概率考研真题及解答

1、第4章 统计估值1 （1994年、数学三、选择）设是来自总体的简单随机样本，是样本均值，记，则服从自由度的分布的随机变量是（）。. . 答案：选当时，服从自由度的分布的随机变量应为 、由， 而不是、由 。2 （1997年、数学三、填空）设随机变量相互独立，均服从分布且与分别是来自总体的简单随机样本，则统计量服从参数为（）的（）分布。 答案：参数为（）的（）分布由相互独立，均服从分布，又与分别来自总体，可知与之间均相互独立，均服从分布因而，且与相互独立，因而服从参数为的分布。3 （1998年、数学三、填空）设是取自正态总体的简单随机样本且，则（），（）时，统计量服从分布，其自由度为（）。答案：（

2、），（）时，统计量服从分布，其自由度为（）由统计量设即由可知，且 若统计量服从分布，则由，可知自由度为且服从标准正态分布，即，。4 （1999年、数学三、证明）设是取自正态总体的简单随机样本，证明统计量服从自由度为的分布。证明：记（未知），易见，由于和相互独立，可见，从而 由正态总体样本方差的性质，知 由于与独立、与以及与独立，可见与独立。于是，由服从分布的随机变量的结构，知 。5 （2001年、数学三、填空）设总体X服从正态分布,而是来自总体的简单随机样本，则随机变量 服从（ ）分布，参数为（ ）。 答案 填：F; (10,5)且显然此二者相互独立，则： 6 （2001年、数学四、计算）设总

3、体X服从正态分布，从中抽取简单随机样本，（），其样本均值为，求统计量的数学期望E(Y)。解： 7 （1998年、数学一、计算）设容量为n的简单随机样本取自总体N ( 3.4, 36 ),且样本均值在区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？解：设是取自总体的简单随机样本，则： 又由于： 则：，查表得即知样本容量n至少应取35.8 （1993年、数学三、填空）设总体的方差为，据来自的容量为的简单随机样本，测得均值为，则的期望的置信度近似等于的置信区间为（）。 答案：填据题意可知，且，由，即，查表得，可知 因而总体的期望的置信度近似等于的置信区间为。9 （1996年、

4、数学三、填空）由来自正态总体，容量为的简单随机样本，若得到样本均值，则未知参数的置信度为的置信区间为（）。 答案：填据题意可知，又由，得，即。10 （2000年、数学三、计算）假设是总体的简单随机样本值，已知服从正态分布。（1）求的数学期望（记为）；（2）求的置信度为的置信区间；（3）利用上述结果求的置信度为的置信区间。解：（1）的概率密度为： ，于是，（令） （2）当置信度时，。标准正态分布的水平为的分位数为。故由，可得 其中 于是，有 从而就是的置信度为的置信区间。（3）由函数的严格递增性，可见 因此的置信度为的置信区间为。11 （1997年、数学一、计算）设总体X的概率密度为 其中未知参

5、数，是取自总体的简单随机样本，用矩法估计和极大似然估计法求的估计量。解： 令，解得：，此即的矩估计量。设似然函数对此式取对数，即：且令可得，此即的极大似然估计量。12 （1999年、数学一、计算）设总体X的概率密度为： 设是取自总体的简单随机样本。（1）求的估计量；（2）的方差D()。解：（1），令得的矩估计量。 （2）经计算可得： 13 （2000年、数学一、计算)设某种元件的使用寿命X的概率密度为 其中为未知参数。由设是X的一组样本观测值，求参数的最大似然估计值。解：似然函数为： 取对数得： 由于，则单调增加，因必须满足因此当取中的最小值时，取最大值，所以的最大似然估计值为：=min14 （1991年、数学三、计算）设总体的概率密度为 据来自总体的简单随机样本，求未知参数的最大似然估计量。解：由得总体的样本的似然函数 再取对数得： 再求对的导数：令，得所以