第八章平面向量的坐标表示简析

1、第八章：平面向量的坐标表示简析格致中学 朱兆和一、向量发展简史向量是近代数学中重要的和基本的概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具。向量在高中数学教材中的引入，不仅提供了一种新的研究数学的方法，而且在用向量处理数学问题中，也能充分体现数形结合、构造模型等的基本思想方法。深入在研究向量有利于学生的智力开发与激活学生的创新思维。向量又称为矢量，最初被应用于物理学很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量大约公元前350年前，古希腊著名学者亚力士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段最先使用有

2、向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向但是在高等数学中还有更广泛的向量例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型。从数

3、学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数abi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学。但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则

4、需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析。三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪50年代各自独立完成的他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积并把向量代数推广到变向量的向量微积分从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良

5、的数学工具。二、本章学习重点与难点从高考的角度出发，近几年上海高考主要考查向量的坐标表示及运算、向量的数量积、平面向量的分解定理。教学难点是平面向量的数量积与平面向量的分解定理。三、教学建议新教材在向量这一章的编排上有点缺点，各校在教学上可结合学生的具体情况对教材作适当的调整。先上附录内容，讲清楚向量的概念，向量的加法与减法及几何意义，实数与向量的乘积，可适当补充用平面向量的方法证明几何问题。建议把平面向量分解定理放在向量的坐标表示前面讲，因为根据向量的加法与减法运算很容易得出平面向量分解定理，平面向量的坐标表示是平面向量的正交分解，是分解定理中的一种特殊情况，这样学生对坐标表示的必要性更易理

6、解。四、教学中的几个注意点1、运算与证明中要特别注意这个特殊的向量关于是指模为0的向量，一是要注意向量与数量0的区别，学生在书写中最容易出错。可适当编写一些判断题让学生加深对此概念的理解。另一方面，的方向是任意的，因此任意向量与向量平行，且任意向量与向量垂直。即，且。命题：“对于直线，若且，则”是真命题。但命题：“对于向量，若且，则”是假命题。2、注意单位向量、负（反）向量、平行向量、共线向量等概念的加深与理解、向量加法与减法的几何意义要作为教学的重点。例：O是平面上的任意一点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足：，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A、外心；B、内心；C、重心；D、垂心

7、。这一题涵盖了单位向量、向量的加法运算、数乘向量、向量运算的几何意义等概念，是一道相当好的试题。3、向量加法、减法的几何意义中注意和向量与差向量的起点与终点。OABCD例：某人用速度向正东方向行驶，感觉到风从正北方向吹来，若把速度提高到，则感觉到风从正东北方向吹来。试确定风速与风向。如图：以向量表示风速与人的行驶速度。知：风向为西北风，风速为。4、两向量的夹角是两向量平移到同一起点两向量方向的夹角，利用向量的数量积定义来求解问题时要注意夹角如何确定。两向量数量积的结果是数量，中的运算符号“”不能省略，也不能写成“”。例：等边三角形ABC中，边长为2，分别求下列各式的值：（1）；（2）。注意到向

8、量与的夹角是，而向量与的夹角是。5、公式“”，是数量运算与向量运算的主要桥梁。求向量线性运算后的模问题常用此式。例：（1）已知与的夹角为，求；（2）已知，求。6、对于平面向量分解定理，任何两个不平行的非零向量都可以作为一组基向量。选定基向量后，同一平面上的任意向量的分解是惟一确定的。在应用中，一般来说基向量选用图形中的“外围向量”。BCDEFA例：（1）如图：ABC中，D、E、F分别是三边的中点，求证：。选用、作为一组基向量。（2）如图：ABC中，D、E、F分别ABCDEF是BC、CA、AB的一个三等分点，求证：。可让学生结合两例作一般的猜想。ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB上的点

9、，且，则。OABED（3）设直角AOB的斜边AB的三等分点为D、E。求证：。本例选用、这组正交基向量来证明，也可以利用向量坐标来证明。7、有关向量的应用在平面几何中的应用：直线且AB与CD无公共点则且AB与CD无公共点。A、B、C三点共线则。则。求大小：。其中：。在代数计算中的应用：通过向量构造将代数问题转化为向量的运算及性质。向量应用问题的难度以课本例题难度与练习难度为准即可。附：2008年全国高考向量选择、填空题选：一 选择题：1.（全国一3）在中，若点满足，则（ A ）ABCD2.（安徽卷3）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则（ B ）A（2，4）B（3，5）C（3，5）

10、D（2，4） 3.（湖北卷1）设,则CA.B. C. D.4.（湖南卷7）设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与( A )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直 5.（陕西卷3）的内角的对边分别为，若，则等于（ D ）AB2CD6.（陕西卷15）关于平面向量有下列三个命题：若，则若，则非零向量和满足，则与的夹角为其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）7.（重庆卷7)若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比的值为A(A)(B) (C) (D) 8.（福建卷10)在ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,

11、若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为DA. B. C.或D. 或9.（广东卷4）若变量满足则的最大值是（ C ）A90 B80 C70 D4010.（广东卷8）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ B ）ABCD11.（浙江卷9）已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是C （A）1 （B）2 （C） （D）12.（辽宁卷5）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（ A ） ABCD13.（辽宁卷8）将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（ A ）ABCD14.（海南卷3）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ D ）A. 5/18B. 3/4 C. /2 D. 7/815.（海南卷8）平面向量，共线的充要条件是（ D ）A. ，方向相同B. ，两向量中至少有一个为零向量C. ，D. 存在不全为零的实数，二 填空题：1.（上海卷5）若向量，满足且与的夹角为，则2.（全国二13）设向量，若向量与向量共线，则 23.（北京卷10）已知向量与的夹角为，且，那么的值为 0 4.（天津卷14）已知平面向量，若，则_5.（江苏卷5），的夹角为， 则 76.（江苏卷13）若AB=2, A