第七章空间解析几何与向量代数xu

1、§7. 4 空间曲线及其方程内容提要：空间曲线的一般方程、参数方程；空间曲线在坐标面上的投影重点分析：空间曲线的一般方程、参数方程；空间曲线在坐标面上的投影难点分析：空间曲线在坐标面上的投影一、空间曲线的一般方程空间曲线C可以看作两个曲面的交线，即空间曲线的一般方程，特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。例1 方程组表示怎样的曲线？解：表示母线平行于z轴的圆柱面，其准线是面上的圆，圆心在原点O，半径为1。表示一个斜平面。方程组就表示上述平面与圆柱面的交线为椭圆。例2（p320例2）方程组表示怎样的曲线？解： 方程组中第一个方程表示球心

2、在坐标原点O，半径为的上半球面；第二个方程表示母线平行于轴的圆柱面，它的准线是面上的圆，该圆的圆心在点，半径为。方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线。如图例2方程组表示怎样的曲线？解： 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O,半径为的上半球面。第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面，它的准线是面上的圆，该圆的圆心在点，半径为。方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线。二、空间曲线的参数方程若空间曲线上的点坐标表示为一个参数的函数，如为曲线的参数方程。参数在它的变化范围内每取一个值，就对应到曲线上一个点，如给定时,就得到上的一个点；随着的变动便得曲线上的全部点。反过来，曲线上任一点均由参数的一个值对应

3、，消去就得到曲线的一般方程。例3（p320例3）若空间一动点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，同时又以线速度沿平行于轴的正向上升(其中都是常数)，求动点的轨迹方程。解：取时间为参数。 设当时,动点位于轴上的一点。经过时间，动点由运动到。记在面上的投影为，的坐标为。由于动点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，所以经过时间，。从而令，即螺旋线特点：上升高度与角度成正比，即，；当时，上升固定高度，称为螺距。*曲面的参数方程（略） 曲面的参数方程通常是含两个参数的方程, 形如 . 例如空间曲线G： (a£t£b),绕z轴旋转, 所得旋转曲面的方程为(a£t£b,0£

4、q£2p).(4)这是因为, 固定一个t, 得G上一点M1(j(t),y(t),w(t), 点M1绕z轴旋转, 得空间的一个圆, 该圆在平面z=w(t)上, 其半径为点M1到z轴的距离, 因此, 固定t的方程(4)就是该圆的参数方程. 再令t在a,b内变动, 方程(4)便是旋转曲面的方程. 例如直线：，绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为.(上式消t和q, 得曲面的直角坐标方程为)三、空间曲线在坐标面上的投影定义1：以曲线为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线关于面的投影柱面。定义2：投影柱面与面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线,简称投影。(类似地可以定义曲线在其它坐标面上的投影)。设空间

5、曲线的一般方程为。消去变量后得方程：，曲线关于面的投影柱面。（因为：一方面方程表示一个母线平行于轴的柱面，另一方面方程是由方程组消去变量后所得的方程，因此当满足方程组时，前两个数必定满足方程，这就说明曲线上的所有点都在方程所表示的曲面上，即曲线在方程表示的柱面上。所以方程表示的柱面就是曲线关于面的投影柱面。）投影柱面的特征：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面。如图:投影曲线的研究过程。投影柱面 投影曲线空间曲线在面上的投影曲线为：。类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影。面上的投影曲线：；面上的投影曲线：。例4 求曲线在坐标面上的投影。解：（1）消去变量后得方程：，所以得在面上的投影

6、曲线为：。（2）因为曲线在平面上，故在面上的投影为线段：（3）同理，在面上的投影也为线段：。例5求抛物面与平面的截线在三坐标面上的投影曲线方程。解： 截线方程为，如图（1）消去得投影：；（2）消去得投影：；（3）消去得投影：。例6（p323例4）已知两球面的方程为和，求它们的交线在面上的投影方程。解： 先将方程化为，然后与方程相减，得将代入，得这就是交线在面上的投影柱面方程。故两球面的交线在面上的投影方程为。补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影。（重积分与曲线积分计算中需用到）空间立体 曲面例7（p324例5） 求由上半球面和锥面所围成立体在面上的投影。解： 由方程和消去得到，这是一个母线平

7、行于轴的圆柱面。容易看出,这恰好是半球面与锥面的交线关于面的投影柱面，因此交线在面上的投影曲线为为面上的一个圆。于是所求立体在面上的投影，就是该圆面上所围的部分:。四、小结1、空间曲线的一般方程、参数方程：，2、空间曲线在坐标面上的投影：，。作业：p324，ex3，ex4，ex5（1），ex7,ex8思考题：求椭圆抛物面与抛物柱面的交线关于面的投影柱面和在面上的投影曲线方程。思考题解答：交线方程为，消去得投影柱面：，在面上的投影为：。§7. 5 平面及其方程内容提要：平面的点法式、一般式及截距式方程形式；两平面的夹角；点到平面距离重点分析：平面方程及其求法；平面与平面间相互位置关系的

