高中导数知识点及练习题

1、导数、导数的概率设函数y f(x)在x X0处附近有定义，当自变量在x X0处有增量x时, 则函数Y f(x)相应地有增量 y f(xo x) f(x。)，如果x 0时，y与x 的比，(也叫函数的平均变化率)有极限即 N无限趋近于某个常数，我们把 xx这个极限值叫做函数y "刈在* x。处的导数，记作y/xx°,即f(x。 x) f(x。)f (x。) lim x 0x注：1.函数应在点x。的附近有定义，否则导数不存在。2 .在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0,而y可能为003 .上是函数y f(x)对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义 x是过曲

2、线y f(x)上点(x0, f (x0)及点(x0x, f(x0x)的割线斜率。4 .导数f/(x0) limfxx) f(x0)是函数y f(x)在点x°的处瞬时变化 x 0x率，它反映的函数y f (x)在点x0处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线y f(x)上点(x0,f(x0)处的切线的斜率。因此，如果y f(x)在点x° 可导，则曲线y f(x)在点(x0, f(x0)处的切线方程为 y f(x0) f/(x°)(x x°)。5 .导数是一个局部概念，它只与函数 y f(x)在x0及其附近的函数值有关， 与 x无关。6 .在定义式中，设x x&

3、#176; x,则x x x0,当x趋近于0时，x趋近于x°, 因此，导数的定义式可写成f/(x0) limf0x) f(x0) lim f(x) f(x0)X oxX x0 x x07 .若极限limf(xx_1竺)不存在，则称函数yf(x)在点x0处不可导。x 0x8 .若f(x)在x°可导，则曲线y f(x)在点(x°, f (x°)有切线存在，反之不然。若曲线y f(x)在点(xo，f(x。)有切线，函数y f(x)在x0不一定可导，并且，若函数y f(x)在x0不可导，曲线在点(x°, f(x。)也可能有切线。一般地，lim (a b

4、 x) a ,其中a,b为常数。特别地，lim a a。 x 0x 0如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x (a,b),都对应着一个确定的导数 f/(x),从而构成了一个新的函数f/(x)。称这个函数f/(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y/,/. y . f(x x) f(x)即 f (x) ; y = lim lim x 0 xx 0x函数y f (x)在x0处的导数y/ x x就是函数y f (x)在开区间(a,b)(x (a,b)上导数f / (x)在x0处的函数值，即y/ x x0 = f / (xO)。所以函数y f (

5、x)在x0处的导数也记作f /(x0)。注：1.如果函数y f(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数y f(x)在开区间(a,b)内可导。2 .导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导 函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数y f (x)在点x0处的导数就是导函数f / (x)在点x0的函数值。3 .求导函数时，只需将求导数式中的x0换成x就可，即f /(x)=lim f(x x) f(x)x 0 x4.由导数的定义可知，求函数y f(x)的导数的一般方法是：(1) .求函数的改变量 y f (x x) f (x) o(2) .

6、求平均变化率工 f一x) f(x)(3) .取极限，得导数y'= lim。x 0 X二.练习题(一)、选择题1 .若函数y f(x)在区间(a,b)内可导，且xo (a,b)则 阿f(X0h)的值为()'''A. f (xo)B . 2f (xo)C . 2f (xo)D . 02 .一个物体的运动方程为s 1 t t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是()A. 7米/秒B. 6米/秒C. 5米/秒D. 8米/秒3 .函数y= x3+ x的递增区间是()C.(,)4. f (x) ax3 3x2A. (0,) B . (,1)D . (

7、1,)2,若f'( 1) 4,则a的值等于(10316c 13C. 35 .函数yf(x)在一点的导数值为0是函数yf(x)在这点取极值的()A.充分条件B .必要条件C.充要条件D .必要非充分条件6 .函数y x4 4x 3在区间 2,3上的最小值为()A. 72 B . 36C. 12 D . 0(二)、填空题1 .若 f(x) x3, f(x0) 3,贝Ijx。的值为2 .曲线y x3 4x在点(1, 3)处的切线倾斜角为 ;3 .函数y皿的导数为 x4 .曲线y ln x在点M (e,1)处的切线的斜率是,切线的方程为5 .函数y x3 x2 5x 5的单调递增区间是(三)、

