电路原理课件状态变量法

1、1二、状态方程（state equation）求解状态变量的方程。LiL设选 uC , iL 为状态变量+ uL -i+ C列微分方程e(t)Cu Rduu-Ci = C C = i - C-CdtLRu = L diL = e(t ) - uLdtC改写为duC = - 1 u + 1 idtRC C C LdiL = - 1 u + 1 e(t )称为状态方程。dtL C L电机系电路原理教学组推广至任一时刻 t1uL(t1)=e(t1)-uC(t1)uC (t1 )uR(t1)= uC(t1)可由i L (t1 )iR(t1)= uC(t1)/Re(t1 )iC(t1)= iL(t1)-

2、 uC(t1)/R可见当 t = t1 时 uC ， iL 和 t t1 后的输入e(t)为已知，就可以确定t1及t1以后任何时刻系统的响应。问题：如何求出 t1时刻的状态变量。电机系电路原理教学组例LiL选 uC ， iL 为 状态变量。+ uL - ii+C+R + 已知 uC (0) = 3V, iL (0) = 0,e(t)CuC R uRe(t ) = 20 sin( w t + 30 o )V- 2W -输出变量: uL , iC , uR , iR 。解 由uL(0) = 7VuC (0) = 3Vu (0) = 3VRiL (0) = 0iR(0) = 1.5Ae(0) = 1

3、0 ViC(0) = -1.5A电机系电路原理教学组一、状态变量（state variable）x分析动态过程的变量。选定系统中一组最少数量的变量 x=x1 ,x2 ,xnT ， 如果当 t = t0 时这组变量x(t0)和 t t0 后的输入（激励） e(t)为已知，就可以确定t0及t0以后任何时刻系统的响应。x(t0)确定y(t)t te(t) t t00称这一组最少数目的变量为状态变量。电机系电路原理教学组说明：x表示状态变量的列向量。为区分符号， 以下用表示向量或矩阵。18.1 状态变量和状态方程 状态方程的建立 状态方程的求解电机系电路原理教学组返回目录 本章重点本章重点18.1 状

4、态变量和状态方程18.2 状态方程的列写18.3 状态方程的时域解法18.4 状态方程的拉斯变换法求解电机系电路原理教学组第18章 状态变量法2- 110- 1 R CRC 0 u 5 u 1- 1- 11 u = R5C2R5C2C2C2 u2 + - u i 1RR i L S 0- 3 3 i L3LL i 11R 4 L-4 LLLL 电机系电路原理教学组例2 列写图示电路的状态方程。选 u1 , u2 , i3 , i4为状态变量u2+L3- C2iC du1 = i - i+31 dt54u1C1du2 -C2 dt = i6 - i5i5L4di R5iL3 3 = u2 + i

5、6 R6 - uSi4dt6diL4 4 = uS - i6 R6 - u2 + u1R6- uS +dt消去非状态量 i5 , i6 i5= (u2-u1)/R5i6 = i4 -i3代入上式，整理为矩阵形式整理成矩阵形式，得状态方程如下：duC 11 dt 0- C- C 00 uC di1 = 1- R1- R1 i + 10 uS dt LLL 1 L i 111 i 1 S di2 1RR + R 2 1R dt - 1 - 12 - 2 L2L2L2 L2L2 电机系电路原理教学组uCi2L2一、直观法-+例1 列写图示电路R1Ci的状态方程。LRS 12分析：+i选 u , i

6、, i 为uS1C12-状态变量。C duC = i + idt12L di1 = u - (i + i )R + u1 dtC12 1SL di2 = u - (i + i )R + u - (i + i )R2 dtC12 1S2S2对包含电容的节点列KCL-（duC/dt）对包含电感回路列KVL（ diL/dt）18.2 状态方程的列写三、输出方程（output equation）LiLuL=e(t)-uC(t)+ ui (t)= i (t)- u (t)/RL - iiCLC+CR +uR(t)= uC(t)e(t)C+uC R uRiR(t)= uC(t)/R- uL - 101 i