8、判定条件；点到平面距离难点分析：平面方程及其求法一、平面的点法式方程定义1：法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量。即 称为平面的法向量。法向量特征：垂直于平面内的任一向量。注：法向量不唯一。（也可作为平面的法向量）唯一确定平面的条件：当平面上一点和它的一个法线向量为已知时,平面的位置就完全确定了。平面方程的建立：设是平面上的任一点。那么向量必与平面的法线向量垂直,即它们的数量积等于零：。因为 ，所以平面的点法式方程这就是平面上的任一点的坐标所满足的方程。反之，若不在平面上，那么向量与法线向量不垂直，从而，即不在平面上的点的坐标不满足此方程。故平面上的点都满足上述方

9、程，不在平面上的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的方程，平面称为方程的图形。例1（p325例1同类型）求过点且以为法线向量的平面的方程。解：根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为：即例2（p326例2同类型）求过三点的平面方程。解：我们可以用作为平面的法线向量 因为,所以.根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为即。例3 求过点，且垂直于平面和的平面方程。解：，取法向量， 故所求平面方程为 即 。二、平面的一般方程由平面的点法式方程 即平面的一般方程其中法线向量。所以任一平面都可以用三元一次方程来表示。 反过来，设有三元一次方程，任取满足该方程的一组数，即把上述两等式相减,得，这正是通过

10、点且以为法线向量的平面方程。由于方程与方程同解，所以任一三元一次方程的图形总是一个平面。方程称为平面的一般方程，其中的系数就是该平面的一个法线向量的坐标,即。 例如，方程表示一个平面，是该平面的一个法向量。讨论为零时，平面的特殊位置：（1），表示平面通过坐标原点；（2） 同理，分别表示平行于轴、轴的平面；（3），表示平行于面的平面 同理，表示平行于面的平面；，表示平行于面的平面。例4（p327例3） 求通过轴和点(4,-3,-1)的平面的方程。解： 平面通过轴，一方面表明它的法线向量垂直于轴，即A=0；另一方面表明它必通过原点，即D=0。因此可设这平面的方程为。又因为这平面通过点(4,-3,-

11、1)，所以有，即，将其代入所设方程并除以，便得所求的平面方程为。例5 求过点(1,-2,4)而平行于面的平面方程。解：因为所求平面平行于面，故可设所求平面方程为， 将点代入，得所求平面为，因为，故所求平面方程为。例6 设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程。解： 设此平面为， 由平面过原点知， 由平面过点知， 又， 所以所求方程为。例7（p327例4）设一平面与轴的交点依次为、三点（其中，），求这平面的方程。解： 设所求平面的方程为，因为点、都在这平面上，将三点代入所设方程，即有由此得 ，。将其代入所设方程，得,即 。平面的截距式方程而依次叫做平面在轴上的截距。例8求平行于平面而与三个坐

12、标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程。解： 设平面为，由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件） 化简得，令，代入体积式 得 所以所求方程为。三、两平面的夹角定义2：两平面的夹角：两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角。 设平面的法线向量分别为和，那么平面的夹角q应是和两者中的锐角，因此，。按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面的夹角q可由下式来确定.两平面夹角余弦公式两平面位置特征：（1）；（2）；（3）与重合。例9（p328例5同类型） 求两平面和之间的夹角。解：因为，故，所以, 所求夹角为。例10（p328例6）一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程。解： 方法一：

13、 从点到点的向量为，平面的法线向量为。设所求平面的法线向量为，可取为，因为，所以所求平面方程为，即。方法二（书上解法）：已知从点到点的向量为，平面的法线向量为。设所求平面的法线向量为,因为点和在所求平面上,所以，即 (1)又因为所求平面垂直于平面，所以，即 (2) 由（1）（2）式得。于是由点法式方程，所求平面为，即。例11一平面通过点且同时垂直于平面和平面，求其方程。解： 两平面的法向量分别为，故 ，故所求方程为，即。四、点到平面的距离设是平面外一点,求到这平面的距离。解： 设是平面上的单位法线向量，在平面上任取一点，则到这平面的距离为 因为在该平面上，故，.点到平面的距离公式提示：, ,例

