高中数学人教版必修五数列经典例题

1、黄冈经典例题高考题（附答案，解析）等差数列例1、在等差数列&,中：1、若 a1一a一a12+a5=2, 则 a3+ai=2 若 a（»=5, a+a«=5, 则 a产.3、若 a+ai+a7=39, a/+a5+as=33,则 aj+&,+a9=.%=（力 + 0（« e N*）例2、已知数列a的通项11,试问该数列aj市没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数，若没有，说明理由.例3、将正奇数1, 3, 5, 7,排成五列,（如下图表），按图表的格式排下去，2003所在的那列,从左边数 起是第儿列？第儿行？13571513119171921233

2、1292725例 4、K f（x）=log2x-log,4 （0<x<D . 乂知数列aj的通项an满足/（2%）=2哂»*）.（1）求数列&的通项公式;（2）判断该数列&）的单调性.1. （2009年安徽卷）已知a 为等差数列，ai+aj+as=105, a2+ai+a4,=99,则a?o等于（）A. -1B. 1C. 3D. 72. （2009年湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上搜成各种形状来研究数，比如:(I) 一14916Q)他们研究过图(1)中的1, 3, 6, 10,由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地, 称图(2)中的1, 4

3、, 9, 16,这样的数为正方形数，卜列数中既是三角形数乂是正方形数的是()A. 289B. 1024C. 1225I). 1378，=2,%+i=% +ln（l + -）3.（江西卷）在数列区）中，n，则&尸（）A. 2+InnB. 2+ （n 1） InnC. 2 + nlnnD. 1 +n+ Inn等差数列前N项和、等比数列例1、在等差数列a中，(1)已知 an=33, ai=153,求 am；(2)已知 S8=48, S*168,求，；(3)已知由一&-a»-aiz+ai5=2,求 S*(4)已知 342, 4=510, &545,求 n.3起(41

4、一力)J =例2、已知数列aj的前n项和 2,求数列|的前n项和S.例3、设数列a的首项a=1,前n项之和S”满足关系式:3tSn-«：2t+3)S：. ,=3t (t>0, n=2, 3, 4)（1）求证：数列E为等比数列;a=1 瓦=/（-L）（2）设数歹I”的公比为f（t）,作数列限,使k a2, 3, 4,），求鼠（3）求和：bbb2b3+b3bL+ （ 1）'' bb ;例4、一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24分钟可注满水池，如果开始时, 全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，

5、而且最后一个水龙 头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？例5、在XOY平面上有一个点列R （a, bl） , Pz例2,从），Pn （an, bn）,对每个自然数n,点P“位于 函数y=2000（而"（0<a<10）的图象上，且点R,点（n, 0）与点（n+1, 0）构成一个以P.为顶点的等腰三角形.（1）求点R的纵坐标坐的表达式;（2）若对每个自然数n,以b.，be,氏+2为边K能构成一个三角形，求a的取值范围；（3）设A小飞（n£ M ） .若a取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列2的最大项的项数.21. （2

6、009年宁夏、海南卷）等差数列瓜的前n项和为S“，已知外-1 +4八一% 二 °, £兀-1=38,则1n二（）A. 38B. 20C. 10D. 92. （2009年全国1卷）设等差数列5的前n项和为S.若S产72,则勺+4;3. （2009年福建卷）等比数列%）中,已知。1=2,% =16（1）求数列（%）的通项公式；（2）若的心分别为等差数列&）的第3项和第5项，试求数列饱）的通项公式及前为项和E.等比数列前N项和、数列的应用例1、瓜为等差数列例#0） , （aj中的部分项为，%组成的数列恰为等比数列,且k,=l , k2=5 ， k=17 ，求 ki+kz+

7、k-+k 的值.例2、已知数列 W 满足条件：aG , a2=r（r > 0）且是公比为q（q > 0）的等比数列，设b也 i+a2n（n=l,2,）.（1）求出使不等式&也”+a.田.2 &吐ax （n £ N4）成立的q的取值范围;（2）求 bn ：192 11酗%J（3）设- '求数列1 l°g2与 J的最大项和最小项的值.例3、某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推行住房制度改革，贷款优惠的年利率为10%,按复利 计矩若这笔贷款要求分10年等额还清，每年一次，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？（精 确到1元）

8、例4、在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的T资标准：A公司允诺第一年月T资为1500元， 以后每年月T.资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月T资为2000元，以后每年月工资比上一年的月 工资的基础上递增5%.设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月T.资收入分别是多少？（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该 选择哪家公司，为什么？（3）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精确到1元）并说明理由.1. （2009年全国2卷）

