理工大学高数上学期复习

1、高等数学第一章 函数、极限与连续一、函数1.函数分类概念分类类型分类研究函数的主要问题：初等性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性。分析性质：极限、连续性、可微性、可积性2. 例题（仅限于对应）引例 ，求解 例1 ，求。解 例2 ，且，求，并写出定义域。解 ，。例3 设满足，其中均为常数，且，求的表达式。解 ，消掉得。小结：上述四例均强调或说体现“对应”，即自变量在抽象函数中的位置与具体函数中的位置相对应。抓住“对应”一点。函数问题基本解决。其他问题从略（本类题考率三年一次）。3. 习题1 设，则 1 。2 设，则（D）（A） （B）（C） （D）3 设，则（B）（A）0（B）1（C）（D）。4

2、 是（D）（A） 有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数5 设连续，则下列函数中为偶函数的是（D）。（A）（B）（C）（D）二、极限1内容总结1）基本型：型，2）等价代换当时，3）重要极限（）其他极限不存在例：4）用泰勒公式求极限5）用夹逼定理和单调有界原理求极限（主要用于数列极限问题）2、例题基础题目1（型） ；（型）；2（等价代换）；（）（注意的处理。，。）3幂指4泰勒公式（注对泰勒公式只需熟悉展开式）5夹逼定理与单调有界1） 表示取整函数解1 当时，故当时，故从而 解2 ，表示小数部分2）对于数列，已知，证明。证：由归纳法易证，又 ，即当时有下界同时，即单减，从而收敛。设，对递

3、推式取极限得，解得，（舍）。注：为两点递推式，写成连续型函数，若，则为单调数列，若，则不是单调的，据此可以调整证明目标。3、专题训练类题目1）重要极限与幂指型极限例1例2例32）等价代换例1例2例33）反问题例1，求值解 原式，故。例2，求。解 原式，由此，有回代原式 例3，求。解 当时，故，则从而 ，由此。三、连续函数1定义：，称在点连续。（本质上 ）2、问题分类1）讨论函数的连续性2）指出函数间断点，且分类3）介值定理应用4）连续性应用（）3、例题例1 讨论的连续性。解 当时，考查三点；（除以上三点外，函数连续）；，为第一类间断点；是第一类间断点（可去间断）同法 ；，是第一类间断点。例2

4、设，讨论的间断点及其类型。解 在点 ，为可去间断点。在点 不存在，为第二类间断点（无穷间断点）。例3 设在点连续，求与的关系。解 ，于点连续，则。例4 证明，恰有三个实根证 令，则于上连续，而，由零点存在定理 ，使即方程有三个实根，又三次方程至多有三个实根，故恰有三实根。方程有根问题当与微分学结合时会很精彩。例5 设在上连续，且对都使，证明在上。证：在上连续。则有界，即，使。又，使，故又使，同理 ，使令，则有。例6 设在上连续，且，证明，使。证 设，假设，则，相加，与矛盾，即恒大于0，不可能。同理（恒）也不可能，即必有大于0的点，也有小于0的点，由连续性和介值定理，使，即。第二章一元函数微分学

5、及其应用一、导数概念的三类问题1“分析”形式问题例1 在处可导，求。解 原式例2 可导，。求。解 原式。例3 设在点可导，且，求。分析：例4 设有导数，且，求。分析：原式例5 设是周期为5的连续函数，且于的某邻域内满足（*）其中是当时比高阶无穷小量，且于处可导，求曲线于点的切线方程。分析：由(*)式，令（凑定义）：令，。切线方程：，。2“隐式”导数问题例1 在点连续，且，求。解 ，由分母，则（连续）则例2 设曲线在原点与相切，试求极限。解 在点两曲线相切，。3导数物理解释问题（速度，变化率）（相关变化率）例1 有一底半径为Rcm，高为h的锥形容器，现以Acm/s的速率向容器内注水，试求当容器内