7、 - 1 / R 1 u 0 C = C + e(t )uR 10 iL 0 i 1 / R 00 R 一般形式Y(t) = C X(t) +Dv(t)特点： （1） 代数方程；（2） 用状态变量和输入量表示输出量。电机系电路原理教学组返回目录duC = - 1 u + 1 i状态方程的特点：dtRC C C L （1） 是一阶微分方程组； diL = - 1 u + 1 e(t )（2） 左端为状态变量的一阶导数；dtL C L（3） 右端仅含状态变量和输入量。矩阵形式 duC 11 dt - RC C u 0 = C + 1 e(t ) diL - 10 iL dt L L 式中n1r1x

8、=x1 x2 xnT一般形式 x (t ) = A x(t ) + Bv(t )x x Tnnnr2n 电机系电路原理教学组3三、拓扑法基本思想（1） 线性电路以 iL，uC 为状态变量。（2） 每个元件抽象为一条支路，选一个树使在C+ uS -Rt常态树在(Proper tree)LiSRl（3） 形成割集矩阵 Q ，回路矩阵B；（4） 对割集列写KCL方程it= -Ql il 用电流表示电流；电机系电路原理教学组（6） 整理成标准形式du - 1 11 - 1- R1 C 1 C1 ( R1 + R2 ) C1 ( R1 + R2 ) dt C1 ( R1 + R2 ) C1 ( R1 +

9、 R2 ) C1 u 1- Rdu1- 1- 1 C 1 2u C 2 = u + C ( R + R ) C ( R + R ) S dt C ( R + R ) C ( R + R ) C C 2 2 122 12 i di 2 122 122 i S L - 110 L00 dt LL电机系电路原理教学组uC1uC2iLuSiSC duC 1 1 dt-1R1 + R21R1 + R21-1R1 + R2- R1 R1 + R2C duC 2 2 dt1R1 + R2-1R1 + R2- 11R1 + R2- R2 R1 + R2L diL dt- 11000（4） uS 单独作用： i

10、S =0，iL=0 , uC1=0 ，uC2=0。求：iC1 ， iC2 , uL 。ui = -S + uL -iC212C1R + R uS RiC1iC 2 = R + R112+uR2u = 0-SL（5） iS 单独作用： uS =0，iL=0 , uC1=0 ，uC2=0 。求：iC1 ， iC2 , uL 。i = - R1iS + uL -iC2C 1R + R12iC1 iSi = - R2 iS RC 2R + R1R212uL = 0电机系电路原理教学组（2） uC2 单独作用： iL=0，iS =0，uS=0 , uC1=0 。求：iC1 ， iC2 , uL 。ui

11、= C 2 + u - iC 1 R + RC2C21 u 2+ u -ii = -C 2LC1C 2R + R12R1R2u = uLC 2（3） iL 单独作用： iS =0，uS=0 , uC1=0 ，uC2=0。求：iC1 ， iC2 , uL 。iLiC2iC 1 = iL+ uL -iC1iC 2 = -iLR1R2uL = 0电机系电路原理教学组例+ uC2 - iC2iL L设uC1、 uC2 、iL为状态变量+ uL -解R1S（1） uC1 单独作用： iL=0，iS=0，+R2uSuS=0 , uC2=0。-求：iC1 ， iC2 , uL 。i = - uC 1 iC2

12、 iC1C 1R + R12+ uL -+ u -i = uC 1 RC1C 2 R + R112R2u = -uLC 1电机系电路原理教学组iC1+uC1 -i二、叠加法步骤：+-（1） 将电源、电容、电感均+ uC - i抽到网络络内均为电阻。C（2）电容用电压源替代，电u +iS感用电流源替代。SR（3）用叠加定理求iC , uL 。-则 uS ，iS ，uC，iL共同作用下的 + uL -iC , uL为：iLiC = a11 uC +a12 iL + b11 uS+ b12 iS uL = a21 uC +a22 iL + b21 uS+ b22 iS iC a11 a12 uC b

