线性代数-第四章- 习题课

1、第四章向量组的线性相关性一重点内容(本章中所涉及的向量，若不特别声明，一般指列向量)1 向量组的线性组合和线性表示· 定义 向量组的线性组合：· 定义 向量组可由向量组线性表示：· 对于非齐次线性方程组Ax=b， Ax=b有解；Û b可由A的列向量组线性表示；Û · 定义 向量组可由向量组线性表示：即 若两个向量组可相互线性表示，则称两个向量组等价。· 对于矩阵方程AX=B， AX=B有解；Û B的列向量组可由A的列向量组线性表示；Û · 矩阵B的列向量组可由A的列向量组线性表示Þ&#

2、183; 矩阵A和B的列向量组等价Û2 向量组的线性相关性· 定义 向量组线性相关：存在不全为零的数，使得 成立· 定义 向量组线性无关：只有当全为零时，才能使得 成立· 当且仅当，单个向量线性相关。· 对于齐次线性方程组Ax=O， Ax=O有非零解 (只有零解)；Û A的列向量组线性相关 (线性无关)；Û < A的列数 = A的列数 · 向量组(m³2)线性相关Û其中至少有一个向量可由其它m1个向量线性表示。 向量组(m³2)线性无关Û其中没有一个向量可由其它向量线性

3、表示。· 部分相关，整体相关；整体无关，部分无关· 低维无关，高维无关；高维相关，低维相关· 向量的个数>向量的维数Þ向量组线性相关· 线性无关，线性相关Þ可由线性表示，且表示法唯一3 向量组的秩 · 矩阵的秩 = 矩阵列向量组的秩 = 矩阵行向量组的秩.注：根据此定理，用矩阵的秩表述的定理皆可用向量组的秩表述。例如，“向量b可由A的列向量组线性表示Û”，可表述为：“向量b可由向量组线性表示Û”· Þ A和B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性。即，只作初等行变换不改变矩阵列

4、向量组(包括任意的部分组)的线性相关性。注：只作初等列变换不改变矩阵行向量组的线性相关性4 线性方程组的解的结构 · A是m´n矩阵，R(A)<n Þ Ax=O有基础解系，且基础解系含nR(A)个解向量· 是Ax=O的基础解系Þ Ax=O通解为· 是Ax=b的特解，是对应的Ax=O的通解Þ Ax=b通解为5 向量空间· 定义 向量空间：n维向量构成的非空集合，对于加法和数乘两种运算封闭。· 若将向量空间看作向量组，则向量组的秩就是向量空间的维数，向量组的一个极大无关组就是向量空间的一个基·

5、 坐标变换公式：设: 从旧基到新基的过渡矩阵为K (即B2=B1K)；向量在B1下的坐标向量为x，在B2下的坐标向量为y，则或者二典型题型：1线性表示 线性表示例1 设问l取何值时：(1)可由线性表示，且表示法唯一？ (2)不可由线性表示？(3)可由线性表示，但表示法不唯一？ 分析 如果可由线性表示，即 ( x1, x2, x3为线性组合系数)则上式可写成非齐次线性方程组于是，线性表示问题可转变成非齐次线性方程组问题。解法一 令矩阵，并建立非齐次线性方程组。对增广矩阵作初等行变换(注意，解方程组时只允许作行变换)，(1) 当l¹0且l¹3时，方程组有唯一解，此时，可由线性表

6、示，且表示法唯一。(2) 当l=3时，方程组无解，此时，不可由线性表示。 (3) 当l=0时，方程组有无穷多解，此时，可由线性表示，但表示法不唯一。解法二 本题中，方程组的系数矩阵是方阵，故也可利用克拉默法则求解。令矩阵，并建立非齐次线性方程组。其系数行列式为：注意到行列式的各列元素之和都是3+l，计算步骤是r1+r2+r3,对第一行提取公因子，再r2r1, r3r1 于是，当l¹0且l¹3时，方程组有唯一解，此时，可由线性表示，且表示法唯一。当l=0或者l=3时，方程组无解或有无穷多解，将l的两个值分别代入方程组，再按解一的方式讨论何时无解、何时有无穷多解。例2设问p和q

