海南大学应用多元统计分析复习真题

1、定义2.1 将个随机变量的整体称为维随机向量，记为。定义2.2 设是维随机向量，它的多元分布函数定义为 （2.2）记为，其中，表示维欧氏空间。多维随机向量的统计特性可用它的分布函数来完整地描述。定义2.3 设是维随机向量，若存在有限个或可列个维数向量，记，且满足，则称为离散型随机向量，称，为的概率分布。设，若存在一个非负函数，使得对一切有（2.3）则称为连续型随机变量，称为分布密度函数，简称为密度函数或分布密度。一个元函数能作为中某个随机向量的密度函数的主要条件是：（1），；（2）离散型随机向量的统计性质可由它的概率分布完全确定，连续型随机向量的统计性质可由它的分布密度完全确定。定义2.4 设

2、是维随机向量，称由它的个分量组成的子向量的分布为的边缘（或边际）分布，相对地把的分布称为联合分布。当的分布函数是时，的分布函数即边缘分布函数为： 当有分布密度时（亦称联合分布密度函数），则也有分布密度，即边缘密度函数为：定义2.5 若个随机变量的联合分布等于各自的边缘分布的乘积，则称是相互独立的。定义2.6 设，若存在且有限，则称为的均值（向量）或数学期望，有时也把和分别记为和，即，容易推得均值（向量）具有以下性质：（1）（2）（3）其中，、为随机向量，、为大小适合运算的常数矩阵。定义2.7 设，称（2.4）为的方差或协差阵，有时把简记为，简记为，从而有；称随机向量和的协差阵为 （2.5）当时

3、，即为。若，则称和不相关，由和相互独立易推得，即和不相关；但反过来，当和不相关时，一般不能推知它们独立。当、为常数矩阵时，由定义可以推出协方差阵有如下性质：（1）对于常数向量，有（2）（3）（4）设为维随机向量，期望和协方差存在，记，为常数阵，则 这里我们应该注意到，对于任何的随机向量来说，其协差阵都是对称阵，同时总是非负定（半正定）的。大多数情况是正定的。若的协差阵存在，且每个分量的方差大于零，则称随机向量的相关阵为，其中 （2.6）为与的相关系数。在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分析结果带来的影响，往往在使用各种统计分析之前，常需要将每个指标“标准化”，即进行如下变换， （2

4、.7）那么由（2.7）构成的随机向量。令，有：那么，标准化后的随机向量均值和协差阵分别为 即标准化数据的协差阵正好是原指标的相关阵。定理2.1 设，则有，多元正态分布的性质 1若，是对角阵，则相互独立。2若，为阶常数阵，为维常数向量，则 即正态随机向量的线性函数还是正态的。3若，将，作如下剖分 则，。这里需要指出的是：第一，多元正态分布的任何边缘分布为正态分布，但反之不真。第二，由于，故表示和不相关，因此可知，对于多元正态变量而言，和的不相关与独立是等价的。一、填空题：1.多元统计分析是运用 方法来研究解决 问题的理论和方法。2. 回归参数显著性检验是检验 对 的影响是否显著。3聚类分析就是分

5、析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。通常聚类分析分为 聚类和 聚类。4相应分析的主要目的是寻求列联表 和 的基本分析特征和它们的最优联立表示。5因子分析把每个原始变量分解为两部分因素：一部分为 ，另一部分为 。6.若=1,2,3.n且相互独立，则样本均值向量服从的分布为_。二、名词解释1. 随机向量 2.相似数据 3.马氏距离（总体内两点间）三、简答1. 简述典型变量与典型相关系数的概念，并说明典型相关分析的基本思想。2. 简述相应分析的基本思想。3. 简述求度量MDS古典解的一般步骤。4. 简述费希尔判别法的基本思想。5. 简述多元统计分析中协差阵检验的步骤6. 在进行系统聚类分析时，

6、不同的类间距离计算方法有何区别？请举例说明。7. 比较主成分分析与因子分析的异同点。8. 简述相应分析的基本思想。9. 进行相应分析时在对因素A和因素B进行相应分析之前没有必要进行独立性检验？为什么？四、计算:1.给出标准化变量X1，X2, X3的协差阵（即相关阵）R，同时给出R的特征值和相应的正交化特征向量。要求：1）计算因子载荷矩阵A，并建立因子模型； 2）计算公因子的方差贡献，并说明其统计意义。2.下表是进行因子分析的结果,试根据下列信息计算变量共同度hi2及公共因子Fj 的方差贡献,并说明其统计意义. Component Matrix Component 123 X1.969-1.084E-02.205 X2.911.321-.102 X3.847-.120.323 X4.941.281-2.693E-02 X5.899.215-1.963E-02 X6-.313.839.305 X7-.6666.280E-02.679 X8.575-.580.367 Extraction Method: Principal Component Analysis. a 3 components extracted. 3.会用最短距离法和最长距离法进行聚类分析，并画