14、12（p329例） 求点(2, 1, 1)到平面的距离。解：.。例13研究以下各组里两平面的位置关系：；。解： （1）因为，所以两平面相交，夹角为。 （2）因为，两平面平行 又，所以两平面平行但不重合。 （3），两平面平行 又，所以两平面重合。例14 若平面与平面的夹角为，求？解：，。五、小结平面的方程：点法式方程、一般方程、截距式方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）；两平面的夹角（注意两平面的位置特征）；点到平面的距离公式.作业：p329，ex1，ex3，ex4（3）（5），ex6，ex8（1）（3），ex9§7. 6 空间直线及其方程内容提要：直线的一般方程、对称式（点向式）及参

15、数式方程形式及求法；平面与直线的夹角；两直线的夹角；点到直线的距离重点分析：直线方程及其求法；平面与直线、直线与直线之间相互位置关系的判定条件； 点到直线的距离难点分析：直线方程及其求法；点到直线的距离一、空间直线的一般方程 空间直线L可以看作是两个平面：和的交线，即空间直线的一般方程（即直线L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程）满足两个条件：1）直线L上每一点均满足这两个方程；2）若点M不在直线L上，则它不可能满足该方程组。 通过空间一直线L的平面有无限多个（以书为例），只要在这无限多个平面中任意选取两个，将其方程联立，所得的方程组就表示空间直线L。二、空间直线的对称式方程与参数方程

16、定义1：直线的方向向量：若一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量。（方向同向或反向）容易知道，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量。确定直线的条件：当直线L上一点和它的一方向向量为已知时，直线L的位置就完全确定了。直线方程的确定：已知直线L通过点，且直线的方向向量为，求直线L的方程。解： 设在直线L上的任一点，那么其中，从而有直线的对称式方程（或点向式方程）直线的方向数：直线的任一方向向量的坐标；直线的方向余弦：方向向量的方向余弦。注：因为是非零向量，不全为零。（1）当中有一个为零，如而时，该方程组记为，事实上应理解为；（2）当中有两个为零，如，而时，该方程组记为，

17、事实上应理解为。由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程。设 ，得方程组直线的参数方程例1 求过点且平行于向量的直线方程，及该直线的方向余弦。解： 由点向式得直线方程为，或 因为，所以 。例2（p331例1同类型） 用对称式方程及参数方程表示直线。解： 法一：先求直线上的两点， 令，得，所以取；令，得，所以取， 所以，故直线的对称式方程为。法二：取直线上的一点，又取直线的方向向量为，故直线的对称式方程为。令，得所给直线的参数方程为。例3一直线过点，且和轴垂直相交，求其方程。解： 因为直线和轴垂直相交，所以交点为， 取，故所求直线方程为。三、两直线的夹角定义2： 两直线的方向向量的夹角( 通常指

18、锐角)叫做两直线的夹角。 直线：；直线：，其方向向量依次为：，那么L1和L2的夹角就是和两者中的锐角，因此。根据两向量的夹角的余弦公式，直线L1和L2的夹角可由来确定。两直线的位置关系：；。如，直线：，直线：，即。例4（p332例2） 求直线L1:和L2:的夹角。解：两直线的方向向量分别为。设两直线的夹角为，则，所以。四、直线与平面的夹角定义3：当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角；当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为。 设直线，方向向量，平面，法线向量为，直线与平面的夹角为，那么，因此。按两向量夹角余弦的坐标表示式，有直线与平面的夹角公式直线与平面

19、的位置关系：（1）直线与平面垂直；（2）直线与平面平行；（3）直线在平面上且至少直线上一点满足。例5设直线，平面，求直线与平面的夹角。解： 因为 ，为所求夹角。例6 判断下列直线与平面的位置关系。若相交，求交点。（1）直线和平面；（2）直线和平面；（3）直线和平面；（4）直线和平面。解：（1）因为，所以，即直线/平面， 将点代入平面满足，故直线在平面上。 （2）因为，所以，即直线/平面， 将点代入平面方程得，故直线/平面。 (3),所以直线与平面相交，且，故为斜交。 将点代入平面，得，所以交点为。 （4）因为，所以，故直线垂直于平面。例7（p333例4） 求过点且与两平面和的交线平行的直线方程。解： 设所求直线的方向向量为， 由题意知 ，故取， 所以，所求直线方程为。例8 求过点的直线在平面上的垂足。解： 若过点作平面的垂线。 因为，所以其垂线方程为，垂线的参数方程为 代入平面方程，得 所以交点为，即垂足为。例9（与p334例6同类型） 求过点且与直线垂直相交的直线方程。解： 先作一过点且与已知直线垂直的平面：，再求已知直线与该平面的交点N，令，得，代入平面方程得，故交点。取所求直线的方向向量为， 故所求方程为，即。