7、取何值时： (1)可由线性表示，且表示法唯一？ (2)不可由线性表示？(3)可由线性表示，但表示法不唯一？并写出一般表达式 教材p.111习题30分析 若设，即观察中待定参数的位置，会发现，按通常的方式对方程组的增广矩阵作初等行变换时，步骤将较为繁琐。如果将上式改变一下形式，重新写成，即注意此时列向量以及未知量的位置同时发生了改变。这样会使得增广矩阵的变换过程更为简便。解法一 令矩阵，并建立方程组，即对增广矩阵作初等行变换，(1) 当p¹4时，方程组有唯一解，此时，可由线性表示，且表示法唯一。(2) 当p=4，且q¹0时，方程组无解，此时，不可由线性表示。(3) 当p=4，

8、且q=0时，方程组有无穷多解，此时，可由线性表示，但表示法不唯一。代入p,q的值代入上面的矩阵，并进一步化为行最简形 (注意，虚线左边的3列分别对应着未知量x3,x2,x1)同解方程组为取自由未知量x1=k，代入同解方程组，得通解为(k为任意常数)于是，注 和例1类似，方程组的系数矩阵是方阵，故也可利用克拉默法，令系数行列式¹0，得，有唯一解时，p¹4。练习1 设问a, b取何值时：(1) 不能由线性表示；(2) 不可由线性表示，并写出表达式。答案 当b¹2时，不可由线性表示；当b=2, a¹1时，可由线性表示，表示法唯一，表达式为；当b=2, a=1时

9、，可由线性表示，但表示法不唯一，表达式为(k为任意常数)。 等价的向量组判定向量组和等价的方法如下：方法一 两个向量组可以相互线性表示(定义)；方法二 (充要条件)，其中，。注意，根据向量组等价的充要条件，等价的向量组必然具有相同的秩，即；但等秩的向量组不一定等价。例3设有向量组和 (s ³2)，且 证明：向量组和等价。解 将题设的s个等式可合并为一个矩阵等式 ，记作B=AK其中K为s阶方阵，且 (s ³2)，故K为可逆矩阵，于是有，这表示A的列向量组可由B的列向量组线性表示。又，根据已知条件，可由线性表示。故，和可相互线性表示，因此等价。例4设证明：向量组和等价.解 设矩

10、阵，。得。(有2阶非零子式，任意3阶子式皆为0)又，(虚线右边)，故 因此，即和等价。2 线性相关性关于向量组的线性相关性的判断，主要方法如下：方法一 根据定义。令，如果可以不全为零，则向量组线性相关；如果推出必须全为零才能使上式成立，则向量组线性无关。方法二 令矩阵，判断齐次线性方程组Ax=O是否有非零解。若有非零解，则A的列向量组线性相关；若只有零解，则A的列向量组线性无关。方法三 利用矩阵A的秩(即向量组的秩)。如果R(A)<A的列数，则A的列向量组线性相关；如果R(A)=A的列数(即列向量的个数)，则A的列向量组线性无关。方法四 反证法也是常用的方法(即证明逆否命题成立)。此外，

11、线性相关性的一些定理，例如，“部分相关，整体相关；整体无关，部分无关”等等，也常用来判断向量组的线性相关性。上述的方法二是方法一的矩阵表达方式。证法三需要能熟练运用矩阵秩的性质，证明过程一般比较简洁。例5 已知向量组线性无关，证明：向量组, ,线性无关。证法一 (根据定义)设一组数x1, x2, x3，使得根据已知条件，有即 *由于线性无关，上式中的线性组合系数必全为零 *该方程组的系数行列式，方程组只有零解。*因此，时，才能让成立，线性无关。注 下面的证法二是证法一的矩阵表述，比较两种证明中星号标记的各处之间的对应关系。证法二 (根据齐次线性方程组的解)将, ,合写成成矩阵等式，记作B=AK

