sequence limit etc.It infiltrates the mathematical thought about function and equation,classification discussion and induction.In this thesis,the author collects the s

4、equence questions and material in the university entrance exam all over the country nearly five years,then classifies and analyses the thought method about function,equation,conclude and numeral-form combination,classification discussion,reduction and transformation.At last,the author puts forward s

5、ome corresponding proposed review.【KEYWORDS】college entrance examination;sequence;method of thinking; suggestion目录摘要IIAbstractIII目录IV1引言11.1研究背景11.2研究目的及意义21.2.1研究目的21.2.2研究意义21.3研究方法和内容21.3.1研究方法21.3.2研究内容22高考中的基本数列42.1等差与等比数列42.1.1等差数列42.1.2等比数列52.1.3典型例题72.2递推数列92.2.1线性递推数列92.2.2非线性递推数列113高考中数列问题

6、所涉及的思想方法143.1函数思想143.2数形结合思想163.3方程思想173.4归纳思想183.5分类讨论思想203.6化归与转化思想234复习建议25参考文献26致谢28附录29481 引言1.1 研究背景数列既是高中代数的重要内容，又是学生进一步学习高等数学的基础。作为一种特殊的函数，数列通过反映自然规律而成为了一种基本的数学模型，涉及的数学思想与方法主要有转化与化归思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、函数与方程思想等。数列能够培养学生的数学逻辑思维能力、建模能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力以及推理论证能力，是学生进一步学习数学的基础知识和重要工具。教育部2003年公布的普通

7、高中数学课程标准（实验）中关于数列的安排是：必修5中通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。 数列是高考数学的主要考查内容之一，在高考中有着极其重要的地位，试题难度分布幅度大，既有容易的基本题和难度适中的小综合题，也有综合性较强对能力要求较高的难题。近几年的高考卷中，各省的考卷常见的都含有一道选择或填空题，外加一道解答题。解答题多为考查综合能力的试题，把数列知识和指数函数、对数函数和不等式等的知识综合起来，其中探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现，着重考查考生的思

8、维能力，解决问题的能力。（1）数列问题在数学高考题中所占的比重及题型形式。综合分析各省近几年高考数学试题，数列都占有非常重要的地位，一般情况下都是以一道选择或填空题和一道解答题的形式出现。选择题和填空题主要考查学生对等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等基础知识的掌握程度，此类题目对基本的计算技能要求比较高，具有“小、巧、活、新”的特点。若出现在解答题中，则该题属于中高难度的题目，甚至是压轴题。此类题具有综合性强、难度大、变化多等特点，以等差数列和等比数列内容为主要考查内容，以对数列的本质的知识和推理能力，运算能力以及分析问题和解决问题的能力考查为主（2）数列问题的命题特点。第一

9、，问题贴近基础，注重对理解能力和推理运算能力的考查。虽然以数列为背景的试题有易也有难，但往往是贴近数列的基础知识（包括等差、等比、通项、求和等相关的概念和性质），基本的要求即考察学生的理解能力和推理运算能力。透彻的理解数列的相关概念，恰当的运用相关性质和公式是解答好数列问题的首要条件和基础，也是正确理解题意的前提；第二，问题形式多变，注重对观察分析能力和数学思维能力的考查。数列试题的形式与形态多式多样，不拘一格。无论是题设的给出，还是问题的提法，甚至是对求解的要求，都常常打破常规，常常有创新的试题出现；最后，是以数列为引线编制的综合性强、内涵丰富的试题，此类题目能深入的考查学生的综合素质。通常

10、，对数列的定义即数列是按一定顺序排列好的一列数。理解为以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，因此能够引发数列问题的背景材料非常丰富，可以是在实际方面的应用，也可以是各种数学研究对象（如函数、集合、几何图形等）。同时，围绕给定的数列也能够提出许多数学问题，这些问题除了数列自身各种性质外，还会有大量的外延性的问题，如函数、不等式、方程、三角、几何性质之类的问题。数列与其它的知识存在的大量的联系使得它有着广泛的应用，这就要求学生同时关注各板块知识之间的联系，注重综合能力的培养。纵观近几年全国各地高考试题，发现高考数列试题具有贴近基础、模式多变、综合性强等特点，只有在平时的学习中做到夯实基础、抓

