留数定理在定积分中的应用xin

1、学号:20105034040本科毕业论文学 院 数学与信息科学学院 专 业 信息与计算科学 年 级 2010级4班 姓 名 张松玲 论文题目 留数定理及其在积分中的应用 指导教师 冯志敏 职称 讲师 2014 年 03 月 28 日 目 录摘 要1关键词1ABSTRACT1KEY WORDS10前言11留数定义及留数定理21.1留数的定义21.2留数定理22留数定理在定积分中的应用32.1形如型的积分32.2形如型的积分42.3形如型的积分52.3.1留数公式52.4形如和型积分62.5 计算积分路径上有奇点的积分 83通过留数定理推出其他重要公式 93.1 留数定理推出柯西-古萨定理 93.

2、2 留数定理推出高阶导数公式10参考文献12留数定理及其在定积分中的应用 姓名:张松玲 学号:20105034040 学院:数学学院 专业:信息与计算科学 指导教师:冯志敏 职称:讲师 摘 要:本文首先介绍留数定义及留数定理,然后针对具体不同的积分类型举例说明几类特殊函数的定积分.可以看出有使用实积分理论计算很困难甚至无法计算时,利用留数定理能收到很好的效果.关键词: 留数定理；定积分；应用Theorem of Residues and its applicationsAbstract: In thesis, we introduce the definition of residue and

3、 obtain the theorem of residues. By using some examples, we explain the computation of definite integrals of some kind of special functions. From these, we know that the theorem of residues is a good method to compute some definite integrals which are difficult or unable to be computed in real integ

4、ral theory.Key words: theorem of residues; definite integral; application0前 言留数,也称残数,是指函数在其孤立奇点处的积分. 综观复分析理论的早期发展,这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义. 同时,它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段,通过函数的选取,积分路径的选取等等,求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况,为积分理论的发展奠定了充分的基础1.1825 年,柯西(Cauchy) 在其关于积分限为虚数的定积分的报告中,基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题

5、,并给出了关于留数的定义. 随后,柯西进一步发展和完善留数的概念,形成了如下定义:若函数在上全纯,其中. 为的孤立奇点, 在的留数定义为.柯西所给的这一定义一直沿用到了现在,推广到了微分方程,级数理论及其他一些学科, 并在相关学科中产生了深远影响, 成为一个极其重要的概念. 因而很自然地产生了这样一个问题:柯西为什么要定义这一概念或者说,什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想,揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义. 具体思路: 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物,利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留

6、数.此外,在数学分析及实际问题中,往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示,有时即便可以,计算也非常复杂.我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分,从而把待求积分转化为留数计算. 1留数定义及留数定理1.1留数的定义设函数以有限点为孤立点,即在点的某个去心邻域内解析,则积分为在点的留数,记为: .1.2留数定理介绍留数定理之前,我们先来介绍复周线的柯西积分定理:设是由复周线所围成的有界连通区域,函数在内解析,在上连续,则.定理1 （留数定理） 设在周线或复周线所范围的区域内,除外解析,在闭域上除外连续,则（“大范围”积分） （1）证明 以为心,充分小的正数为半径画圆周（）

7、使这些圆周及内部均含于,并且彼此相互隔离,应用复周线的柯西定理得,由留数的定义,有特别地,由定义得 ,代入（1）式得 .2 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分或反常积分没有普遍的实用通法,我们只考虑几种特殊类型的积分.2.1形如型的积分这里表示的有理函数,并且在上连续,把握此类积分要注意,第一:积分上下限之差为,这样当作定积分时从经历变到,对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周.第二:被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后,我们可设,则, 得 .例1 计算.解 令,则 = = .例2 计算.解 由于分母有两个根,其中,因此 .2.2形如型的积分把握此类积分要注意,首先

8、分析其函数特点,函数必须满足一下两条才能适用.第一: ,其中P(z), Q(z)均为关于的多项式,且分母的次数至少比分子的次数高两次；第二:在半平面上的极点为（1,2,3,）,在实轴上的极点为（1,2,3,）则有.例3 计算.解 取,孤立点为,其中落在上半平面的为,故.例4 计算.解 由于,且上半平面只有一个极点,因此 .2.3形如型的积分2.3.1留数公式定理2 （若尔当引理）设函数沿半径圆周（）上连续,且在上一致成立,则.证明 ,使当时,有 于是 （2）这里利用了 以及于是由若尔当不等式（）将（2）化为 ,即 .例5 计算.解 不难验证,函数满足若尔当引理条件.这里,函数有两个一阶极点及,

9、于是 .2.4形如和型积分定理3 设,其中和是互质多项式,并且符合条件:（1）的次数比的次数高；（2）在实轴上Q(x)0；（3）.则有 . （3）特别地,将（3）式分开实虚部,就可用得到形如及的积分.例6 计算.解 利用以及若尔当引理,且分母在上半圆只有两个孤立奇点和,得到 例7 计算（）.解 被积函数为偶函数,所以设函数关系式为,它共有四个一阶极点,即（）得 ,因为,所以在上半面只有两个一阶极点及,于是 ,故 .2.5 计算积分路径上有奇点的积分在数学分析中,对于瑕积分,也可以类似的定义它的柯西主值,又在定理31中假定Q（X）无实零点,现在我们可以把条件方宽一点,允许Q（X）有多个一阶零点,

10、即允许函数在实轴上有有限个一阶极点,为了估计挖去这种极点后沿辅助路径的积分,除了上面两个引理外,再引进一个与引理6.1相似的引理.引理41 . 设沿圆弧 (,r充分小)上连续,且 于上一致成立,则有.证明 因为.=,于是有.得知上式在r充分小时,其值不超过任意给定的正数.例8 计算积分解 存在,且 = .考虑函数沿图所示之闭曲线路径C的积分根据柯西积分定理得 或写成 （8.1）这里及分别表示圆周及 由引理2 知 .由引理41 知在（8.1）中,令的主值.所以 = =3通过留数定理推出其他的重要公式3.1 留数定理推出柯西-古萨定理柯西-古萨定理陈述为: 如果函数在单连域B内处处解析, 那么函数

11、沿B内的任一条封闭曲线 的积分为零:证明 是简单闭曲线,若曲线 是简单闭曲线, 由于在单连域 内处处解析, 所以 在曲线 内的各点处的洛朗展开式就是泰勒展开式, 由留数的定义得,所以 若不是简单闭曲线的时候,可以把分成若干个简单闭曲线,利用复积分的性质。很快得出柯西-古萨定理3.2 留数定理推出高阶导数公式高阶导数公式可叙述为: ) ,其中是环绕的任何一条正向简单闭曲线,在所围成的闭区域上处处解析。证明 分两种情况讨论若,则是函数的阶极点,则, .若在为的阶零点,则 其中在处解析,且 .当时 ()当时,上式为0; 当时上式为从而,为的可去奇点,.所以 .又因为为的阶零点,所以 ,因为,所以故 当时为的阶极点,我们可以认为为的阶极点,则所以就有.所以,留数定理也可以推出解析函数的高阶导数公式。参考文献1 钟玉泉.复变函数论M.高等教