12、建立齐次线性方程组Bx=O，即A(Kx)=O *上式表明，Kx(列向量)是系数矩阵为A的方程组Ay=O的一个解。由于A的列向量组线性无关，即R(A)=3，所以Ay=O只有零解。于是Kx=O。 *，或者说，故Kx=O只有零解。 *综合上述，Bx=O Þ Kx=O，表明Bx=O的解必然满足Kx=O；由于Kx=O只有零解，故Bx=O必然也只有零解。因此，B的列向量组线性无关。注 “Bx=O Þ Kx=O”，是指Bx=O的解满足Kx=O，即，解集合xïBx=O Í xïKx=O，注意两个解集合的从属关系。在此条件下，以下结论是正确的， 若Kx=O只有零

13、解，则Bx=O只有零解； 若Bx=O有非零解，则Kx=O一定有非零解；指出以下结论为什么是错误的，若Kx=O有非零解，则Bx=O一定有非零解；若Bx=O只有零解，则Kx=O只有零解。证法三 (利用矩阵的秩)同证法二所设，B=AK，于是，方阵K是可逆阵，根据矩阵秩的性质7，知进而，由A的列向量组线性无关，知R(A)=3。综合上述， 由于R(B)=3 (B的列数)，因此B的列向量组线性无关。例6 已知向量组, ,线性无关，证明：向量组线性无关。证法一 (根据齐次线性方程组的解)将, ,写成矩阵等式，记作B=AK由于(方阵K是可逆矩阵)，故有。建立方程组Ax=O Þ (B的列向量组线性无关

14、，系数矩阵为B的齐次线性方程组By=O只有零解) Þ 即，Ax=O的解必然满足。只有零解(因为)，于是Ax=O必然也只有零解，A的列向量组线性无关。证法二 (利用矩阵的秩)如证一所设，有B=AK Þ 其中(因为线性无关)；K可逆 (因为)。结合矩阵秩的性质4，有表明A的列向量组线性无关。证法三 (反证法)如证一所设，有B=AK。假设线性相关，即。利用矩阵秩的性质7，有表明B的列向量组线性相关，与题设条件矛盾，故假设不成立，命题得证。例7 设,， 证明：向量组线性相关。证明 根据题设条件，有，记作B=AK因为(按第一行展开)，故。于是，根据矩阵秩的性质，有即，因此线性相关。练

15、习2 设向量组. (s³2) 证明：(1)若s为奇数，和具有相同的线性相关性(即同时线性相关或无关)；(2)若s为偶数，总是线性相关的。 提示 仿例5，建立矩阵等式B=AK，(1) 证明即可；(2) 证明即可例8 设向量组和(s¹t) 满足如下关系，记作B=AKs´t 已知线性无关，证明：线性相关的充分必要条件是证法一 已知线性无关，即建立齐次线性方程组Bx=O，即A(Kx)=O 由于，系数矩阵为A的齐次线性方程组Ay=O只有零解 Þ Kx=O建立齐次线性方程组Kx=O 两端左乘A Þ AKx=O，即Bx=O以上两个结果表明，Bx=O和Kx=O

16、是同解方程组，于是Bx=O有非零解 Û Kx=O有非零解亦即，B的列向量组线性相关 Û 证法二 已知线性无关，即必要性：建立方程组Bx=O，即A(Kx)=O 由于，系数矩阵为A的齐次线性方程组Ay=O只有零解 Þ Kx=O因此，Bx=O的解满足Kx=OB的列向量组线性相关，故Bx=O有非零解，于是Kx=O必有非零解，得.充分性：，根据矩阵秩的性质，有。因此，B的列向量组线性相关。注 本例的等价命题(逆否命题)是：线性无关的充要条件是即教材p.110习题19。练习3 以下是例8逆否命题的错误证明，找出错误并改正。【错误证明】已知线性无关，即必要性：B的列向量组线性无

