正项级数收敛性

1、正项级数收敛性 真正反映思维过程的文章，比八股式论文 要和谐可亲得多，而且对思维训练更有帮 助，可惜，这种文章只能藏在文库中。 -作者感言1发散2收敛3发散4收敛现在开始讨论正项级数的收敛性，上面写得很乱的东西，没有清掉它，因为它是问题的核心，记录着思维的真实，保持原样挺美的。（）被称为正项级数，这个定义有点狭隘，因为级数的收敛性不受去掉或增加有限项的影响，只要从某项开始，后面全部项都是，就足够看成正项级数了。数列写成函数形式可以拓展解决问题的视野，比如的收敛性和的收敛性，有着极为密切的关系，假定很多时候，收敛性是相同的，比如单调的时候。不单调也不怕，因为级数和广义积分的收敛都与前面有限部分的

2、情况没什么关系。极值点是单调性改变的地方，如果只有有限个极值点，在右边足够远的区间里，函数必然单调，而这足够肯定，两者收敛性相同。只要有限个极值点，很多时候这已经够用了。如果是无穷个极值点，也不是没有作为，只要存在经过极少值点的函数，经过极大值点的函数，且这两个函数只有有限个极值点，对这两个函数进行类似讨论，也能解决绝大部分问题。当然，如果这两个函数无论走多远，都相距很远，能给我们的帮助就非常有限。不过没有必要为此担心，初等函数中，只要不是周期函数，在足够远的区间里，都可以当作是单调的，也就是说，上面所说的级数和广义积分收敛性是相同的。广义积分可以求原函数，处理手段比级数灵活，借广义积分研究级

3、数收敛性是极为重要的渠道。最原始的级数收敛性，还非得借助广义积分不可。比如-级数，其实就是通项为幂函数的级数，其收敛性完全清楚，另一个完全清楚的级数是等比级数，其实就是通项为指数函数的级数。这是两个最基本的级数。后面演绎的常见判敛方法，都与这两者有关。比如，常见的比值盼敛，根值判敛，本质上是用等比级数作参照的。等比级数收敛或发散很快，能判的级数范围并不大。拉贝判敛是以-级数作参照得出的，由于-级数收敛或发散比等比级数要慢，因而可判的级数范围要广很多。有没有比-级数还要迟钝的级数？当然有，如，高斯判敛就是以这个级数作参照的。不过，无论哪种极限判别，都有判据为1时无所作为的遗憾。正项级数的方便之处

4、在于，级数的收敛性等价于其部分和数列的有界性，准确说，是否有上界，因为其部分和数列是单调递增的。由于这个原因，若，则由的部分和有上界，必可得到的部分和有上界，故收敛是小看大，大的收敛，小的一定收敛。这个命题的等价命题是：发散大看小，小的发散，大的必然发散。这种通过不等式比较两个数列，从而得出收敛性判定，很基础，但不方便，因为不等式的放缩不是件容易的事情。用极限比较是个不错的主意。因为极限虽然是一个数，但这个数和数列某项以后的无穷项有着很好的大小关联性，而级数收敛性则只与某项以后无穷项有关。，（）根据极限定义，有即如果，由于的任意性，选取使得为正没有任何问题。若发散，的左边不等式说明，若收敛，其

5、右边不等式则说明收敛。这个两边夹不等式，确保，收敛性相同。当，这个两边夹不等式的左边失灵了，因为所有项非正，不过右边不等式仍然可用，即可以由收敛判断收敛，但无法由发散判断发散。这个极限比较判敛，需要知道其中一个的收敛性，当时，可以肯定另一个有同样的收敛性，但时，只可由收敛判断收敛，或者由发散判断发散。和刚好颠倒。有时候不存在，也不是，只要存在，这相当于 故与判定方法完全一样，但前者有更好的适应性。这种事先要知道一个级数的收敛性的要求还是有点不方便，如何找那个事先知道的级数？能否通过数列自身的信息得出判定方法？最自然的想法就是前后两项相比，会有什么消息？还是用极限方法：，由极限定义，得 变成 这

6、不会提供任何有效信息，因为任何一边都是未知的。由极限定义得到先假设，适当选取可保，不等式取对数： 再取和：即 故 取指数： 当变化时，上面不等式两端都是等比数列，其级数的收敛性完全由公比确定，的收敛性完全由两端的等比级数确定。由的任意性，若，则可以确保。若，则可以确保。故根据和，可分别得出收敛和发散。当时，这个方法失效，无从给出判定。当时，不等式 右半部分还是可用的，而这足够了，选定，可以确定收敛。于是有 ，若，收敛，若，发散。，不确定。在这里可以替换成，结论一样。不过适用性更广。知道这个的实质是等比数列的公比是有价值的。这个判别方法不过是用等比级数作标准判断级数的收敛性，能判的范围很有局限性

7、，比如的时候，就不灵了。根值法和比值法虽然计算上有点区别，但实质仍然是以等比级数作标准判断收敛性，因而结论完全一样，不过根据不同表达式采用不同判别法，在计算上会有各自的特点。当时，咋办？一般说来，想比不如相减方便，故可等价写成，为了后面表述上的一致性，我们更主要用表示。这样提问，也许能帮我们引向问题的解决：我们需要什么样的一个函数，使得，而根据的范围，便可给出的收敛性判定？还是从本身寻找答案，其极限定义为 即 求解的反函数，我们假设它仍能维持不等式的两边夹，于是 即 取和： 即 显然，的收敛性由的级数收敛性确定。讨论收敛性，常数可以不作考虑，于是，只要讨论的级数收敛性即可。这两个级数只是，我们

8、暂时抹掉这种差异，用代替这两者，于是，我们关注究竟是什么？可以充当级数收敛性的判定标准？目前我们只能用等比级数作标准，能用-级数吗？也就是 （为了左右一致，将换成，换成）即 于是 考虑到级数和广义积分收敛性相同，我们更愿意假设 对求导，得到 于是 即 故可选为，为-级数的值，都可保持大于1，同样可以保持和同样的范围，故这两种情况，的收敛性和-级数的收敛性判定完全相同，可时候，肯定无法保持为1。故，当时，收敛，当时，发散，不确定。在的情况下，故可换成 除了用-级数作标准，还可以用别的吗？可以，柯西选择了级数即 于是 考虑到级数和广义积分收敛性相同，我们更愿意假设 对求导，得到 于是 即 故可选为，其中为的参数，都可保持大于1，同样可以保持和同样的范围，故这两种情况，的收敛性和级数的收敛性判定完全吻合，可时候，肯定无法保持为1。，当时，收敛，当时，发散。在的情况下，故可换成 这是因为 等价于 对于最初知道的比值判敛法，其实也可以按照上面的方式寻找到，即用等比级数作标准。 于是 考虑到级数和广义积分收敛性相同，我们更愿意假