11、住特征、掌握联系，才能在高考中取得好成绩！1.2 研究目的及意义1.2.1 研究目的许多优秀的数学教师以及教材编写者编写有一些针对高考数学复习辅导的资料，但单独地谈及数列问题的较少。有的参考资料也有涉及到，但是对解决数列问题的思想方法研究得还不够充分，对数列高考试题的研究缺乏整体性、缺乏相关研究。此外，一些网站上对这方面的介绍和研究也缺乏全面性。本文就是针对这方面，在前人研究的基础上，结合自身的学习和实践，对高考以及高考中的数列问题、历年高考的数列问题以及解决此类问题的不同思想方法进行分类总结，并在此基础上提出若干相应的复习建议。1.2.2 研究意义数列问题在高考数学中占有重要地位，对其进行研

12、究，将极大地丰富高考数学的内容，有助于推动高考数学的发展。对于数学教师来说，可以丰富他们的教学内容，他们可以将研究成果用来指导学生进行相应复习；对于学生来说，可以让他们全面的了解数列问题的特点以及解决各类数列问题的思想方法，提高他们的解题能力；甚至对于命题者来说，这些成果也可以给他们进行命题提供一定的帮助。1.3 研究方法和内容1.3.1 研究方法本文采用文献分析法和实证分析法， 收集近五年全国各地的数学高考题中的数列考题，同时查阅相关资料与文献，分类归纳数列考题中包含的函数、方程、归纳、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想方法，并对其进行分析。1.3.2 研究内容本文将主要围绕以下几个方面的

13、内容展开研究： 1.研究高考以及高考中基本的数列：等差与等比数列以及各种类型的递推数列； 2.对历年高考的数列问题以及解决此类问题的不同思想方法进行归纳总结； 3.结合以上研究，提出若干相应的复习建议。本章小结本章通过对研究背景的分析，阐述了对高考中数列问题进行研究的必要性，提出了研究目的和意义，明确了研究的内容。2 高考中的基本数列2.1 等差与等比数列数列是一种特殊的函数，也是能反映自然规律的基本数学模型。在高中阶段，学生通过分析日常生活中大量实际问题，继而建立等差数列和等比数列这两种数列模型，从而探索并掌握它们的一些基本数量关系，同时感受这两种数列模型的广泛应用，并在此基础上利用它们解决

14、一些实际问题。等差数列与等比数列是高考的热点，在数学高考的数列问题中占着很大的比重。这两种特殊的数列通常是设计数列综合题的“生长点”和“中途点”，是学生解答相关综合题的“突破点”，而且各个省的数列高考题的“关键点”都在于向某个特殊数列的转化和过渡。等差与等比数列往往是研究数列问题的基础，是解答高考数列问题的铺路石，自然也是高考数学研究的重点。2.1.1 等差数列数列满足（其中d是常数），则这个数列叫做等差数列，d叫做公差。若等差数列的首项是，公差为d，则的通项公式为，而对于任意的，有；若等差数列的前n项和为，则或。等差数列具有以下重要的性质: （1）若，且，则。当时则有。 （2）若，是等差数列

15、，公差分别为，则也是等差数列，公差分别为。 （3）若数列是等差数列，且正整数l，m，p也成等差数列，则也成等差数列。 （4）若等差数列的前n项和为，则也成等差数列。 （5）当d>0时，数列是递增数列；当d<0时，数列是递减数列；当d=0时，数列是常数列。 （6）是关于n的一次函数，是关于n的二次函数。 （7）若是等差数列，则，当项数为偶数2n时，当项数为奇数2n-1时，。 例1 已知数列的前n项和（n为正整数），令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式。（2009年湖北卷） 分析解答：在中，令n=1，可得，即得。当时，则，所以，即，又，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，于是，

16、。 评注：本例主要考查等差数列的定义以及数列的通项公式，通过运用等差数列定义证明得到的通项公式，从而得到的通项公式。 例2 设等差数列的前n项和为，若，则。（2009年全国卷一） 分析解答：得到。 评注：对于性质1，可以扩展为两项以上，如果两边的项数相同，只要下标数值相加相等，那么等号仍然成立。此例就是对该性质的应用：。 例3 设等差数列的前n项和为，若，则。（2007年辽宁卷） 分析解答：因为数列为等差数列，所以也成等差数列，则。 评注：解此例也可通过列方程组来求通项公式，从而得到所要求的式子的值，但是利用性质以后明显可以使运算更简单。2.1.2 等比数列 若数列满足，其中q为不等于零的常数