13、11 b12 uS = + uL a21 a22 iL b21 b22 iS 由此可得状态方程。L diL dtC duC dt4一、 线性状态方程的解1. 一阶状态方程的解答形式dx(t ) = ax(t ) + bv(t )初值 x (0)dt上式两边同乘 e-ate- at dx(t ) - ax(t ) = e- atbv(t ) dt即 d e- at x(t ) = e- at bv(t ) dt电机系电路原理教学组18.3 状态方程的时域解法整理得i = i + uS - uC CL RR55uL = - R1iL + iS - uC矩 阵形式C duC -dt = R1 uC

14、+ R uS di i LL - R L R iS dt 状态方程为duC - 1 1 0 dt RC uC R uS di = - 1- + R L iL iS dt LL L4 电机系电路原理教学组返回目录iC = iL + iR5u = u - u（3）LR1C（6） 消去（3）式中非状态量 i 和 u代入R5R1由欧姆定理uR1=R1 iR1由方程组（1）uR1 =R1(- iL+ iS )iR1 = - iL + iS由欧姆定理iR2= uR5 / R2由方程组（2）iR5 = (- uC+ uS)/ R5 uR5 = - uC + uS电机系电路原理教学组选出与 iC 有关方程为i

15、C = iL + iR5（5） u= uuuuuu TR1SCLR5is电压电压ul = -Bt ut uL 1 0 -1 uR1 u = u = 0 1 -1 u （2）l R5 S uiS -1 1 0 uC 选出与uL有关方程为： uL = uR1 uC电机系电路原理教学组（3）1 0 0 1 0 -1- 1 0 1 1 0 0Q = 0 1 0 01 1 -B = 0 - 1 1 0 1 00 0 11 1 01 - 1 0 0 0 1QlBt（4）i= iiiiii TR1usCLR 2S电流电流it = -Ql il i R 1 - 101 i L i = i = 0- 1- 1

16、i（1）t u s R 2 iC 110 iS 电机系电路原理教学组（5） 对基本回路列写KVL方程ul = -Bt ut 用电压表示电压；（6） 消去非状态量；（7） 整理，得到状态方程。例+ uC R1-（1） 选 uC ， iL 为+C3iL L4状态变量。uSR5i-S（2） 以1，2，3为的常态树。1342 565由eAt = PeLt P-1可得 11 e-t0 -1 -1eAt = 2 1 0e-2t 21 = -e-t + 2e-2t -e-t + e-2t - t-2t- t-2t 2e - 2e2e - e 例2 已知一电路的状态方程为 x 1 = -3 -1 x1 + 2

17、 v x 20 x 0 2 2 初值 x1 (0) = 2 ， 输入v = 1 x2 (0) 5 求 x1 (t )，x2 (t )。电机系电路原理教学组 p 对应特征值 l = -2的特征向量 p = 12 满足下式22 p22 A - l2 I p2 = 0即 -3 + 2 -1 p12 = 0 22 p 22 1 取 p12 = 1，则 p22 = -1，得 p2 = -1 P = pp = 11 12 -2 -1-1 -1Le- t0 P-1 = e = 0e-2t t 21 电机系电路原理教学组-3 -1例1已知 A = ，求eAt。 20 解 det A - lI = 0- 3 -

18、 l - 1l = -1即= l2 + 3l + 2 = 0 12- ll2 = -2对应特征值 l = -1的特征向量 p = p11 满足下式11 p 21 A - l1 I p1 = 0即 -3 + 1 -1 p11 = 0 21 p 21 取 p = 1，则 p = -2，得 p = 1 11211-2 4. 用矩阵对角线化的方法计算eAta. 由矩阵A的特征方程det A - lI = 0求特征值l1， l2， ，ln（假设各特征值相异）b. 对每一个特征值li 求特征向量 piA-liI pi = 0n1c. A的对角化转换矩阵P = p1 p2 pn d. 求eAt nneAtP

