模糊数学知识准备（课堂PPT）

1、.1模糊数学在数学建模中的应用主讲人：温金明PhD of McGill University.2作业： 我国公务员制度已实施多年，我国公务员制度已实施多年，19931993年年1010月月1 1日颁布施行的日颁布施行的国家公务员暂行条例国家公务员暂行条例规规定：定：“国家行政机关录用担任主任科员以国家行政机关录用担任主任科员以下的非领导职务的国家公务员，采用公开下的非领导职务的国家公务员，采用公开考试、严格考核的办法，按照德才兼备的考试、严格考核的办法，按照德才兼备的标准择优录用标准择优录用”。目前。目前, , 我国招聘公务员我国招聘公务员的程序一般分三步进行：公开考试（笔的程序一般分三步进行

2、：公开考试（笔试）、面试考核、择优录取。试）、面试考核、择优录取。 现有某市直属单位因工作需要，拟向社会现有某市直属单位因工作需要，拟向社会公开招聘公开招聘8 8名公务员，具体的招聘办法和程名公务员，具体的招聘办法和程序如下：序如下：.3 （一）公开考试：凡是年龄不超过（一）公开考试：凡是年龄不超过3030周岁，大学专科周岁，大学专科以上学历，身体健康者均可报名参加考试，考试科目以上学历，身体健康者均可报名参加考试，考试科目有：综合基础知识、专业知识和有：综合基础知识、专业知识和“行政职业能力测验行政职业能力测验”三个部分，每科满分为三个部分，每科满分为100100分。根据考试总分的高低分。根

3、据考试总分的高低排序按排序按1:21:2的比例（共的比例（共1616人）选择进入第二阶段的面人）选择进入第二阶段的面试考核。试考核。 （二）面试考核：面试考核主要考核应聘人员的知识（二）面试考核：面试考核主要考核应聘人员的知识面、对问题的理解能力、应变能力、表达能力等综合面、对问题的理解能力、应变能力、表达能力等综合素质。按照一定的标准，面试专家组对每个应聘人员素质。按照一定的标准，面试专家组对每个应聘人员的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成A/B/C/DA/B/C/D四个等级，具体结果见表所示。四个等级，具体结果见表所示。 （三）由招聘领导小组

4、综合专家组的意见、笔初试成（三）由招聘领导小组综合专家组的意见、笔初试成绩以及各用人部门需求确定录用名单绩以及各用人部门需求确定录用名单, ,并分配到各用并分配到各用人部门。人部门。.4 该单位拟将录用的该单位拟将录用的8 8名公务员安排到所属的名公务员安排到所属的7 7个部门，个部门，并且要求每个部门至少安排一名公务员。这并且要求每个部门至少安排一名公务员。这7 7个部门个部门按工作性质可分为四类：按工作性质可分为四类：(1)(1)行政管理、行政管理、 (2)(2)技术管技术管理、理、(3)(3)行政执法、行政执法、(4)(4)公共事业。见表公共事业。见表2 2所示。所示。 招聘领导小组在确

5、定录用名单的过程中，本着公平、招聘领导小组在确定录用名单的过程中，本着公平、公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使用，公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使用，有利于发挥个人的特长和能力。招聘领导小组将有利于发挥个人的特长和能力。招聘领导小组将7 7个个用人单位的基本情况（包括福利待遇、工作条件、用人单位的基本情况（包括福利待遇、工作条件、劳动强度、晋升机会和学习深造机会等）和四类工劳动强度、晋升机会和学习深造机会等）和四类工作对聘用公务员的具体条件的希望达到的要求都向作对聘用公务员的具体条件的希望达到的要求都向所有应聘人员公布（见表所有应聘人员公布（见表2 2）。每一位参加面试人员）

6、。每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿（见表都可以申报两个自己的工作类别志愿（见表1 1）。请）。请研究下列问题：研究下列问题：.5 （1 1）如果不考虑应聘人员的意愿，择优按）如果不考虑应聘人员的意愿，择优按需录用，试帮助招聘领导小组设计一种录需录用，试帮助招聘领导小组设计一种录用分配方案；用分配方案； （2 2）在考虑应聘人员意愿和用人部门的希）在考虑应聘人员意愿和用人部门的希望要求的情况下，请你帮助招聘领导小组望要求的情况下，请你帮助招聘领导小组设计一种分配方案；设计一种分配方案； （3 3）你的方法对于一般情况，即）你的方法对于一般情况，即N N个应聘个应聘人员人员M M