8、解答题 1 .求垂直于直线2x 6y 1 0并且与曲线y x3 3x2 5相切的直线方程。2 .求函数y (x a)(x b)(x c)的导数。3 .求函数f(x) x5 5x4 5x3 1在区间 1,4上的最大值与最小值。4 .已知函数y ax3 bx2 ,当x 1时，有极大值3； (1)求a,b的值；(2)求函数y的极小值。(一)、选择题1.函数 y= x3- 3x2- 9x (- 2< x< 2)有()A.极大值5,极小值27B.极大值5,极小值11C极大值5,无极小值D.极小值27,无极大值2.若 f'(xo)3 ,则 lim f(x0 h) f(x0 3h)()h

9、 0hA.3B. 6C.9D.123.曲线f (x) = x3 + x- 2在p0处的切线平行于直线y = 4x- 1,则p0点的坐标为( )A. (1,0)B. (2,8)C. (1,0)和(1, 4) D . (2,8)和(1, 4)4. f (x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f (x) , g(x)满足f'(x) g'(x), 则f (x)与 g(x)满足()A. f (x) g(x) B . f(x) g(x)为常数函数C. f (x) g(x) 0 D . f (x) g(x)为常数函数5 .函数y 4x2 1单调递增区间是()x1A. (0,) B .

10、(,1) C . (-,) D . (1,26 .函数y叱的最大值为()xA. e 1 B . e C . e2 D .竺3(二)、填空题1 .函数y x 2cos x在区间0,上的最大值是。22 .函数f(x) x3 4x 5的图像在x 1处的切线在x轴上的截距为03 .函数y x2 x3的单调增区间为,单调减区间为4 .若 f (x) ax3 bx2 cx5.函数 f(x) x3 ax2 bx(三)、解答题1.已知曲线y x2 1与yd(a 0)在R增函数，则a,b,c的关系式为a2,在x 1时有极值10,那么a,b的值分别为1 x3在x Xo处的切线互相垂直，求Xo的值。2 .如图，一矩

11、形铁皮的长为8cm,宽为5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？3.已知f（x） ax4 bx取值范围为。5.对正整数n,设曲线y xn(1 x)在x 2处的切线与y轴交点的纵坐标为a0,则数列 儿 的前n项和的公式是n 1三、解答题1.求函数y (1 cos2x)3的导数。2.求函数y 72x4 Jx 3的值域。3.已知函数f(x) x3 ax2 bx c在x?与x 1时都取得极值 c的图象经过点（0,1）,且在x 1处的切线方程是 y x 2（1）求y f（x）的解析式；（2）求y f（x）的单调递增区问。4.平面向量rr

12、1a ( 3，1)，b (2,若存在不同时为0的实数k和t,使r r 2 r rx a (t 3)b, y3.已知函数f(x)x3 ax2 x 1在(）上是单调函数，则实数a的ka tb,且x y ,试确定函数k f（t）的单调区间（一）、选择题1 .若 f（x） sin cosx ,贝U f'（）等于（）A. sinB. cos C . sin cosD. 2sin2 .若函数f（x） x2 bx c的图象的顶点在第四象限，则函数f'（x）的图象是（取值范围是（）a. （, 73禽，）b . J3, J3C.（，点）（瓜 ）D .（瓜呵4 .对于R上可导的任意函数f（x）,若

