第9节函数模型及其应用

1、第9节函数模型及其应用考试要求 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言 和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；2.结合 现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函 数增长速度的差异，理解“对数增长” “直线上升” “指数爆炸”等术语的现实 含义；3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会 人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.I墓幅如识读跖 二里, 回顾教材.更尖势础厂知识梳理1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)= ax+ b(a、b 为常数，

2、a w 0)二次函数模型f(x) = ax2 + bx+ c(a, b, c为常数,aw0)与指数函数相关的模型f(x) = bax + c(a, b, c为常数，a>0 且 a*1, bw0)与对数函数相关的模型f(x) = blogax+ c(a, b, c 为常数，a>0 且 aw 1, b w0)与幕函数相关的模型f(x) = axn+b(a, b, n 为常数,aw0)2.指数、对数、幕函数模型性质比较函数性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y= xn(n>0)在(0, +00)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳

3、图象的变化随x的增大逐渐表 现为与y轴平行随x的增大逐渐表 现为与x轴平行随n值及化而各有不同常用结论与微点提醒1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增 长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越 来越小.2 .充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3 .易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数 学结果对实际问题的合理性.诊断自测那考辨析)1.判断下列结论的正误.(在括号内打或“x”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获

4、利.()(2)函数y= 2x的函数值比y= x2的函数值大.()(3)不存在 xo,使 ax0<x0<logax0.()(4)在(0, +°°)±,随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于 y= xa(a>0)的增长速度.()9 一解析(1)9折出售的售价为100(1+10%)X99(兀).每件赔1元，(1)错.(2)中，当x = 2时，2x = x2=4.不正确.11(3)中，如a = x0=2, n = 4，不等式成立，因此(3)错.答案 (1)x (2)x (3)x ，教材近化2 .(教材必修1P104练习T1改编)

5、在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组 数据，如下表：x0.500.992.013.98y-0.990.010.982.00则对x, y最适合的拟合函数是()A.y= 2xB.y=x21C.y=2x 2D.y=log2x解析 根据x=0.50, y= 0.99,代入计算，可以排除A;根据x= 2.01, y= 0.98, 代入计算，可以排除B, C;将各数据代入函数V= 10g2x,可知满足题意.答案 D3 .(新教材必修第一册P149例4改编)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量 大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物 体内的碳14含量不足死亡前的千

6、分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了 .若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期” 个数至少是()A.8B.9C.10D.11解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过n个“半衰期”后的人日上1n ,1 n 1 /口含里为2 ,由2 <1000，得n> 10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.答案 C彳縻承聆-4 .(2020 临沂一中月考)已知 f(x) = x2, g(x) = 2x, h(x)=log2x,当 xC(4, +oo)时,对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的

7、是()A. f(x)>g(x)>h(x)B.g (x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当 x (4, +oo)时，增长速度 大小排列为g(x)>f(x)>h(x).答案 B5.(多填题)(2018浙江卷)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今 有鸡翁一，值钱五；鸡母一,值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？ ”设鸡 翁、鸡母、鸡雏个数 分别为x, y, z,则x+ y+ z= 100,1 当 z= 81 时

8、，x=, y=.5x+ 3y + 32= 100,x+ y= 19,解析把2= 81代入方程组，化简得5x+3y=73,解得 x=8, y=11.答案 8 11 6.(多填题)(2019北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折， 则x的

9、最大值为.解析 顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60+80= 140（元），超过了 120元可以优惠，所以当x= 10时，顾客需要支付140 10= 130（元）.由题意知， 当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优 惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为（120 x）元，所以（120 x）X80%>120X 0.7,所以x&15.即x的最大值 为15.答案13015I考点聚焦突破分二加法考点一利用函数的图象刻画实际问题【例11 （2017全国田卷）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质 量，收集

10、并整理了 2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人） 的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7, 8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较 平稳解析 由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则 A选项错误. 答案 A规律方法 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况, 选出符合实际情况的答案.2.图形、表格能直观刻画两变量间的依