7、个用人单位时，是否可行？个用人单位时，是否可行？ (4) (4) 你对上述招聘公务员过程认为还有你对上述招聘公务员过程认为还有哪些地方值得改进，给出你的建议。哪些地方值得改进，给出你的建议。.6表：招聘公务员笔试成绩，专家面试评分及个人志愿表：招聘公务员笔试成绩，专家面试评分及个人志愿 .7表 2:用人部门的基本情况及对公务员的期望要求.8模糊数学知识准备模糊数学知识准备 模糊数学的诞生 模糊集合的基本概念 模式识别 一. 最大隶属原则. 二. 贴近度与择近原则. 模糊综合评判.9 当我们讨论一个具体问题时，总是把自己的议题限制在当我们讨论一个具体问题时，总是把自己的议题限制在一定的范围内。例

8、如讨论一定的范围内。例如讨论“男子男子”这一概念，可以把议题这一概念，可以把议题限制在限制在“人人”这个范围内，从人的集合这个范围内，从人的集合X X中挑选出所有男子，中挑选出所有男子，构成构成X X的一个子集的一个子集A A，A A 便是便是“男子男子”这个概念的外延，即这个概念的外延，即“男子男子”这个概念的集合表现。对于由这个概念的集合表现。对于由“男子男子”构成集合，构成集合，某个人是要么是某个人是要么是“男子男子”，要么不是，要么不是“男子男子”，也就是说，也就是说，对任何一个由对任何一个由“人人”构成的元素构成的元素x x，要么属于，要么属于A,A,要么不属于要么不属于A.A.用数

9、学语言描述就是或者，但当我们去讨论用数学语言描述就是或者，但当我们去讨论“秃头秃头”这这一概念时，我们也可以把议题限制在一概念时，我们也可以把议题限制在“人人”这个范围内，这个范围内，从人的集合从人的集合X X中挑选出所有的中挑选出所有的“秃头秃头”， 构成构成X X的一个子集的一个子集B B，B B便是便是“男子男子”这个概念的外延这个概念的外延, ,比如我们约定某个人头比如我们约定某个人头发少于发少于1 1根我们就说他（她）是根我们就说他（她）是“秃头秃头”，那么按照经典的，那么按照经典的数学理论数学理论. .若某甲只有若某甲只有9999999999根头发，那么甲就是根头发，那么甲就是“秃

10、头秃头”，而若某乙有而若某乙有100001100001根头发，那么乙就不属于根头发，那么乙就不属于“秃头秃头”，根，根据实际情况我们会发现有经典的集合论来讨论这种问题不据实际情况我们会发现有经典的集合论来讨论这种问题不太合适。太合适。.10 在自然科学或社会科学研究中在自然科学或社会科学研究中, ,存在着许多定义像以上存在着许多定义像以上这种不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊这种不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可如某一生态

11、条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严较重、严重、很严重重”，等等。这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理，等等。这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些分析这些“模糊模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。概念的数据，便产生了模糊集合论。 根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。这样的属于，要么不属于，二者必居其一，

12、且仅居其一。这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。模糊数学的理概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是论基础是模糊集。模糊集的理论是19651965年美国自动控制专年美国自动控制专家查德家查德(L. A. Zadeh)(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近教授首先提出来的，近1010多年来发展多年来发展很快。很快。.11模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学

13、在农业中主要用于病虫测报、十分广泛。实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展趋势来看，它具有域的应用也已初见成效。从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。在侧重于应用的模糊数学分析极其强大的生命力和渗透力。在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。 模

14、糊数学与系统之一学科模糊数学与系统之一学科, ,自自19651965年美国著名控制论专家年美国著名控制论专家(Zadeh)(Zadeh)教授创立以来，就以强大的生命力扎根于世界角落，教授创立以来，就以强大的生命力扎根于世界角落，吸引着各国的优秀学者为之奋斗。伟大的中华民族，有自立吸引着各国的优秀学者为之奋斗。伟大的中华民族，有自立于世界民族之林的能力。忆往昔，我们的祖先在丰富世界宝于世界民族之林的能力。忆往昔，我们的祖先在丰富世界宝库方面，谱写了光辉的篇章。看今朝，向模糊领域进军，在库方面，谱写了光辉的篇章。看今朝，向模糊领域进军，在突破模糊数学信息处理难关的进程中，中国学者必将取得更突破模糊