17、关，即根据矩阵秩的性质，有又，(K的列数)，因此充分性：，故Kx=O只有零解.对Kx=O两端左乘A，得A(Kx)=O 即Bx=O由于Kx=O只有零解，于是Bx=O只有零解，因此B的列向量组线性无关。提示 充分性的证明过程是错误的。例9 判断以下向量组的线性相关性：(1)；(2)；(3)解 (1) 线性无关。因为：去掉第1,3个分量后，向量组线性无关，“低维无关，则高维无关”。(2) 线性相关。因为：前两个向量的分量成比例(可相互线性表示)，故前两个向量线性相关，“部分相关，则整体相关”。(3) 线性相关。因为：向量的个数大于维数。例10 设向量组线性相关，线性无关，证明：不能由线性表示。证 反

18、证法，假设能由线性表示。由于线性无关，故线性无关(整体无关，部分无关)；又已知线性相关，则可由线性表示。根据假设，能由线性表示，其中又能由线性表示，则能由线性表示，于是线性相关，与题设条件矛盾，故不能由线性表示。例11 已知向量组线性无关，向量不能由线性表示，但能由线性表示，证明：线性无关(l为任意常数)。证 不能由线性表示，故必然线性无关(否则，根据已知条件线性无关，将能够由线性表示，且表示法唯一)能由线性表示，设于是，由此可写出如下的矩阵等式记上式为B=AK，由于K为可逆矩阵()，于是有根据前面得出的结论线性无关，知，因此，即B的列向量组线性无关。练习4 若(r³2)线性无关，证

19、明如下向量组线性无关. (其中li为任意常数) 提示 先证明线性无关。再利用“整体无关，部分无关”即可证明结论。3 向量组的秩、极大线性无关组 (1) 求向量组的秩的方法：利用“矩阵的秩=矩阵行向量组的秩=矩阵列向量组的秩”，设矩阵，将问题变成求矩阵A的秩。关于求矩阵的秩，在第三章已有较为详细的讨论，通常是用初等变换法，化A为行阶梯形(若仅仅是求矩阵的秩，行、列变换可兼用)(2) 如果进一步求向量组的极大线性无关组，有两种方法：方法一 找出矩阵A的一个最高阶非零子式Dr，则Dr所在的r列是A的列向量组的极大无关组；Dr所在的r行是A的行向量组的极大无关组。方法二 利用“对矩阵只作初等行变换不改

20、变其列向量组的线性相关性(包括任意的部分组)”(参见下面的例题)注意：极大无关组一般不是唯一的，但所含向量的个数都等于矩阵的秩；用初等变换法求矩阵的秩以及列向量组的极大无关组时，只用行变换，不要用列变换；求行向量组的极大无关组则反之。例12 已知向量组,，求该向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。解 设矩阵，对A作初等行变换，有两个非零行，故。极大无关组应该含2个线性无关的向量，根据以上变换结果， 容易看出线性无关因为是有两个非零行的阶梯形，或者说，前两行构成2阶非零子式，故。对应的，也线性无关，是的一个极大无关组。(基于类似的理由，极大无关组亦可选择或)为了更一般

21、性地说明问题，这里选择为极大无关组，并将由线性表示：设，即非齐次线性方程组其增广矩阵为，利用前面的变换结果，有得，于是。例13 已知向量组,的秩为2，求p,q。教材p.109习题15解法一 设矩阵，(注意A中列向量的次序，这是为方便作初等行变换而进行的调整。另外，当仅仅讨论矩阵的秩时可以同时作行、列变换，所以也可以先令，再通过列变换改变向量位置) 由于向量组的秩为2，以上化简后的矩阵应该是有两个非零行的行阶梯形，故, ，得p=2, q=5。解法二 由于向量组的秩为2，矩阵中任意的三阶子行列式=0，于是，得p=2, q=5练习5 设两个向量组分别为,和,两个向量组的秩相等，且可由线性表示，求p,