17、，则称该数列为等比数列，q称为公比。若等比数列的首项是，公比为q，则的通项公式为，而对于任意的，有；若等比数列的前n项和为，则或，当时，所有项的和。 等比数列具有以下重要的性质： （1）若，且，则。当时则有。 （2）若，是等比数列，公比分别为，则也是等比数列，公比分别为。 （3）若数列是等比数列，且正整数l，m，p成等差数列，则也成等比数列。 （4）若等比数列的前n项和为，则也成等比数列。 （5）若是等比数列，则，当项数为偶数2n时，当项数为奇数2n-1是，。 例4 设是公比为q的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则。（2009年江苏卷）分析解答：由已知数列有连续四项在集合中，则数列必有

18、连续四项在集合中。若公比q为正则该数列的四项必均为正或均为负值，显然不合题意，所以公比q必为负值。又由知，按此要求在集合中取四个数排成数列可得数列-24,36，-54,81或18，-24,36，-54（此数列不成等比，故舍去），由于-24,36，-54,81的公比，所以。评注：本例考查了等比数列的通项与基本量的求解问题，利用等比数列构造另一个数列，利用所构造数列的性质去研究等比数列是高考的热点问题。例5 设为等比数列的前n项和，则。（2010年浙江卷）分析解答：设等比数列公比为q，由已知，得，解得，故。评注：本例考查等比数列的通项及前n项和公式，利用已知的条件求出公比，通过数列的性质来求和。例

19、6 设等比数列的前n项和为，若，则。（2009年辽宁卷）分析解答：有两种方法解答，方法一：由已知可得 ，所以，所以，；方法二：由等比数列的性质知成等比数列，则可设，则因为,所以可得，故。评注：本例考查等比数列的求和公式，通过等比数列求和公式和等比数列求和的性质两种方法进行解答，由此可以看出，求解数列问题时，方法可以有很多。2.1.3 典型例题 上述总结了等差数列与等比数列的定义和性质，这些性质都非常重要。在高考中，经常会出现隐藏的等差或等比数列以及等差数列和等比数列相结合的问题，要求学生灵活运用两种数列及其性质进行解题。 例7 数列的通项，其前n项和为，则。（2009年江西卷） 分析解答：由条

20、件可知，则有，同理可求得，有，故。 评注：本例考查数列的求和运算，由于不是常见的等差型与等比型数列，必须重新组合使之成为等差或等比型数列再求解。出现此类题目关键是观察其特点，尽量转化为我们所熟悉的数列进行解题，涉及到化归与转化的思想方法，下一章将做进一步介绍。 例8 等比数列的前n项和为，已知成等差数列，则的公比为_。（2007年全国卷一）分析解答：这里需讨论当公比q=1的情况，当q=1时，,不符合题意。时，由，由题意,即，整理得，解得。评注：本例综合考查等差、等比数列的定义以及前n项和公式，但应注意讨论q=1的情况。当然，也可以直接由代入求解。例9 设等差数列的公差d不为0，若是与的等比中项

21、，则。（2007年天津卷）分析解答：由已知有，因为，且，得。评注：与上例类似，综合考查等差、等比数列的概念及运算。例10 将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数构成的数列为，。为数列的前n项和，且满足。(I)证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；（II）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当时，求上表中第行所有项的和。（2008年山东卷） 分析解答：(I)证明：由已知，当时，又，所以，即，所以，又，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，由上可知，即，所以当时，因此。（II）设上表中从第三行起，每行的公比都为

22、q且，因为，所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，故在表中第13行第3列，因此，又所以，记表中第行所有项的和为S，则。 评注：本例是考查等差、等比数列定义及运算的综合题，（I）题要求从等差数列定义出发证明，通过所得的结论来得到所求数列的通项公式。在高考题中，类似此题从定义出发证明，并过渡到求某个相关数列的通项及求和的题目非常常见。2.2 递推数列若数列自第k项后的任一项由关系式确定，则称数列是递推数列。若f是线性的，则称为线性递推数列，否则称为非线性递推数列。数学高考中涉及到的数列问题既有线性递推数列，也有非线性递推数列，通常以后者为主，并出现在综合题中，以求通项公式为主，或者以求通项

23、为过渡来考查学生其他的一些知识点。因此本文着重讨论求通项公式。2.2.1 线性递推数列若数列从第k项后任一项都是其前k项的线性组合，即有下式，其中，是常数，则称数列为k阶线性递推数列，上式称为数列的递推方程。对应的代数方程称为k阶线性递推数列的特征方程。线性递推数列主要有以下两种类型：二阶线性递推数列和k阶线性递推数列。高考考题中，二阶线性递推数列问题比较常见，而k阶线性递推数列几乎不出现（它的通项可利用特征及性质即“特征根法”求出），在此只介绍二阶线性递推数列。 形如的递推式为二阶线性递推数列，求其通项，分两种情况进行讨论：（1） 当p+q=1时，则有，此时发现是公比为-q的等比数列。可以求