11、存关系，考查了数学直观想象核心素养【训练11高为H,满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，具 底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的(体积为v,则函数v=f(h)的大致图象是()18解析 由题意知，水深h越大，水的体积v就越大.当h = 0时，v=0,故可排除A, C;当hC0, H时，不妨将水“流出”设想为“流入”.每当h增加一个单位增量Ah时，根据鱼缸形状可知，函数v的变化，开始其增 量越来越大，经过中截面后增量越来越小，故 v = f(h)的图象是先凹后凸的，故 选B.答案 B考点二已知函数模型求解实际问题【例2】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要

12、建造 可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能 源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) =?三3X. I 5(0<x< 10, k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8万元，设f(x)为隔 热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.求k的值及f(x)的表达式；隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.解(1)当 x=0 时，C=8,*=40,C(x) = 3x+ 5(0 & x& 10)'f(x)= 6x +20X403x 56x+8003x 5(0<x< 10

13、).(2)由(1)得 f(x) = 2(3x+ 5) + 38005-10.3x I 5令 3x+ 5 = t, te 5, 35,800则 y = 2t+-p 10>10=70(当且仅当 为=等，即t=20时等号成此时x=5,因此f(x)的最小值为70.隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.【训练2】(2019全国H卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器

14、成功实现人类历史.实现月球背面软着陆.为解决这个问题，发L2点的轨道运行.L2月球质量为M2,地月上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就 需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系 射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1距离为R, L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足 方程：M1 M2Mi(R+r) 2+ r2 =(R+ r)R3.a的值很小，因此在近似计算中3o3+3o4+o5322 23 O3,则r的近似值(1 十 a)为()A.M2M1RB.M2 2M1RC.3M2M1RD.M

15、2 3M1R解析由.L /日R,彳可r= a M1 M2M1代入EV +苫=(R+)得击6T由/曰 3 3 04+ a5 M2 整理得(1+aJ =而3o3+3 o4+ 5 oo M2-又(i) 2 ",即3c3 =而，所以故r= a后答案 D考点三构建函数模型的实际问题多维探究 角度1构建二次函数、分段函数模型【例31 (2020济南一中月考)响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本 2万元，每生产x万件，需另投入流动成本 W(x)1 C万兀，在年产量不足 8万件时，W(x) = 1x2

16、+2x.在年产量不小于8万件时，W(x)3= 7x+ 100-37.每件产品售价6元通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售 x占兀.(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入固定成本流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)因为每件商品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元.依题意得当0<x<8时，P(x) = 6x 3x2 +2x 2= 1* + 4x 2, 当x8时,P(x) = 6x 7x+100 100故 P(x) =1 2 ,即2+4x 2, 0<x<8

17、,-37-2=35- x+ x>8.当 0<x<8 时，P(x)=或x 6)2+10.3此时，当x= 6时，P(x)取最大值，最大值为10万元.w7100100当 x>8 时，P(x) = 35 x + <35 - 2 /x 女=15当且仅当乂=100, BPx= 10时，取等号. x此时，当x= 10时，P(x)取得最大值，最大值为15万元.因为10<15,所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最 大，最大利润为15万元.角度2构建指数(对数)型函数模型【例3-2】一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的 百分比相等，当

18、砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的4,已知到今年为止，森林剩余面积为原来的42 (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解 设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1),11则 a(1x) =a,即(1x) =2，1解得 x=1 2 101故每年砍伐面积的百分比为121°2(2)设经过m年剩余面积为原来的 V，1一.21 1。，、则 a(1x)m=,a,把 x=1 2 代入， m 11 101 m 1整理得2 = 22，即1?= 1,解得m=5.故到今年为止，该森林已砍伐了 5年.规律方法 1.实际问

19、题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出， 而是由几 个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求 解.但应关注以下两点：(1)分段要简洁合理，不重不漏；(2)分段函数的最值是各 段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.2.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化 .【训练3】 （1）（角度 1）某汽车销售公司在A， B 两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：万元）为yi = 4.1x 0.1x2,在B地的销售利润（单位：万元） 为y2=2x,其中x