15、数学信息处理难关的进程中，中国学者必将取得更加辉煌的成果。模糊数学在模糊工程系统，模糊计算机代数，加辉煌的成果。模糊数学在模糊工程系统，模糊计算机代数，模糊管理决策系统，模糊经济系统，模糊社会和人文系统等模糊管理决策系统，模糊经济系统，模糊社会和人文系统等研究领域捷报频传。在除同数学很少问津的领地，模糊数学研究领域捷报频传。在除同数学很少问津的领地，模糊数学开除了绚丽的花朵。开除了绚丽的花朵。.12 模糊集合的基本概念模糊集合的基本概念1. 模糊集的概念 A(x)即为集合A的特征函数。将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为0, 1区间。对于一个普通的集合A，空间中任

16、一元素x，要么xA，要么xA，二者必居其一。这一特征可用一个函数表示为：A xxAxA( ) 10.13 定义1 设X为全域，若A为X上取值0, 1的一个函数，则称A为模糊集。 如给5个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以100，这样给定了一个从域X=x1 , x2 , x3 , x4, x5到0, 1闭区间的映射。 x1：85分，即A(x1)=0.85 x2：75分， A(x2)=0.75 x3：98分， A(x3)=0.98 x4：30分， A(x4)=0.30 x5：60分， A(x5)=0.60这样确定出一个模糊子集A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.30, 0.60

17、)。.14定义2： 给出映射 ，我们说 确定X一个的模糊子集A。 称为 的隶属函数， 称为 对A的隶属度。当 的值域事0，1时，A就是经典子集，而 就是它的特征函数。所以经典子集就是特殊的模糊子集。 xuAAu xxXAA,1 , 0:AuAuAu.15cABABA, ,xxxBABA ,xxxBABA xxccAA1cABABA,BA,A定义定义3：设A，B是模糊子集，定义运算如下：分别成为得并集，交集和的余集。 .16 50,5501500 , 012xxxxQ 25,5251250 , 112xxxxY例题例题1 1：以人的年龄作为论域X，可以给出“年老” Q 与“年轻”Y两个模糊子集，

18、它们的隶属函数分别是：.17则由此显然可知60岁的年龄属于”年轻”的隶属度为0.8，80岁的年龄属于“年老”的隶属度为0.97。而“年轻或年老”的隶属函数为 51,55015125,5251250 , 11212xxxxxxYQ.18121255015251xx 51,52515150,5501500 , 01212xxxxxxYQ这里51是方程的近似解。而“有年轻又年老”的隶属函数为：.19“不年轻”的隶属函数为： 25,52511250 , 012xxxxY.20模式识别模式识别1. 方法简介“模式”一词来源于英文Pattern，原意是典范、式样、样品，在不同场合有其不同的含义。在此我们讲

19、的模式是指具有一定结构的信息集合。模式识别就是识别给定的事物以及与它相同或类似的事物，也可以理解为模式的分类，即把样品分成若干类，判断给定事物属于哪一类，这与我们前面介绍的判别分析很相似。模式识别的方法大致可以分为两种，即根据最大隶属原则进行识别的直接法和根据择近原则进行归类的间接法，分别简介如下：.21 nAAA,21Xx 0, 2 , 1ni 010 xAxAknki0 x iA 1.最大隶属原则最大隶属原则：设为n个标准模型，如果存在，使得隶属度，那么我们就认为相对地隶属于。.22RI cERIT180,CBACBACBAX例题例题2 2：在机器自动识别染色体或白血球分类等课题中，常常把

20、问题归结为几何图形又常常划分为若干三角形，我们把三角形分别分成等腰三角形I，直角三角形R，那么直角三角形，正三角形E及非典型三角形，设三角形论域其中A，B，C为三顶角数， .23CBBACBAI6011,909011,ACBAR 90901,6011),(),(,)(ACBBACBARCBAICBARI CACBAE18011,又设隶属函数为： .24 CBAERICBAERICBATcccc, 902 ,3 ,31801ACAcBBA45,50,85,0CBAx0 x 06. 0,916. 0, 7 . 0,94. 0,916. 000000 xTxRIxExRxI=给定三角形，计算隶属度：