22、q的值答案 p=15, q=5。提示 可由线性表示，故。对作初等行变换化为阶梯形，可同时得和q=5。，故相应的3阶行列式，得p=154线性方程组的解的结构 求齐次线性方程组Ax=O的基础解系例14 求出的基础解系和通解 解 对系数矩阵作初等行变换，化为行最简形 得同解方程组为对自由未知量取2组数：代入同解方程组，得2组基本未知量的值将未知量的值合并起来，得基础解系为, 方程组的通解为(k1,k2为任意常数)。练习5 已知一个4元齐次线性方程组(I)为又，已知某齐次线性方程组(II)的通解为问(I)和(II)是否有非零的公共解？若有，求出公共非零解；若没有，说明理由。提示 将(II)的通解代入(

23、I)，得，再代回(II)的通解，得，当时，为(I)和(II)的非零公共解。 利用齐次线性方程组Ax=O的基础解系，得出非齐次线性方程组Ax=b的通解例15 求出的基础解系和通解 解 对增广矩阵作初等行变换，化为行最简形 得同解方程组为求Ax=b的一个特解对自由未知量全取零，即，得于是的一个特解为求对应的齐次线性方程组Ax=O的基础解系对应的Ax=O的同解方程组为对自由未知量取如下2组值：代入方程组，得因此，Ax=O的基础解系为, 于是， Ax=b的通解为(k1,k2为任意常数)。例16 已知以下两个方程组为同解方程组，(I) (II) 求方程(I)中的a,b,c的值。解 方程组(II)的增广矩

24、阵已经是行最简形。令(II)中的自由未知量x3=0，得(II)的一个特解：与(II)对应的齐次线性方程组为令自由未知量x3=1，得基础解系： 因此，(II)的通解是 (k为任意常数)。将此通解代入方程组(I)，整理后，有令上式对任意常数k皆成立，则。练习6 设A是m´3矩阵，已知：R(A)=1，是非齐次线性方程组Ax=b的三个特解 ，并且有 求Ax=b的通解提示 由已知的3个等式，求出Ax=b的特解； R(A)=1，故Ax=O的基础解系含31=2个线性无关的解向量。将两两相减，得Ax=O的3个解向量，从中选择2个线性无关的解向量构成基础解系； 由Ax=b的特解和Ax=O的通解，写出A

25、x=b的通解。例17 设是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，是对应的齐次线性方程组Ax=O的基础解系，证明：(1) 线性无关；(2) 线性无关 教材p.111习题33证 (1)采用反证法。假设线性相关。由于(Ax=O的基础解系)线性无关，于是可由线性表示，故是Ax=O的解，与已知条件是非齐次线性方程组Ax=b的一个解矛盾。因此，假设不成立，线性无关。(2) 该向量组可由线性表示如下若记为B=AK，其中K是可逆矩阵，且根据(1)的结论知，于是故，线性无关。 基础解系的证明向量组是Ax=O的的基础解系的证明方法：方法一 根据定义。证明：都是Ax=O的解向量；线性无关；任一解向量都可线性表示方法二 根据基础解系所含解向量的个数。证明：都是Ax=O的解向量；线性无关；向量个数r = 基础解系所含向量的个数即，未知量的个数矩阵的秩其中方法二是解题的常用方法。下面先用方法一证明一个命题。例18 证明：与基础解系等价的线性无关组也是基础解系证 等价的线性无关组所含向量的个数必定相同 (根据向量组等价的充要条件，等价必然等秩，而线性无关组的秩=向量的个数)。设是齐次线性方程组Ax=O的一个基础解系， 是与之等价的一个线性无关的向量组。根据向量组等价的定义，可由线性表示，因而都是Ax=O的解。