20、为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售16辆该种品牌的 汽车，则能获得的最大利润是（）A.10.5 万元B.11 万元C.43万元D.43.025万元（2）（角度2）已知一容器中有A， B 两种菌， 且在任何时刻 A， B 两种菌的个数乘积均为定值1010,为了简单起见，科学家用 Pa= lg nA来记录A菌个数的资料，其 中nA为A菌的个数.现有以下几种说法：Pa1;若今天的Pa值比昨天的Pa值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多 10；假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<Pa<5.5（注：lg 2弋0.3）.则正确的说法为 （写出所有正确说法的序号）.（3）（

21、角度2）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019 年全年投入研发资金130 万元， 在此基础上， 每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是（参考数据：lg 1.12弋0.05, lg 1.3弋0.11, lg 2弋0.30）（）A.2020 年B.2021 年C.2022 年D.2023 年解析 （1）设在 A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在 B 地销售该品牌的汽车（16 x）辆，所以可得利润y= 4.1x- 0.1x2+2（16x）= 0.1x2 +2.1x+ 32=0.1（x 10.5）2+0.1 X 10.52 +

22、32.因为xC0, 16且xCN,所以当x= 10或11时，总利润取得最大值43万元. 当nA=1时，Pa=0,故错误.若 Pa= 1, WJ nA= 10;若 Pa= 2, WJ nA= 100,故错误.设B菌的个数为nB=5X104,1010nA=5X 104 = 2 X 10，则 PA=lg(nA) = 5+lg 2.又1g 2 = 0.3,因此5<Pa<5.5,正确.(3)设经过n年资金开始超过200万元， 即 130(1+12%)n>200.两边取对数，得 n1g1.12>1g 2-lg 1.3,- lg 2-lg 1.3 0.30 0.11 19所以n>

23、;=m 少 n 1g 1.120.055'又n C N ,所以n4,所以从2023年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.答案 (1)C (2)(3)DI分层限用调炼 ：一一2分屋上；押蜂力A级基础巩固一、选择题1 .一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧 时间t(小时)的函数关系用图象表示为()解析由题意得关系式为h = 20 5t(0&t&4).图象应为B项.答案 B2 .根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与M最接近的是() (参考数据：

24、lg 3 = 0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093M3361解析 由题意，lg N"=lg 1080= lg 3361 Ig 1080= 361lg 3-80lg 10=93.所以MJio93,故与n最接近的是io93答案 D3 .汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、内三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列斜述中正确的是（）A.消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时，消耗10 L汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下

25、，在该市用丙车比用乙车更省油 解析 对于A,消耗1 L汽油，乙车行驶的最大距离大于 5 km,故A错；对于 B,以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时， 甲车消耗汽油最少，故B错；对于C,甲车以80 km/h行驶1小时，里程为80 km, 燃油效率为10 km/L,消耗8 L汽油，故C错；对于D,因为在速度低于80 km/h 时，内车的燃油效率高于乙车，故 D正确.答案 D4.（2020武汉卞g拟）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一 起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率 为2.25%,若放入微信零钱通或者支付

26、宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（）（参考数据:1.022 54=1.093, 1.022 55=1.118, 1.040 15=1.217）A.176 元 B.99 元C.77 元D.88 元解析 将1 000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法， 则存满5年后的本息和为1 000X（1 +4.01%）/ 1 217（元），故共得利息1 217 1 000= 217（元）.将1 000元存入银行，则存满 5年后的本息和为1 000X （1 + 2.25%）5=1 118（元）,即获利息1 1181 000=118（元

27、）.故可以多获利息217 118 = 99（元）.答案 B5 .我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大 小的单位是分贝（dB）,对于一个强度为I的声波，其音量的大小”可由如下公式 计算：“=101gA（其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度），则70 dB的声音的 声波强度I1是60 dB的声音的声波强度12的（ ）A.7B.106倍C.10 倍D.1n7 倍解析由101g 10得口。1端，所以I1=I0107, I2=I0106,所以$10,所以 70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的10倍.答案 C二、填空题6 .某公司一年购买某种

28、货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总 存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x的值是解析一年的总运费与总存储费用之和为丫=6*等+4x =3 600十x4x> 2J3-600X4x = 240,当且仅当答案 303 600= 4x,即x=30时，y有最小值240.7 .“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某 品牌商品广告销售的收入 R与广告费A之间满足关系R=a4A（a为常数），广告 效应为D=a曲一A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应 为.州常数a表示） 解析 令 t=6(00),则 A=t2