13、满足（x 1）f'（x） 0,则必有（A.f (0) f(2) 2f (1) B.f(0)f(2) 2f (1)C. f(0) f(2) 2f (1) D.f(0) f (2) 2f(1)5 .若曲线y x4的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直，则l的方程为（）A. 4x y 3 0 B . x 4y 5 0 C . 4x y 3 0 D . x 4y 3 06 .函数f（x）的定义域为开区间（a,b）,导函数f （x）在（a,b）内的图象如图所示, 则函数f （x）在开区间（a,b）内有极小值点（）A. 1个 B . 2个 C . 3个(二)、填空题21 .右函数f (x)= x(

14、x- c)在x 2处有极大值，则吊数c的值为;2 .函数y 2x sin x的单调增区间为 。3 .设函数f(x) cos(J3x)(0)，若f(x) f(x)为奇函数，则若对x 1,2,不等式f(x)c2包成立，求c的取值范围。4.已知f (x)2., x ax blog3 , xx(0,),是否存在实数a、b,使f(x)同时满足下列两个条件:的最小值是1 ,三.导数综合应用1.已知函数f(x) ax3 bx2 (c 3a 2b)x d的图象如图所示.(I )求c,d的值；(II )若函数f(x)在x 2处的切线方程为3x y 11 0,求函数 f(x)的解析式；1一(III )在(II )

15、的条件下，函数y “刈与丫 1f (x) 5x m的3图象有三个不同的交点，求m的取值范围.2,已知函数 f(x) aln x ax 3(a R).(I)求函数f(x)的单调区问；(II )函数f(x)的图象的在x 4处切线的斜率为占 若函数2g(x) 1x3 x2f'(x) m在区间(1, 3)上不是单调函数，求 m的取值范围. 323.已知函数f(x) x3 ax2 bx c的图象经过坐标原点，且在x 1处取得极大值.(I )求实数a的取值范围；2(II )若方程f(x)(-a-)-恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式；9，(III )对于(II )中的函数f (x),对任意、

16、R ,求证： | f(2sin ) f (2sin ) | 81 .4 .已知常数a 0, e为自然对数的底数，函数f(x) ex x, g(x) x2 alnx .(I)写出f(x)的单调递增区间，并证明ea a；(II )讨论函数y g(x)在区间(1,ea)上零点的个数.5 .已知函数 f (x) ln(x 1) k(x 1) 1.(I)当k 1时，求函数f(x)的最大值；(II )若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围;6 .已知x 2是函数f(x) (x2 ax 2a 3)ex的一个极值点(e 2.718).(I )求实数a的值；(II )求函数“*)在* 3,3的最大值和最小值

17、.27 .已知函数 f(x) x2 4x (2 a)ln x, (a R, a 0)(I)当a=18时，求函数f(x)的单调区间；(II )求函数f(x)在区间e,e2上的最小值.8 .已知函数f(x) x(x 6) alnx在x (2,)上不具有单调性. (I )求实数a的取值范围；2(II )若f (x)是f(x)的导函数，设g(x) f(x) 6试证明：对任意两x个不相等正数2,不等式%) g(x2)1|71xi、21恒成立.9.已知函数 f(x) x o10.已知函数 f(x) -x aln x, g(x) (a 1)x ,a 1 . (I)若函数f (x), g(x)在区间1,3上都

18、是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；(II)若 a (1, e (e 2.71828L ),设 F(x) f (x) g(x),求证：当 4 区1,a 时，不等式| F(xJ Fd)| 1成立. ax (a 1)ln x,a 1. 2(I)讨论函数f(x)的单调性；(II ) 证明：若 a 5,则对任意 xi,x2 (0,),xi x2,有 f(xl)-f (x2)1.xiX211 .设曲线 C: f(x) lnx ex (e 2.71828 ), f (x)表示 f (x)导函数.(I )求函数f(x)的极值；(II )对于曲线C上的不同两点A(xi,yi) , B(x2,y2), % x2,求证：存在唯 一的xo (xi,x2),使直线AB的斜率等于f (xo).12 .定义 F(x,y) (1 x)y,x, y (0,),(I)令函数f(x) F(3