6、水位上升到时，水面上升的速率和液面面积的变化率。解 设坐标系如图令，则；令，则。注：体会物理解释，“以速率注水”，“水面上升速度“面积变化率“例2 一动点P在曲线上运动。已知P点横坐标的速率位30cm/s。当P点运动到点时，从原点到P点的距离的变化率是多少？（设坐标轴长度单位为1cm）。解 方程两边对求导，得，。记，则，对求导，得，。例3 设雨滴为球状体，若雨滴聚集水分的速率与其表面积成正比。证明雨滴半径增加的速率为一常数。证 ,则。二、导数计算（的四个重点）重点掌握：隐函数求导（含二阶导数）；分段函数求导；积分上限函数求导；参数方程所确定函数求导。1复合函数求导）例1，求。解 ；例2，求。解

7、 ，例3，求。解 法（1）方程两边对求导 。法（2），。2隐含数求导例1，求。解 ，两边对求导得整理 (1)(2)(1)两边对求导：，例2设，求。解 令得，方程两边对求导：（1）由（1）得。对（1）再求导得：（2）当时，代入（2），。3参数方程求导,.例1. ，求，。解 ，。例2且，求。解 ，。例3设是由方程组所确定的函数，求。解 ，方程两边对微分得从而，。将代入得。4绝对值函数与分段函数求导1设，则使存在的最高阶导数解 由于因而，从而类似地可求得，以及而因而不存在。可见，存在的最高阶数为。例2设在x=0可导，求之值。解 要在点连续，则，则，由于在可导，所以5、积分上限求导，。,例1，求。解

8、，；例2连续 ，求。解 令，；例3设由方程确定，求（1）；（2）过点切线方程（3）。解 在，对方程求导（1）再求导 （2）将代入（1），切线，将代入得代入（2），得，6关于高阶导数例1，求。解 ，。例2，求。解 例4，求。解 ，则，即。注：1. 高阶导数直接用公式的已推广到2结合泰勒公式如3，4尤其4应注意。例5、三阶导数存在，求，。解 ，。三、微分中值定理与Taylor公式1内容小结1）费马引理：在点处取得极值，并且在处可导，那么。2）罗尔定理：满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点，使得。3）拉格朗日中值定理 满足（1）在闭区

9、间上连续；（2）在开区间内可导，那么在内至少有一点，使4）柯西中值定理 满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）对任一，那么在内至少有一点，使5）泰勒中值定理 含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任一，有其中。或者前者展开到项常用于求极限，后者余项确切常用于估计误差。要点:中值定理：证等式（含方程有根），放缩一下也可以证不等式。泰勒公式：“建立两点连续”，“一点在另一点展开”，“寻求函数和其导数之间的联系。2例题1）关于罗尔定理直接法例1 设抛物线与轴有两个交点和，又二阶可导，且，同时上述两曲线在上有一交点。证明使。证 令，则，（在点两曲线相交），由罗尔定理，使，使，从而，使

10、，即。倒推法例2 在上连续，在可导，证明，使。分析：，。，验证例3 设在上连续，在上可导，且，证明正整数，使。分析 。（乘一因子，使之易求原函数，考题难度合适！）其他1） 欲证，2） ；3）4） ；5）6） ；7）8）9）2）关于拉格朗日中值定理 例1 求极限。解 原式，介于之间例2 设在内有界。可导且存在，证明证 ，若，则，但矛盾，说明小注：（1）凡遇到先用一下中值定理往往有效。（2）有时要刻意构造同一类函数在两点做差。3）关于泰勒公式问题已知一点信息例1 设二阶可导，求。解 原式已知多点信息例2 设在上具有三阶连续导数，且，证明，使。分析：（1）求证泰勒公式，余项三阶（2），故在点展开可去

11、掉一阶项（3）两端在中点展开相减可去掉二阶项（4）三阶导数连续用介值定理证 相减：，若，则，由的连续性及介值定理，使，若否则可取。展开中再展开例1 设，又有，证明。证 与假设式比较 整理，令，得。四、利用导数研究函数性态1小结1）用极值定义判别极值（常用极限保号性）2）用一阶导数判别极值3）用二阶导数（或2n阶）导数判别极值2习题例1 ，求极值点与极值。解 ，得驻点，及不可导点。如上三点充分小的邻域内，故是极大值。，不是极值，是极小值用一阶导数，注意不可导点，画图，反映。例2 求所确定隐含数是极值。解 方程两边对求导 令得代入原方程得驻点，对（*）式再求导：。1） 将代入上式，是极大值。2）