24、出的通项公式，接着使用叠加法来求。（2）当时，先用待定系数法假设存在满足，展开后与原式对比求出的值，再求出，。例11 设p，q为实数，是方程的两个实根，数列满足。（I）证明：；（II）求数列的通项公式；（III)若，求的前n项和。（2008年广东卷）分析解答：（I）由已知条件为方程的两个实根，则有：；（II）由（I）有，从而可写成，所以有。令，则有，即，故当时，而，所以当时都有故，（III)若，则，这时，其前n项和为，且因为，故。 评注：本例中的二阶线性递推数列求通项公式前有第一小题做了过渡，因此代入后可以直接转化成所要的形式，降低了难度。而第三小题是特殊情况，根据前两小题就可以得出结果。2.

25、2.2 非线性递推数列 在高考考题中，非线性递推数列常见的是一阶递推数列、二阶递推数列以及其他几种特殊形式的数列类型。以下就对常见题型分类型进行介绍。 （1）一阶递推数列形如的递推式，求通项时可以先将该式转化为，然后使用叠加法来求。例12 设数列满足，（I）求数列的通项公式。（2010年课程标准卷）分析解答：因为，则：，得到又，所以数列的通项公式为。例13 数列中，且成公比不为1的等比数列。（I）求c的值；（II）求的通项公式。（2007年北京卷）分析解答：（I）由已知有，因为成等比数列，所以，解得c=0（不符，舍去）或者c=2，故c=2.（II）当时，由于，所以有，又，故，当是上式也成立，所

26、以。形如的递推式，与上述的二阶线性递推数列类似，可用待定系数法，令，把式子展开后与原式对比便可求出x，这样就构造了一个新的等比数列，先求出，再求。例14 在数列中，若，则该数列的通项。（2006年重庆卷）分析解答：由，得，所以是首项为4，公比为2的等比数列，即，所以。 形如的递推式，其通项可以先两边同除以，变为，然后叠加求出。例15 在数列中，其中实数，（I）求的通项公式。（2010年重庆卷）分析解答：由原式得，令，则，且，对有，因此，又当n=1时上式成立，因此。例16 在数列中，其中，（I）求数列的通项公式。（2007年天津卷）分析解答：（I）由已知条件，等号两边同时除以，得到，令，则有，以

27、上各式叠加后得到，即得。或者还可以在除以之后化成的形式，此时为公差为1，首项为0的等差数列，故，所以数列的通项公式为。评注：由此例可以看出，同样求通项公式，可以通过不同的转化方式来得出结论，此题还可以先求，观察猜想得到，接着通过数学归纳法证明结论。一题多解在解决数列问题上也相当重要，体现了数列问题的灵活性。 （2）二阶递推数列对于二阶递推数列，可以通过转化将其转化为一阶递推数列。例17 已知数列满足：，且，求数列的通项公式。分析解答：此二阶递推式可以经过转化变为，此时可将，则有，即，经过叠加得到，于是有，此时转化为一阶递推式，根据一阶递推数列求通项的方法可得。评注：以上的二阶递推数列可以较容易

28、的转化，如果在解题时遇到相对复杂的递推式，也可考虑用数学归纳法进行证明。 （3）形如的递推式，可以通过“累乘法”求通项。令得到n-1个式子，然后相乘，当可以求得时，便可求出。例18 在数列中，（I）设，求数列和的通项公式。（2009年全国卷）分析解答：在第1小题的解答中，根据题意可等式两边同时除以（n+1），得到，令，再求和，答案此处不详细给出。评注：本例根据题意经过转化后易求，若将题中递推形式改为，则运用上述方法可得，即，经过累乘后可求出。 （4）形如，两边分别取对数得，令，对于数列有，这个形式就可以用前面的方法来解决了，求出了，同时也就可以得到。例19 已知，点在函数的图象上，其中，（I）