21、按最大隶属度原则，0 x相对隶属于直角三角形。 .252.贴近度与择近原则在现实生活中，存在大量的优化和多决策问题，比如说，已知某个理想化的决策，现有多种可供选择的方案，要你决定那种方案最合适，在解决这种问题时，我们往往选择根标准方案最接近的方案，像这类问题用模糊数学中的贴近度来解决，往往能得到很好的效果，并且也很合理。.26,21nxxxX xBxA,nkkknkkkxBxAxBxABAn111,定义定义4 4：用来刻划两个模糊集的贴近程度的量叫做贴近度。以下几种是常用的贴近度的计算公式：设为模糊集 （1）最大最小法：.27（2）算术平均最小法：nkkknkkkxBxAxBxABAn1122

22、,.28nkknkknkkkxBxAxBxABAn121213,nkknkknkkkbxBaxAbxBaxABAn121214)()()()(,nkknkkxBnbxAna111,1（3）夹角余弦法：（4）相关系数法：其中：.29例题例题3 3：每个数字可用黑白不同的五个条码来确定，其中三条黑条，二条白条，若黑条记为1，白条记为0，则数字0，1，2，9对应的条码为：.3054010110101101011010111M对每一条码，将其分为4段，于是黑条对应的码为（1，1，1，1）T，白条对应的码是（0，0，0，0）T，一个数字k(k=0,1,2,9)就对应于 矩阵Mk,称为k的模板矩阵，例数字

23、1的模板矩阵为:，.31544544434241353433323125242322211514131211rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrR由于条码印刷过程会产生污点，飞白点，颜色深度不够或背景灰度不一致等干扰，因此待识别的数字条码的对应矩阵R变成0，1上矩阵：ijrijrijrijr其中 表示第i段的第j个条码的灰度。当 =1表示黑色，当=0表示白色。0 1表示灰色，随着灰色深浅不同取0，1中相应数值。.32,454125211511xxxxxxXijxijrkM4151)(4151)(,ijijkijijijkijkrmrmRMn令，R 可看作X的模糊子集，对R的隶属度为为了消除

24、干扰，以便识别数字条码，对模板矩 阵与待识别的模板矩阵R定义贴近度.33例如待识别的条码对应的模板矩阵为：5 . 05 . 005 . 04 . 03 . 08 . 09 . 05 . 03 . 02 . 02 . 09 . 09 . 05 . 03 . 01 . 05 . 08 . 05 . 0R.34358. 0,440. 0,350. 0,385. 0,450. 0,04210RMnRMnRMnRMnRMn317. 0,350. 0,8,271. 0,412. 0,325. 0,94765RMnRMnRMnRMnRMn按最大贴近度的择近原则，R应判决为数字0的条码。求得：.35模糊综合评

25、判 综合评判是在考虑多种因素的影响下对某事物作出做出综合决断。比如说，评教，要综合考虑到教师的科研能力，表达能力，等等；还有比如说服装，要综合考虑花色式样，耐穿程度，以及价格费用等。像这些要考虑多种因素的决断问题，用模糊综合评判法能过取到很好的效果。 .361. 方法简介 综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，这是在日常生活和科研工作中经常遇到的问题，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果。 模糊综合评判的数学模型可

26、分为一级模型和多级模型。采用一级模型进行综合评判，一般可归纳为以下几个步骤： (1) 建立评判对象因素集U=u1, u2, , un。因素就是对象的各种属性或性能，在不同场合，也称为参数指标或质量指标，它们能综合地反映出对象的质量，因而可由这些因素来评价对象。就服装评判为例，可设U=花色式样，耐穿程度，价格费用(2) 建立评判集V=v1, v2, , vn。如工业产品的评价，评判集是等级的集合；农作物种植区域适应性的评价，评判集是适应程度的集合。就服装评判为例，可设V=很欢迎，较欢迎，不太欢迎，不欢迎.37(3) 建立单因素评判，即建立一个从U到F(V)的模糊映射： 0rij 1, 1 i n, 1