19、 et P-1式中 eLt = diagel1t el2t elnt 电机系电路原理教学组2. 状态方程组的解答形式 x (t ) = A x(t ) + Bv(t )比照一阶做法，得t x(t ) = eAt x(0) + eAt e- At Bv(t )dt0式中 eAt 称作矩阵指数，也称为状态转移矩阵(state transition matrix)3. 关于矩阵指数定义At def1 2 2 1 k ke = I + At + 2! A t + = k! A tk =0性质e At e- At = I （阵）d e At = d ( I + At + 1 A2t 2 + ) dtdt

20、2!= A + A2t + 1 A3t 2 + = e At A2!上式等号两边 d e- at x(t ) dt = e- at bv(t )dttt0 dt 0t00e- at x(t ) t = e- at bv(t )dtte- at x(t ) - x(0) = e- at bv(t )dt0tx(t ) = eat x(0) + ea t e- at bv(t )dt0零输入响应零状态响应电机系电路原理教学组6作拉氏反变换得矩阵指数 2 e- t + 1 e-2.5t 1 e- t - 1 e-2.5t eAt = 3333 2 e- t - 2 e-2.5t 1 e- t + 2

21、 e-2.5t 3333所以状态方程的 x1(t ) = eAt x1(0) = eAt 1 x (t ) x (0)-4 2 2 2 e- t + 1 e-2.5t 1 e- t - 1 e-2.5t - 2 e- t + 5 e-2.5t 3333 1 33= = ( t 0) 2 e- t - 2 e-2.5t 1 e- t + 2 e-2.5t -4 - 2 e- t - 10 e-2.5t 3333 33电机系电路原理教学组例1 已知一零输的状态方程为 x 1 (t ) = -1 5 1 x1 (t ) ， x1 (0) 1 x (t ) 0.5 -2 x (t ) x (0) -4

22、 2 2 2 试求状态方程的解。解 先求矩阵指数：sI - A = s + 1.5-1 -0.5s + 2将上式矩阵求逆得(sI - A)-1 =1 s + 20.5 (s + 1)(s + 2.5) 1s + 1.5电机系电路原理教学组 x(t ) = - X (s)即 x(t ) = -1(sI - A)-1 x(0- ) + -1 (sI - A)-1BV (s)上式右端第一零输入响应：-1- x f (t )= -1(sI - A) x(0 )第二零状态响应： x (t ) -1(sI - A)-1BV (s)e比较时域解的形式可知eAt = -1 (sI - A)-1电机系电路原理教

23、学组 18.4状态方程的拉斯变换法求解 线性非时变电路的状态方程标准形式为 x (t ) = A x(t ) + Bv(t )两边取拉氏变换，得s X (s)- x(0- )= A X (s) + BV (s)(sI - A) X (s) = x(0- ) + BV (s) X (s) = (sI - A)-1( x(0- ) + BV (s)作拉氏反变换，得I = 1 00 1 x(t ) = -1 X (s)矩阵电机系电路原理教学组 x (t ) = t eA(t-t ) Bu(t )dte0t -e-(t -t ) + 2e-2(t -t ) -e-(t -t ) + e-2(t -t

24、) 2= 0 2e- (t -t ) - 2e-2(t -t ) 2e-(t -t ) - e-2(t -t ) 0 dt = t - 2e-( t -t ) + 4e-2( t -t ) -( t -t )-2( t -t ) dt0 4e- 4e= 2e-t - 2e-2t 2 - 4e-t + 2e-2t 全响应为 x(t ) = x f (t ) + xe (t )= -5e-t + 7e-2t - t-2t10e - 7e+ 2电机系电路原理教学组返回目录解例1已求出eAt eAt = -e + 2e-e + e - t-2t- t-2t - t-2t- t-2t 2e - 2e2e - e 方程的t x(t ) = eAt x(0) + eAt e- At Bv(t )dt0零输入解xf(t)零状态解xe(t) x (t ) = eAt x(0)f= -e-t + 2e-2t