29、证明数列是等比数列。（2006年山东卷）分析解答：由已知有，所以，因为，所以，两边取对数得：，即，所以是公比为2的等比数列。 （5）形如的递推式，其中我们称由此递推式确定的数列为分式线性递推数列。解决此类问题可以通过解特征方程的根来构造所要的递推形式。通过计算得到方程的两个不等的根，则可以变形为，其中k由和系数确定的。当得到两个相等的根，则可以变为，其中k是由和确定的。以上方法也被称为“不动点法”。 例20 已知数列的首项，（I）求的通项公式。（2008年陕西卷）分析解答：由已知条件，可以运用“不动点法”，求出特征方程的两个不同实根为0和1，则可变型为，令，则，求得，由得。评注：本例用“不动点

30、法”来求通项公式，实际上，当中系数b为0时，可以使用“倒数法”来解，将等号两边同时取倒数得到，此时令便容易求出和。3 高考中数列问题所涉及的思想方法高考中的数列问题会涉及到很多思想方法，常见的有函数思想、数形结合思想、方程思想、归纳思想、分类讨论思想、化归与转化的思想等。3.1 函数思想 函数是贯穿整个高中数学的一条主线，而函数思想也是基本的数学思想。函数思想就是用变量和函数来思考问题。数列是一类定义在正整数集或它的有限子集上的特殊函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，特殊的，等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而求和公式可看成是常数项为零的一个二次函数，因此许多数列问题

31、可以用函数的思想进行分析，利用函数的相关性质解决相应数列问题，即以运动和变化的观点来分析数列问题的数量关系，从而建立起函数关系并运用函数的图象和性质求解，最终使问题得到解决。例1 已知数列满足，则的最小值为_。（2010年辽宁卷）分析解答：观察已知条件，累加法求数列通项公式：，各式相加的，所以，构造函数，时在时函数取得最小值，但是由于此题n需取整，所以将5和6代入验证，当n=5时，当n=6时，显然当n=6时，取得最小值，最小值为。评注：本例中的数列是本文上一章提到的一阶非线性递推数列，通过累加来获得通项公式。在求最小值时构造了一个函数，通过函数的单调性来求最小值。另外，在解数列相关的问题时必须

32、注意n的取值范围。例2 已知数列的前n项和为，且，（I）证明：是等比数列；（II）求数列的通项公式，请指出n为何值时，取得最小值，并说明理由。（2010年上海卷）分析解答：（I）当n=1时，解得，则。当时，所以，得，即，所以是首项为-15，公比为的等比数列。（II）由（I）有，所以，当时，即有，解得，当时，；当时，故n=15时，取得最小值。评注：本例第二小题中将看成关于n的函数，通过求的取值来获得的单调性，通过考虑n的取值范围来确定的最小值。例3 若数列的前n项和，则此数列的通项公式为_;数列中数值最小的项是第_项。（2007年北京卷）分析解答：当n=1时，；当n>1时，所以有。由可得该

33、式为关于n的二次函数，其对称轴，满足，又，所以中最小，即数列数值最小的项是第3项。评注：本例的已知条件中，观察发现该数列是等差数列，从此特点入手求通项公式亦可。对于求中的最小值，注意n的取值范围，取函数的对称轴最近的两个正整数值为n值求出，从中取大。例4 已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是_。(2008年四川卷) 分析解答：设等比数列的公比为，由得，由函数的性质，当x>0时，当x<0时，当，因此的取值范围是，其中当且仅当时，。评注：本例的解题思路是先通过和q来表示出，使表示成为关于q的函数，再根据函数的图象和性质来得出的取值范围。此处也可以使用均值不等式来得到，两种方法都是

34、学生平时熟悉的。3.2 数形结合思想数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。在上述函数思想一节内容中的例题都用到了数形结合思想，通过研究构造的函数的图象来获得其单调性，从而求得与数列相关问题的最值。特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，求某一项或者求和的最大最小值时问题就转化成求函数的最大最小值，只是定义域为正整数。所以，函数思想、数形结合思想往往在解决数列各类问题中相结合使用，通过建立函数模型并

35、结合函数图象来解决数列问题相当常见。3.3 方程思想 方程思想就是从问题的数量关系入手，使用数学语言将问题中的条件化为相关的数学模型（方程、不等式或方程与不等式的结合等），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。当然，有些情况会实现函数与方程的互相转化。等差、等比数列一般涉及五个基本量：。于是“知三求二”成为等差、等比数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解。例5 设等差数列的前n项和为，若，则。（2009年陕西卷）分析解答：由题意得：，所以，。评注：本例考查等差数列的通项与求和，考查数列极限的求解，运用待定系数法构建方程组确定通项及求和是求解的关键。根据等差数列基本量的