9、设等比数列aj的前n项和为S-,若。1=L&=4,3,则为;.2. （2009年北京卷）若数列）满足:3=L%+i = 2%伽e犷），则% =；前8项的和国=（川数字作答）3. （2009年辽宁卷）等比数列®的前n项和为Sn,已知耳，邑,心成等差数列.（1 ）求a 的公比q；（2） 8183=3,求 Sn.答案&解析等差数列例一分析，利用等差数列任两项之间的关系：a尸a,+ （m-n）d以及“距首末两端等距离两项的和相等”的性质可简化解答过程.解：（D % + 与5 =% +。12 =% +q3 =2%.:.由已知有。8 = -2,故+ a3 = 2% = -4.。3

10、 = % - 3d:.的+他二2电d网=% + 2d故 5-10-d, :. d二5.故 a < + 4d-5 + 4 X 5-25.（3） （a+ % + 生）+（。3 +。9）=3 + 的）+（。4+%） + （。7 +。9）=242 + 2%+ 287.39 +（Q3 + & + 的）=2 k33。 +%+勾三27例二分析：考察数列a J在哪 范困是递增数列，在哪联范围是递减数列.即可找到最大项.劭+1 _ 10（方+2）三 1解：由/ I1Q + D 有n近9.l（U a、>0.:.当 nW9 时,有即 &<&<<&=ai2

11、数列伍）中存在展大项,最大项的项数为9或10,a9 =用0 =1 0>(77)9最大项为11 .点评：最大项与最大项的项数是不同概念，一个是项， 个是项号.例三分析：考虑到每行占有四个数，利用周期性进行处理，每个周期占两行用8个数.只须确定2003是笫儿个正奇数，问题就得到解决.解：设2003是第n个正奇数.则 2003=1+ (n-l) -2.:.n二 1002.而 1002=8X125+2.:.2003在第251行第3列.例四分析：依据条件列出关于a的方程，解方程并注意f(x)的定义域06<1即可用通项公式.解：/(25”2人2 。:.% - = 24%即 -(2n)an -2

12、=0.an =尸± J，？ + 2.又一 f(x)定义域为0<x<l,<1 >an <0,械q =n- J/ + 2 (n e "*).( %, 一 % =总+ 1-协2 + 2n+ 3 -加 + J用？+ 2=1 + J.2 + 2 -4- 2w + 3_ 1二（2、1）Jk n n-2二 In» -121=In n, ：.an = 2 +In 盟,故选A < + 2 + J刃 J 2力- 312/7+1. 1 ,=/ V«2+ 2 +62 + 2+3而 7«2 + 2>«,与+ 2 + 3

13、 > «+1, :. J/ + 2 + J22 + 2盟 + 3 > 2>+1.故1-2盟+1心？ + 2 + J/ + 2w+ 3：/】%，则数列&为递增数列.1 .芥案：B解析:七）是等差数列% = 39,d = -2. 一 .'.=a +19d = 1 故选3.2 .答案：C解析：心+1） =根据图形的规律可.如笫n个三角形数为2 .第n个iE方形数为 收亡由此可排除D （1378不是平方数），将A、B、C选项代入到三角形数表达式中检验可知,符合题意的是C选项，故选C.3 .答案：A解析：由已知/川-勺=M交工,% = 2n二 /一%=ln-n

14、 - iw-1 ,-4-2=反一寸 n 2 2将以上-1个式子累加，得4 冏 4"-142& =lnFin1Fin «-1 九一21等差数列前N项和、等比数列例 1 解析：(1)一&产30d= 153 -33 得 d=4 , 4产前+16d-217.(2)方法1 s, , a -8, S.： - S.成等差数列，则工 + (168 -48) =2 (48 -S4)解得 S产 一8冬迫-m=Q2-8)d = 14-6方法2 方成等差数列，贝ij 128,二d二2. 4 （% 2同10,.,邑 2 （力5）力n 8十可5 = 2ag = a4 + a12=一2,

15、为$（用+令5*= 15 = -30（1） S产7a4=42 A «4=63 + an ）n Q + &-3）力 5 In=-2I=222510:.n=20,空匕曳-d = 2x-3 4 = 60例二解析：22A a-63 3n2O 有 n W 21误解 E =% + & + + %-（如 + 毋 + %）1260- 3咒（41-尸）2误解二电+。2 4 一+421 n- 21回+为+021）_（022 + % +吟?3 > 2 1正解£；=卜 1+为+%林21W (0 + W + +a21)_(a22 +吆 + +4)刀>21即期平2L2(aj

16、 +02 . + a21) * (ai +a2 + + %) n> 21.幽m.盛2i,. Sr 12I26),>212；41-(2r + 3X=3Z例三解析： n2时1病一+3)邑-1=3'二切M-(+3崎=0故至2时，咄=冬上an *又登S + a2)- (2/ + 3)q=3上,q=1。22Z-+-3413/则如=2,对一切不eN*成立./32.a为等比数列./© = 2 .,.%/(_) =如 + *=2,3,4,)(2) 3/如 3则也为等差数列，而b尸L,/1、22«+14 = "8T>m = y-3竺七% 9993A当n为偶