12、将代入，是极小值。用二阶导数，隐含数，对*求导直接代入，计算技巧。3单调性，凹凸性，拐点，渐近线，曲率等1）概念l 单调性判别定理：，l 凹凸性判别定理：，下凸（上凹）；，上凸（下凹）在两边变号，称为拐点，特殊情况不存在。l 斜率：，。2）例题例1 求的单调区间，极值，凸性及拐点。解 定义域，令及驻点，单增。，单减，是极大值点，是极大值；得，当，为拐点。下凸区间，上凸区间。例2 依图的特点判断函数的图形特征。单增区间，单减区间，：拐点，极值点，极小值，单增，是拐点，下凸区间，上凸区间，极大值，不可导点，尖点。例3 对数曲线上的那点曲率半径最小，并求该点的曲率半径。解 ，令得，在两边附近异号，由

13、负到正，故在点曲率半径最小，此时。第三章一元函数积分学及其应用一、不定积分本节重点掌握（1）不定积分概念；（2）换元法；（3）分布积分法。1. 概念，。的原函数的一般式或全体2. 性质,或 ;,或记作 .3. 例题例1 ，求。解 ，则，。例2 设是的一个原函数，求。解 (1)(2)例3 的一个原函数满足，求。解 ，则可导，必连续。；即，则，。；即，则，。记，则满足，则，故二、不定积分计算1凑分法简例例1.；例2.例3.。2拆项，补项积分例1例2例3例4例5；例6；3一般换元法注意积分中含有令，令，令例1 解 令4分布积分法例1 例2 令例3 例4 注意分母为平方项，原函数分母为一次方项，求导至

14、此，因此积分中先要营造在分子中出现分母的导数项，而分母的导数易求得们为，类似可完成下题。例4 三、定积分与不定积分相联系，计算定级分，只须将原函数带上下限即可解决问题了。因此本节只须解决或说注重一些特殊解即可，特殊问题有那些呢？1和式极限问题由定积分定义：实际和式极限问题多是采用等分区间。（例）取分点。引例：求解 原式；（注意：识，定限方法：（下限）（上限）（有界）例1 （以上为标准和式极限）。例2 ，连续。（乘积变为和式！）例3 （夹挤一下）计算 解 ；故 。（放大、缩小无关紧要小量）2定积分计算中的几个特殊问题1）奇函数、偶函数在对称区间上的积分（1）若在上连续且为偶函数，则 （2）若在上

15、连续且为奇函数，则 上述结论可推广到关于对称函数积分2）绝对值函数和分段函数积分：分区间去绝对值符号积之。3）注意公式例 ；4）周期函数积分5）（证：令代换即可证得，此处连续）例四、定积分与微分学相联系问题定积分与微分学相联系“桥梁”是积分上限函数。引入这个函数。重写微分学讨论的到问题，使问题形式新颖，丰富多彩。1、极限与连续问题例1例2例3求A为何值时，在点可导，且求。解 使在可导，则（连续）而即，2、导数例1设由方程确定，（1）求（2）求过点的切线方程（3）求。解 在，方程两边对求导，得（1），过点切线方程为。对（1）两边求导：，3中值定理例1设，均为上的连续函数，证明至少存在一点，使。证 令，则，故使，即，移项得证。4积分1，计算解 5不等式与零点例1设在上连续，且单增，证明证 令单增，即例2设在上连续，单减，设，对满足，证明。证 记，令，则，（得证。例3设，且。证在上有且仅有一个实根。证 令，故 使，又，故实根唯一。例4若在二阶导数连续，且，证明使。证明 由在上连续，必存在最大值和最小值，使，从而即由得连续性及介值定理，使，即例5在上有连续导数，且，证明证 则即例6在上连续，且，证明使证 令，0（）6、其他例1设在可积，证明（柯西许瓦茨不等式）。证，（可衍生许多题目，略去）五、定积分应用例题例1 设星形线的参数方程形式为，试求（1）它所围的面积，（2）弧长（3）绕轴