36、关系，先求的表达式，再求的值。例6 设是公差不为零的等差数列，为其前n项和，满足，（I）求数列的通项公式及前n项和。（2009年江苏卷）分析解答：由题意，设等差数列的通项公式，由知，又因为，所以，联立，所以数列的通项公式，。例7 等差数列各项均为正整数，前n项和为，等比数列中，且，是公比为64的等比数列，（I）求和。（2008年江西卷）分析解答：设的公差为d，的公比为q，则d为正整数，依题意有,由知q为正有理数，又有知，d为6的因子1,2,3,6之一，解方程得，故。例8 设为实数，首项为，公差为d的等差数列的前n项和为，满足，则d的取值范围是_。（2010年浙江卷）分析解答：据已知，可得，整理

37、得，将等式视为关于的方程，则方程满足有解，故有，解得。评注：本例考查等差数列前n项和公式及方程思想应用。3.4 归纳思想归纳思想也是解决数列问题的重要思想之一，是从特殊到一般的思维方法。通过分析有关数据和资料来建立数学模型，进而探索并发现数学问题中蕴含的规律。通过从特殊到一般的推理（即归纳）过程在解决数列问题中表现的尤为突出。例9 在数列中，其中，（I）求数列的通项公式。（2007年天津卷）分析解答：由已知计算得：，同理，由此猜想出数列的通项公式为。以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，等式成立。（2）假设当n=k时等式成立，即，那么，也就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2）可

38、知，等式对任何都成立。评注：本例在上一章中提到过，是一阶递推数列，也可以通过等号两边同时除以之后得到式子：，再令进行解答。例10 在数列与中，数列的前n项和满足，为与的等比中项，.(I)求的值；（II）求数列与的通项公式。（2008年天津卷）分析解答：(I)由题设有，及，进一步可得，猜想.先证，当n=1时，等式成立.当时用数学归纳法证明如下：（1）当n=2时，等式成立.（2）假设当n=k时等式成立，即，由题设，.,.的两边分别减去的两边，整理得，从而，这就是说，当n=k+1时等式也成立.根据（1）和（2）可知等式对任何的都成立.综上所述，等式对任何的都成立.再用数学归纳法证明。（1）当n=1时

39、，等式成立。（2）假设当n=k时等式成立，即，那么，这就是说当n=k+1时等式成立。根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立。评注：遇到不能直接得到数列通项公式时，可以使用数学归纳法得到通项，关键是在证明过程中合理巧妙地运用已知条件中的关系式。例11 已知数列满足。（I）猜想数列的单调性，并证明你的结论。（2009年陕西卷）分析解答：由及得，由猜想：数列是递减数列，下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立。（2）假设当n=k时命题成立，即，易知，那么有，即，也就是说当n=k+1时命题成立，结合（1）和（2）知，命题成立。评注：本例是通过数学归纳法来证明数列的性质，经历了计算、观察

40、、归纳、猜想以及证明等几个过程，体现了归纳思想在解决数列问题中的重要性。例12 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表。从上往下数，第1次全行的数都为1的是第一行，第2此全行的数都为1的是第三行，第n次全行的数都为1的是第_行；第61行中1的个数是_。(2007年湖南卷)分析解答：第1行，全是1，第1次；第3行，全是1，第2次；第7行，全是1，第3次，猜想第n次出现1是第行，由前面的猜想知n=6时，即第6次出现全是1时是第63行。，第61行中，共有64个数，则第61行中0的个数是，则1的个数为32个。评注：数列图形题在高考中经常出现在选择填空题中，考查学生观察、猜

41、想和归纳的思想，本例要求学生注重观察图形和出现1、0的规律，在总结规律的基础上进行解答。3.5 分类讨论思想 分类讨论思想是根据问题的实际需要按一定标准将所研究的对象分成若干种不同的情况，把复杂的问题分解成若干个小问题并逐一解决的思想方法。分类讨论能使问题变得简单、清晰、明朗。在解决数列问题时，分类讨论的思想尤为重要，包括对特殊数列的通项公式和前n项和的讨论。如由求，要对n=1和n1讨论；在等比数列求和时，若公比q没有明确给出，需要分和讨论；在数列求和中有时需要进行奇偶分析讨论,有些数列的通项公式是分段表示，解题过程需要讨论；在数列解题中有时根据过程需要进行讨论例13 已知数列和满足：，其中为

