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文档简介
1、椭圆中的定点、定线、定值问题例1(2012盐城二模)已知椭圆的离心率为, 且过点, 记椭圆的左顶点为.(1) 求椭圆的方程;(2) 设垂直于轴的直线交椭圆于两点, 试求面积的最大值;AP·xyO(3) 过点作两条斜率分别为的直线交椭圆于两点, 且, 求证: 直线恒过一个定点. 解:(1)由,解得,所以椭圆的方程为 (2)设,则又, 所以,当且仅当时取等号从而, 即面积的最大值为(3)因为A(1,0),所以,由,消去y,得,解得x=1或,点 同理,有,而, 直线BC的方程为,即,即 所以,则由,得直线BC恒过定点(注: 第(3)小题也可采用设而不求的做法,即设,然后代入找关系)相关题:
2、(江苏2010年16分)在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、,其中m>0,。(1)设动点P满足,求点P的轨迹;(2)设,求点T的坐标;(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。【答案】解:(1)设点P(,),则:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。由,得 化简得。故所求点P的轨迹为直线。(2)将分别代入椭圆方程,以及得:M(2,)、N(,)。直线MTA方程为:,即,直线NTB 方程为:,即。联立方程组,解得:,所以点T的坐标为。(3)点T的坐标为直线MTA方程为:,即,直线NTB
3、方程为:,即。分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,解得:、。当时,直线MN方程为: 令,解得:。此时必过点D(1,0);当时,直线MN方程为:,与x轴交点为D(1,0)。所以直线MN必过轴上的一定点D(1,0)。例2(2012南京二模)如图,在平面直角坐标系xoy中, 椭圆C:的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切(1)求椭圆C的方程;(2)已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T。求证:点T在椭圆C上。17(本小题满分14分)解:(1)由题意知b 3分因为离心率e,所以 所以a2 所以椭圆C的方程
4、为1 6分(2)证明:由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(x0,y0),则直线PM的方程为yx1, 直线QN的方程为yx2 8分证法一 联立解得x,y,即T(,) 11分由1可得x0284y02因为()2()21,所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上 14分证法二 设T(x,y)联立解得x0,y0 11分因为1,所以()2()21整理得(2y3)2,所以12y84y212y9,即1所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上 14分相关题: (2012年北京西城一模理19)已知椭圆的离心率为,定点,椭圆短轴的端点是,且.()求椭圆的方程;()设过点且斜率不为的直线交椭圆于
5、,两点.试问轴上是否存在定点,使平分?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由. 解:()由 , 得 . 依题意是等腰直角三角形,从而,故. 所以椭圆的方程是. ()设,直线的方程为. 将直线的方程与椭圆的方程联立,消去得 . 所以 ,. 若平分,则直线,的倾斜角互补,所以. 设,则有 .将 ,代入上式,整理得 ,所以 . 将 ,代入上式,整理得 . 由于上式对任意实数都成立,所以 . 综上,存在定点,使平分.例3(2011重庆理)如图,椭圆的中心为原点,离心率,一条准线的方程为 ()求该椭圆的标准方程; ()设动点满足:,其中是椭圆上的点,直线与的斜率之积为,问:是否存在两个定点,使得为定值
6、?若存在,求的坐标;若不存在,说明理由解:(I)由解得,故椭圆的标准方程为 (II)设,则由得因为点M,N在椭圆上,所以,故 设分别为直线OM,ON的斜率,由题设条件知因此所以所以P点是椭圆上的点,设该椭圆的左、右焦点为F1,F2,则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值,又因,因此两焦点的坐标为相关题:(2011南通三模)(本题满分16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆(ab0)的离心率为,其焦点在圆x2+y2=1上(1)求椭圆的方程;(2)设A,B,M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角,使 (i)求证:直线OA与OB的斜率之积为定值;(ii) 求证:OA2+OB2为定值。思路
7、分析:本题第(2)问中,可以证明线段AB的中点恒在定椭圆x2+2y2=1上后一问与前一问之间具有等价关系解:(1)依题意,得 c=1于是,a=,b=1 所以所求椭圆的方程为 (2) (i)设A(x1,y1),B(x2,y2),则, 又设M(x,y),因,故 因M在椭圆上,故整理得将代入上式,并注意,得 所以,为定值 (ii),故又,故所以,OA2+OB2=3 备用:(2012辽宁理)如图,椭圆,动圆.点分别为的左、右顶点,与相交于四点(1)求直线与直线交点的轨迹方程;(2)设动圆与相交于四点,其中,.若矩形与矩形的面积相等,证明:为定值【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题,考查转化与化归能力
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