椭圆中的定点定值问题

1、椭圆中的定点、定线、定值问题例1（2012盐城二模）已知椭圆的离心率为, 且过点, 记椭圆的左顶点为.(1) 求椭圆的方程；(2) 设垂直于轴的直线交椭圆于两点, 试求面积的最大值；AP·xyO(3) 过点作两条斜率分别为的直线交椭圆于两点, 且, 求证: 直线恒过一个定点. 解:(1)由,解得,所以椭圆的方程为 (2)设,则又, 所以,当且仅当时取等号从而, 即面积的最大值为(3)因为A(1,0),所以,由,消去y,得,解得x=1或,点 同理,有,而, 直线BC的方程为,即,即 所以,则由,得直线BC恒过定点(注: 第(3)小题也可采用设而不求的做法,即设,然后代入找关系)相关题：

2、（江苏2010年16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【答案】解：（1）设点P（，），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）。直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB

3、方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。当时，直线MN方程为： 令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过轴上的一定点D（1，0）。例2（2012南京二模）如图，在平面直角坐标系xoy中， 椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T。求证：点T在椭圆C上。17（本小题满分14分）解：（1）由题意知b 3分因为离心率e，所以 所以a2 所以椭圆C的方程

4、为1 6分（2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)，则直线PM的方程为yx1， 直线QN的方程为yx2 8分证法一 联立解得x，y，即T(，) 11分由1可得x0284y02因为()2()21，所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上 14分证法二 设T(x，y)联立解得x0，y0 11分因为1，所以()2()21整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上 14分相关题： （2012年北京西城一模理19）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，且.（）求椭圆的方程；（）设过点且斜率不为的直线交椭圆于

5、，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 解：（）由 ， 得 . 依题意是等腰直角三角形，从而，故. 所以椭圆的方程是. （）设，直线的方程为. 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得 . 所以 ，. 若平分，则直线，的倾斜角互补，所以. 设，则有 .将 ，代入上式，整理得 ，所以 . 将 ，代入上式，整理得 . 由于上式对任意实数都成立，所以 . 综上，存在定点，使平分.例3（2011重庆理）如图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为 （）求该椭圆的标准方程； （）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值

6、？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由解：（I）由解得，故椭圆的标准方程为 （II）设，则由得因为点M，N在椭圆上，所以，故 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知因此所以所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为相关题：（2011南通三模）(本题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(ab0)的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使 (i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；(ii) 求证：OA2+OB2为定值。思路

7、分析:本题第(2)问中，可以证明线段AB的中点恒在定椭圆x2+2y2=1上后一问与前一问之间具有等价关系解：(1)依题意，得 c=1于是，a=，b=1 所以所求椭圆的方程为 (2) (i)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则， 又设M(x，y)，因，故 因M在椭圆上，故整理得将代入上式，并注意，得 所以，为定值 (ii)，故又，故所以，OA2+OB2=3 备用：（2012辽宁理）如图，椭圆，动圆.点分别为的左、右顶点，与相交于四点（1）求直线与直线交点的轨迹方程；（2）设动圆与相交于四点，其中，.若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查转化与化归能力