42、实数，n为正整数。（II）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论。（2008年湖北卷）分析解答：因为，即得，又，所以当时，此时不是等比数列；当时，由上可知，所以。故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。评注：等比数列中，因此在本例中要讨论的取值情况来判断数列是否为等比数列。例14 （I）设是各项均不为零的项等差数列，且公差。若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来顺序）是等比数列，（i）当n=4时，求的数值；（ii)求n的所有可能值。（2008年江苏卷）分析解答：首先证明一个“基本事实”：一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差。事实上，设这个数列中的连续三项成等比数列，则

43、，由此得。（i）当n=4时，由于数列的公差，故由“基本事实”推知，删去的项只可能为或。若删去，则由成等比数列，得，因，故由上式得，即，此时数列为，满足题设。若删去，则由成等比数列，得，因，故由上式得，即，此时数列为满足题设。综上所述，的值为-4或1.（ii）若，则从满足题设的数列中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列的公差必为0，这与题设矛盾。所以满足题设的数列的项数。又因题设，故n=4或5.当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。当n=5时，若存在满足题设的数列，则由“基本事实”知删去的项只能是，从而成等比数列，

44、故有：，分别化简上述两个等式，得及，故，矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列。综上所述n只能为4.评注：本例考查学生的等差、等比数列的相关概念和性质，以及运用分类讨论的思想进行探索、分析论证的能力。在解题过程中通过对n的取值及删去项的讨论来判断此时的数列是否满足题意。例15 在数列与中，数列的前n项和满足，为与的等比中项，.(I)求的值；（II）求数列与的通项公式；（III）设。证明。（2008年天津卷）分析解答：在例10中通过数学归纳法得到了和的通项公式，（III）由得到当时，注意到，故。当时，当时，当时，所以有从而时有总之，当时有，即。评注：本例在卷中压轴，在求出两个数列通项公式

45、后，第三小题中的是这两个数列以某种形式结合成一列特殊数列后进行求和。由于表达式的特殊性，要求对n分四类进行讨论。3.6 化归与转化思想在处理数列问题时，常常将待解决的问题通过转化化归成为一类我们熟悉的问题来解决。特别是解决等差（等比）数列问题，都可以归结为探究首项和公差（比）问题；非等差、等比数列的问题常通过构造辅助数列转化为等差或等比数列求解；有些数列的求和问题、应用题通常也会转化为等差、等比数列问题来解决。通过学习两个基本数列，从而在化归与转化过程中掌握更多的数列，这是数列学习的隐性目标。例16 等差数列的前n项和为，。（I）求数列的通项与前n项和；（II）设，求证：数列中任意不同的三项都

46、不可能成为等比数列。（2007年福建卷）分析解答：（I）由已知得，所以d=2，故。（II）由（I）得。假设数列中存在三项（p，q，r互不相等）成等比数列，则，即，所以，因为，所以，即，与矛盾。所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列。评注：本例考查化归的数学思想方法，化未知为已知，假设题设成立的前提下来导出矛盾，进而得出结论。在无法直接证明结论时，先假设数列中的不同的三项能成为等比数列，此时将问题转化为常规的等比数列题，根据等比数列的性质导出矛盾，化繁为简，化难为易。例17 在数列中，。（I）设，求数列的通项公式；（II）求数列的前n项和。(2009年全国卷)分析解答：（I）由已知得，且，即

47、，从而叠加得，又，故所求通项公式。（II）由（I）知，令，则，于是，又，所以。评注：本例第1小题通过将已知的等式进行转化，得到的一个递推关系式，从而为求的通项公式服务。在第2小题中，通过求进而求，在求时用到了“错位相减法”，化繁为简，方便计算。例18 数列的前n项和为，若，则等于_。（2007年福建卷）分析解答：因为，所以。评注：本例通过“裂项相消法”话难为易。例19 已知曲线，从点向曲线引斜率为的切线，切点为。（I）求数列与的通项公式。（2009年广东卷）分析解答：（I）直线的方程为，.代入曲线的方程得：，.因为与相切，则方程有等根，所以解得，。评注：本例要求的是数列与的通项公式，由已知条件

48、将其转化为求两条曲线与的切点坐标，进而从相切的特殊关系出发，又转化为通过解方程得到切点横坐标。数列、曲线的切线与方程相结合，一步步转化，一步步化难。4 复习建议数列是高中数学重点内容之一，是初等数学与高等数学的重要衔接点，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与高中数学其他部分的知识有着密切的联系，又有自己鲜明的特点。而且具有内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性，因此数列一直是高考考查的重点和热点。高考对数列的考试要求包括：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据数列的递推公式写出数列的前几项或证明其他一些性质。（2）理解等