17、数时,印坛一向2今+她 一一纭4+1A幺-(12-22) + (32-42)+-.+(-1)2-«2)+(1-2) + (3-4)+.+(«-1)-«)=-(1+ 2)+ (3+ 4)+ -+(W -1) + « - 99 2_ / . + % 4一 一2 9=-,52+3")当n为奇数时-与与+与-+=瓦坊-3 +BB升 12 o4 o 81=一一（加- 1）2 + 3（彩-1）+ （一九 2+一力+一）9993=；（2附2 + 6与+7）帖2 -泌十好4-十（7严她41-（" + 3力）尸为偶数时=；（2标十6投+7）%为奇数时

18、例四解析:设仃n个水龙头，每个水龙头放水时间依次为儿1则数列 庆）为等差数列且每个水龙头1分钟放水24池水,:+怎+ - + /_故包土迎=24力 24 42:.+肛=48,又，,金=5演，, Xj = 8,= 40.故最后关闭的水龙头放水时间为如分钟.尸十（A + 1）1 .入 onnn/?4 = = + 一 .2 = 2000（）/例五解析：（1）2210启 <L , 4 >%丑 >4+2(2) V 0<a<10 ,她 0<10要使b . b,.l, b,M为边能构成三角形，则如1 + 加2 >刈，即华)2 + A T > °而 0

19、 <4 <10,二 5(.-1) <£7<10. 6 < 5(* -1) G 。= 7,则与 = 2000()"+2(3) 10取2"-4纥_1B7 V由一=1,将 2000() 2 1,即 n 20.8.当T10:.取取1近故BJ中最大项的次数为n=2O.1 .答案：C解析：因为EJ是等第数列，所以%»1+%»3=23cL由白加4+%»3°： = 0,汨：2以状一=0,所以/«=2, 乂 $加t=38(2 加- D(«l +&21)等比数列前N项和、数列的应用例一解

20、答：设公比为q，/可7 =旧可(为 +16d) = 0 + 4dE 则 0】=2d.卷 6dm 2d则 % =*/T = 20 371T = 20 + (4 -加，.厩=2尸-1敢 1 + 2 + 3 + ,= 2(1 + 3+ 32 + 3亡1)一司= 3"-w- 1.例二 解答：(1)由题意得rq1 ' + rq' > rq'*.由题设r > 0, q > 0 ,故匕式q*q 1 < 0 »<q<由于 g >a <(/ <an+2 八 =q(2)因为°田 小 ,为41 _ 2

21、7;41 + 的什2 _ a2M-14+ 白条4 _ d Y n =q 吏 u所以2%-1+切刁a万H+a加，W0 ,所以b.)是首项为1+r ,公比为q的等比数列.从而 bn=(l+r)qi .(3)由(2)知 b产(l+r)C 1 .C _ 喝。力 log2 -log2(l + r)-1_ lug2。十)十,d+g2 g log2(l + r)+ (n- l)log2=1 + !n-20.2从匕式可知当n-20. 2 > 0 ,即n 2 21 (n G N)时，c的n的增大而减小，故当n-20.2<0 ,即n W 20(n e N)时.cs,也随着n的增大而减小.故 综合、两式

22、知对任怠的自然数n有热W a W c：.故(C)的最大项Ca=2.25 ,最小项CR二一(例三 解：我们把这类问题般化,即贷款年利率为a ,贷款额为M ,每年等额内还x兀,笫n年还清，各年应付款及利息分别如 下：第n次付款x元，这次欠款全还清.第n-1次付款x九后.过一年贷款全部还清，因此所付款连利息之和为x(l+a)元：第n-2次付款x元后，过二年贷款全部还清,因此所付款连利息之和为x(l+a)J元:第次付款x元后，直到最后次贷款全部还清，所知款连利息之和为x(l+a)'元.:.X+ 了(1+。)+ 兄1 +。)2 +武1 + d)'T =+4)"a(l + a/M

23、将a-0. 1 , M二2000。，n-10代入上式得20000x0.1x1,1a 3254 9故每年年初应还3255元.解：设每年应还x元.第n次外还x元之后还剩欠款为a兀:则 4二20000 , a20000(l + 10%)-x ,:.a.*,10x=l. 1 (a 10x),故数列 a-10x)为等比数列.an10x= (a< lOx) X 1. 1, .依题意有 a1c二 10x+(20000-10x) XL P-0 .20000x1.110X=fpw3255故每年平均应还3255元.例四 解答：(1)此人在A、B公司第n年的月工资数分别为：a=1500+230 X (n-l)(n e N'),b =2000(1+5%) *(n G V).(2)若该人在A公司连续T.作10年，则他的T资收入总愤为：12(4+4+&<)=301200 (元)：若该人在B公司连续丁.作10年，则他的工资收入总加为：12(h+b+hJ x 301869 (元).因此在A公司收入的总吊高些，因此该人应该选择A公司.(3)问懑等价于求 C=a-b =1270 + 230n-2000X 1. 05 (n M)的最大值.当