科学计算语言Julia及MWORKS实践 课件 26-方程组求解

目录1、初等数学与线性函数2、插值与拟合3、概率统计分布计算14、优化问题方程（组）求解2方程（组）求解按照方程（组）类型可分为线性方程（组）求解和非线性方程（组）求解，按照求解结果可分为求数值解与求解析解。线性方程组通常可以化为Ax=b或者xA=b的矩阵形式。在Syslab中求解线性方程（组）可构造矩阵运算，通过直接求逆等方式实现。线性方程（组）求数值解条件解的情况m=n方阵方程组，有唯一确定的解m<n欠定方程组，即方程个数少于未知数个数。使用最多m个非零分量求基本解m>n超定方程组，即方程个数多于未知数个数。可求最小二乘解系数矩阵A的大小为m×n的线性方程组解的情况线性方程组Ax=b的通解描述了所有可能的解。对应齐次方程组Ax=0的通解非齐次方程组Ax=b的特解➕null函数查看解的零空间，即求解Ax=0，可以得到解的基向量。如何在Syslab中求解Ax=b的特解关注方程（组）求解3一般系数矩阵满秩的方阵方程组，可以直接对系数矩阵求逆进行求解A=[8-3

2;4

11-1;6

3

12];b=[20,33,36];x1=inv(A)*b;x2=linsolve(A,b);x3=A\b;Syslab中求逆的方法：inv函数：inv(X)求方阵X的逆矩阵，等效于X^(-1)linsolve函数：linsolve(A,b)求解线性方程组Ax=bA是方阵时，linsolve使用LU分解和部分主元消去法其他情况时，linsolve使用QR分解和列主元消去法3.\运算符示例求解线性方程组julia>3-elementVector{Float64}:2.99999999999999961.99999999999999981.0方程（组）求解4系数矩阵为方阵的奇异矩阵，Ax=b的解将不存在或不唯一。A=

[1

3

7;-1

4

4;1

10

18];r=rank(A);Syslab中求伪逆的方法：pinv函数：pinv(A)求方阵A的伪逆，如果Ax=b没有精确解，则pinv(A)将返回最小二乘解。示例验证线性方程组是否有精确解，如果没有，求出其最小二乘解julia>2运行结果r=2，说明矩阵A不满秩，有等于零的奇异值。A=[1

3

7;-1

4

4;1

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18];b=[6;3;0]X=inv(A)*b;直接使用inv(A)求解报错A=[1

3

7;-1

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4;1

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18]b=[6;3;0]x=pinv(A)*bA*pinv(A)*bjulia>3-elementVector{Float64}:0.99999999999999910.499999999999999562.499999999999998与b的实际值有较大差别，因此计算得到的x只是最小二乘解。方程（组）求解5超定方程组和欠定方程组没有非零通解，无法求得精确解，但具有最小二乘解，因此同样可以使用pinv函数求解。线性方程组也可以使用高斯消元法、雅可比迭代法和双共轭梯度法等算法求解，Syslab在数学工具箱稀疏数组部分提供了相关算法。函数名功能描述cg求解线性方程-预条件共轭梯度法lsqr求解线性方程组-最小二乘法jacobi求解线性方程—雅可比迭代算法gauss_seidel求解线性方程—高斯赛得尔迭代法sor求解线性方程-连续过度松弛迭代法minres求解线性方程-最小残差法方程（组）求解6Syslab中符号工具箱提供求解符号解析解的函数，便于求解含有未知变量的多项式代数方程。函数名功能描述solve_for为一组变量求解方程islinear检查表达式是否相对于变量表达式列表是线性的find_poles求解表达式或函数的极点NolinearSystem创建非线性方程组系统注意事项：进行符号运算求解解析解前，首先需要定义变量与参数示例求解方程组的解@variablesxyz@parametersabceqs=[x+y+z-a,x-y+z-b,x+y-z-c]solve_for(eqs,[x,y,z])julia>3-elementVector0.5b+0.5c0.5a-0.5b0.5a-0.5c符号工具箱中还提供符号简化、公式重排和重写的函数。矩阵幂的相关运算7(1)求解上述矩阵A的2次幂；(2)求解上述矩阵A的逆3次幂；(3)求解上述矩阵A的2/3次幂；(4)求解上述矩阵A对矩阵中的每个元素求平方、平方根；(5)对比对矩阵A求平方根与对矩阵A中每个元素求平方根的区别。已知矩阵(1)求解上述矩阵A的2次幂；

(2)求解上述矩阵A的逆3次幂；julia>A=[111;123;136];julia>A^23×3Matrix{Int64}:361061425102546;julia>A^(-3)3×3Matrix{Float64}:145.0-207.081.0-207.0298.0-117.081.0-117.046.0矩阵幂的相关运算8(3)求解上述矩阵A的2/3次幂；(4)求解上述矩阵A对矩阵中的每个元素求平方、平方根；julia>A^(2/3)3×3Symmetric{Float64,Matrix{Float64}}:0.8900750.5882210.3683720.5882211.203481.379930.3683721.379933.11667julia>A.^(2)3×3Matrix{Int64}:1111491936julia>A.^(1/2)3×3Matrix{Float64}:1.01.01.01.01.414211.732051.01.732052.44949(5)对比对矩阵A求平方根与对矩阵A中