49、差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。纵观各省近几年高考数学试题，数列都占有相当重要的地位，填空题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，对基本的计算技能要求比较高，具有“小、巧、活、新”的特点，解答题属于中高档难度的题目，甚至是压轴题具有综合性强、变化多、难度较大特点，重点以等差数列和等比数列内容为主，考查数列内在的本质的知识和推理能力，运算能力以及分析问题和解决问题的能力。以下就从复习的重点、热点、疑点、难点四个方面说明针对数列的几点复习建

50、议。一、重点等差数列与等比数列的基础知识等差数列与等比数列是学生最先学习和熟悉的两个基本数列，它们是一切数列问题的出发点和归宿，其产生、演变与深化的过程中蕴藏着丰富的数学思想方法，复习过程中要重视其产生的过程。等差数列与等比数列包含5个基本量，在求通项公式及求和的时候“知三求二”是重要的思想方法，凡涉及等差或等比的数学问题，都可以转化为首项与公差或公比之间的关系，最终解决问题。此方法也是方程思想的体现，除此之外，函数思想在解决等差等比数列中也应用的非常广泛。因此，在复习中可以通过加大等差、等比数列的概念以及通项公式、求和公式的回顾来加深对数列基础知识的掌握，加深对函数方程思想的理解。2、 热点

51、数列求和与求通项 在学习了等差、等比这两个基本数列后，通过化归与转化让学生认识到了更多类型的数列。数列求和与数列求通项在考试中最能体现学生对知识的应用能力，于是求数列的通项和求和便成了高考数列的热点。因此，在复习过程中要注意各种类型的数列以及它们的求和求通项方法。对于数列求和，等差、等比数列已经有了相应的公式，可以根据公式和已知条件直接得到。但是假如所给的数列不是以上两个数列，则需要寻找间接求和的方法。一般来说，我们运用化归与转化思想，将未知化为已知是解题的原则。如果遇到通项公式为分式时，可以考虑使用“裂项相消法”；当数列为等差、等比数列相对应的项的乘积时，可以使用“错位相减法”。类似的，对于

52、求通项，最常见的便是运用公式来得到。假如无法直接写出其通项公式，可以使用数学归纳法来证明。经历观察、猜想、证明等几个过程来确定其通项公式。当然，还有一种方法是观察其拆分数列，运用叠加或迭代法来求通项。总之，在解数列求和与通项类型题时，观察显得尤为重要，选择正确的方法可以做到事半功倍的效果。3、 疑点和项与通项之间的递推关系在高考题中有一类很常见的题型，即根据所给的已知条件来求数列的通项公式，而所给的条件是关于的关系式。此类问题是学生学习的疑点，往往未能掌握解决此类问题的一般方法。除此之外，在运用公式的过程中，学生往往不重视n值的取值范围的变化，使求解不够严谨。针对以上两个方面存在的问题进行复习

53、时，首先要让学生掌握解决这类问题的一般思维方法，也就是对公式的合理应用；另一方面，在解题时强调变换过程中n值得取值。4、 难点 高考中的数列问题，除了考查学生对数列本身知识的掌握程度之外，另一种形式便是结合函数或者不等式等其他内容出现在最后一题。其中，尤其和不等式的结合最多最难，这部分的内容出现在高考压轴题中时，学生往往会感到害怕甚至无从下手。因此，在复习过程中更应该对这部分内容进行突破。不仅要牢固掌握数列知识，更要掌握不等式的解法。 总之，在复习数列过程中要突出两条主线：基础知识和思想方法要以等差数列、等比数列两个主干知识为载体，以通项公式和求和公式为主渠道，用好数列中基本量的关系，灵活运用

54、等差（比）数列的性质，将最基本的解题方法训练好，注重在两个重要数列内在的知识体系中挖潜，还数列的本来面目重视数列与函数的联系，以及方程思想在数列中的应用，通过分析典型例题和习题，加强数列与其他知识点结合的综合性问题、探索性问题、应用性问题的训练，提高运算能力、转化能力、探究能力、思辨能力以及分析问题与解决问题的能力，做到掌握重点，关注热点，化解疑点，突破难点。参考文献1 波利亚.涂泓,冯承天译.怎样解题M.上海：上海科技教育出版社,2002.62 德A·恩格尔.舒五昌,冯志刚译.解决问题的策略M.上海：上海教育出版社,2005.13 教育部.普通高中数学课程标准M.北京：人民教育出版

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