文稿教程第三章

1、第第 三三 章章 矩阵的初等变换线性代数 矩阵这一数学概念能够与工程技术问题相结合，矩阵这一数学概念能够与工程技术问题相结合，成为表达手段，主要依赖于它的种种手段和变换。成为表达手段，主要依赖于它的种种手段和变换。上一章我们介绍了矩阵的基本运算，但用来解决的上一章我们介绍了矩阵的基本运算，但用来解决的实际问题很有限。这一章我们来学习矩阵的一种重实际问题很有限。这一章我们来学习矩阵的一种重要的变换初等变换。利用初等变换可以求矩阵要的变换初等变换。利用初等变换可以求矩阵的秩、求解线性方程组、求逆矩阵、化简二次型等。的秩、求解线性方程组、求逆矩阵、化简二次型等。3.1 矩阵的秩矩阵的秩一、子式一、子

2、式回忆回忆：在行列式中，余子式的概念：在行列式中，余子式的概念定义定义3.1 在在 mn 的矩阵的矩阵A中，任取中，任取k行与行与k列列( )( )，位于这些行和列交叉处的位于这些行和列交叉处的 个元素个元素,按原来的次序所组成的按原来的次序所组成的k阶行列式，称为阶行列式，称为A的一个的一个k阶阶子式子式.),min(nmk 2kkD记做记做 . 对于给定的对于给定的k， mn 阶的矩阵阶的矩阵A不同的不同的k阶子式阶子式共有共有 个个.knkmCC例如，对矩阵例如，对矩阵443112112013A有一阶子式有一阶子式 12个个有二阶子式有二阶子式 个个182324CC有三阶子式有三阶子式

3、个个43334CC没有四阶没有四阶 子式子式二、矩阵的秩二、矩阵的秩定义定义3.2在在 mn 阶阶的矩阵的矩阵A中，若中，若0rD 有某个有某个r阶子式阶子式 ；01rD 所有的所有的r+1阶子式阶子式 ( (如果存在的话如果存在的话) )；则称则称r为为A的秩的秩.rArank记做记做 ，或者，或者 .r)r(A规定规定：零矩阵的秩为：零矩阵的秩为0,即即 .0rankO 矩阵秩的含义矩阵秩的含义A的所有的所有r1阶子式都为阶子式都为0A的所有的所有r2阶子式也都为阶子式也都为0A的所有大于的所有大于r2阶的子式也都为阶的子式也都为0数数r=rankA是是矩阵矩阵A中子式不为中子式不为0子式

4、的最高阶数子式的最高阶数112322461123A?2rD性质性质；),min(rank. 1nmA；时，AArank)rank(0. 2kk；AArankrank. 3T0. 4rD中某个A；rArank0. 51中所有rDA；rArank例例1已知矩阵已知矩阵 ，求，求A的秩的秩.443112112013A解解在这个矩阵中，存在一阶子式在这个矩阵中，存在一阶子式033存在二阶子式存在二阶子式041113下面计算它的三阶子式下面计算它的三阶子式.，0431211013，0431111213，0441121203，0443121201在矩阵在矩阵A中，所有的三阶子式都为中，所有的三阶子式都为0

5、，存在不为，存在不为0的二的二阶子式，所以阶子式，所以rank(A)=2.443112112013A 特殊矩阵特殊矩阵定义定义3.3 设设A是是mn矩阵矩阵 若若rankA=m (A的行数的行数)，则称，则称A为为行满秩矩阵行满秩矩阵； 若若rankA=n (A的列数的列数)，则称，则称A为为列满秩矩阵列满秩矩阵；设设A是是nn阶方阵阶方阵 若若rankA=n，则称，则称A为为满秩矩阵满秩矩阵； 若若rankAn，则称，则称A为降秩矩阵为降秩矩阵.例如例如311004201050001AA有一个三阶子式有一个三阶子式01100010001所以所以A是行满秩矩阵是行满秩矩阵再如再如100530022201BB中有一个三阶子式中有一个三阶子式06100530022所以所以B是一个列满秩矩阵是一个列满秩矩阵.443032001