29、,.D = at t2 t2a + 422, 11 c当t = 11a,即A=4a2时，D取得最大值.答案：a28.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出， t min后剩余的细沙量为y= ae-bt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子， 则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.11斛析 当t= 8时，y=ae =/a,所以e 8 =2.容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即丫= ae bt= 1a,e bt= (e 8b)3=e 24b, 88则 t=24.所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案 16三、解答题

30、9.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现， 该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v = a+blog3；0(其 中a, b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a, b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位？解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位，-30_故有 a+blog310= 0,即 a+b = 0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s,故有 a+blog300

31、= 1,即 a +2b=1.a+b = 0,a= 1,解方程组得a + 2b= 1,b=1.(2)由知,v=1 + log3M所以要使飞行速度不低于2 m/s,则有v>2,_Q即1 + log310>2,解得 Q>270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s时，其耗氧量至少要270个单位.10 .某医药机构测定，某种药品服用后每毫升血液中的含 药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲 线.写出服用药品后y与t之间的函数关系式；（2）据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.50微克时治疗有效，求服用药品后的有效时间.kt, 0<t<

32、1,解（1）由题中图象，设y=1 t a，t>1.4t0<t<1,t 3,t>1.t>1t-3>0.50,当t= 1时，由y= 4,彳3k= 4;1 a，1，i一,当2=4,得a= 3.所以y=0<t< 1, (2)由 y>0.50,得或40 0.50一1ri i 解得1&t&4,因此服用药品后的有效时间为84-g = 31（小时）. 8 8B级能力提升11 .将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰 减曲线y= aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m min甲桶中的a

33、 水只有4 L,则m的值为（）A.5B.8C.9D.10解析V 5 min后甲桶和乙桶的水量相等，1 函数 y= f（t） = aent¥两足 f（5）= ae5n=2a,t一1111 5可行 n = 5“2， f（t）= a，2 ,因此，当k min后甲桶中的水只有a L时， kk1 5 115 1f（k） = a 2 =a,即 2 =0 .k= 10,由题可知 m=k5=5. 答案 A12 .某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停（每次上涨10%）,又经历了 n次跌停（每次下跌10%）,则该股民这支股票 的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）A.略有

34、盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况解析 设该股民购这支股票的价格为 a元，则经历n次涨停后的价格为a（1 + 10%）n = ax 1.1n元，经历 n 次跌停后的价格为 ax 1.1nx（1 10%）n=ax 1.1nx 0.9n = aX（1.1X0.9）n = 0.99n a<a,故该股民这支股票略有亏损.答案 B13 .物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是 t1 hT0,经过一定时间t（单位：min）后的温度是T,则T Ta= （T。一Ta）万，其中Ta 称为环境温度，h称为半衰期.现有一杯用85 C热水冲的速溶咖啡，放在21

35、c的 房间中，如果咖啡降到37 c需要16 min,那么这杯咖啡要从37 c降到29 C, 还需要 min.解析由题意知Ta=21 C.令 To=85 C , T= 37 C ,16得 37 21 = (85 21) 2 h,解得 h = 8.令 T0=37 C , T= 29 C , t贝U 29 21 = (37 21) 2 8,解得 t=8.答案 814.(2020佛山一中月考)近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资 240万元.根据行 业规定，每个城市至少要投资 80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益 P与 投入a(单位

36、：万元)满足P = 472a-6,乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足1V VQ= 4a+2, 80、a、120,设甲城市的投入为乂(单位：万元)，两个城市的总收益 32, 120<a<160,为f(x)(单位：万元).(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？解(1)当x=128,即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，1所以 f(128)=4X/2>H2B6 + 4X 112+ 2=88(万兀).因此，此时公司的总收益为88万元.(2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240x)万元， x>80,依题意得解得80< x< 160,240 x> 80,当 800 x<120,即 120<240 x< 160 时,f(x) = 4V2x 6+ 32=4而+26<26+ 16715.当 120&x&160,即 80W240 x< 120 时，f(x) = 4 收一6+ 4(240 -x)+2=-4x+ 4"72x+ 56.令 t=Vx,贝