浅谈数形结合思想的应用

1、浅谈数形结合思想的应用蒋海朋摘要： 数学是在客观上研究数量关系和空间形式的一门科学， 用通俗易懂的话来概括就是数学是研究“数”和“形”的一门科学。数相对于形来说更为抽象，形相对于数来说较为直观，在研究学习中，数与形是相辅相成、息息相关的。对于这个问题， 本人在结合自己学习的总结以及前人所提供的经验， 并且查阅相关资料， 对于这个话题做一个简单的分析。 文中的例子都是本人在学习中总结的历年高考、中考的试题以及模拟题，有很强的代表性。关键词 ： 数形结合数学思想应用1 引言1.1 问题提出的背景纵观数学发展的历史进程，数学家们早已把“数”和“形”联系在一起。早在公元 300 年之前，欧几里得的著作

2、几何原本 ，他从几何的角度出发去研究和处理等价的代数问题； 笛卡尔利用坐标为根基， 通过代数为途径来研究几何问题，进而创立了解析几何学；化圆为方、三等分角、立方倍积这些几何难题都通过代数的方法得以完美解决。数学往往被分为两大类：代数、几何。虽然他们被分为两类，但他们绝不是相互独立的， 反而是密切相关的。 很多代数上的问题计算量很大， 看似非常复杂，甚至无从下手， 但是利用了图形之后就会发现问题迎刃而解， 直观的图形很容易反映图形的性质； 很多几何问题因为辅助线相对复杂想不到， 导致无法进一步研究， 但是往往我们利用坐标系能够把几何问题转化成代数问题， 同样也做到了化繁为简。这就是数学上常用的数

3、形结合思想。1.2 问题研究的意义伟大的数学家华罗庚就曾说过： “数形结合百般好， 割裂分家万事休。 ” 这两句诗充分直观得反映了“数”与“形”这两者密不可分的联系。应用数形结合思想来思考问题就是要求我们结合代数的准确论证和图形的直观描述来发现问题的解决途径的一种思想方法。 由此可见， 数形结合思想对于数学解题方面的应用来说是十分重要的， 但老师往往仅仅把它当做一种思想一谈而过， 照着课本讲课，没有引导学生进一步思考，导致很多学生都不能具体有序地应用这种思想。2 数形结合思想的重要地位2.1 使用数形结合思想的意义数形结合思想无疑是连接“数”和“形”的桥梁，几何的直观形象和数量关系的严谨他们各

4、有优点，在应用过程中有目的有计划地将“数”与“形”结合在一起，根据题目的已知条件，整合“数”和“形”的相关信息，巧妙结合，从而建起它们中间的桥梁，兼取两者之优，能让我们的解题更为轻松。2.2 数形结合思想能够增加学生解决问题的策略的选择在学生解决问题的过程中， 画图是一种惯用的策略， 早在小学课本中的解决问题的策略中有过介绍画图是我们分析题目的手段， 是为了让学生更清晰直观了 解题意，从而进一步让学生掌握抽象思维和推理。在学习百分数和分数时， 我们经常指导学生用线段图来分析题目。 三个学生分一大包饼干，A分得总数的一半少1块，B分得剩下的一半多1块，C分得5 块，求这包饼干一共有多少块？题干中

5、的总数的一半少1 块、得剩下的一半多 1块同学们肯定很难理解， 但是让学生们画出线段图， 问题就显得更加清晰了， 学 生也更加容易理解。从图中很容易看出C分得的应该是剩下的一半少1块，所以 剩下的一半是6 块， 所以剩下 12块， 而这 12块就是总数一半多 1 块， 故总数的一半是 11 块，显然一共有22 块饼干。通过这道例题能够看出， 我们通过线段图的协助， 清晰得整理了题目所给的条件，找到了解决问题的方法，逐步击破，解除答案。准确有效应用数形结合思想来作为解决问题的策略无疑是快速又简便的妙计。2.3 数形结合思想有助于学生形象思维水平的发展思维是人脑借助已有的知识和经验，对客观事物的概

6、括和间接的反应过程。所以思维的发展影响一个人的行为。 数形结合思想更多的是一种形象思维， 通过对实物或者表层含义自己构建出数学结构，这是“形”到“数” ；通过文字描述或者信息变成直观的图形或者图像，这是“数”到“形” 。在高中我们学习立体几何时，在学习到点、线、面的位置关系以及一些定理的证明时， 如果让学生死记硬背这些定理肯定是不可取的方法， 课堂中我们往往会 用钢珠、笔、桌面来代替点、线、面，这样我们就能够让学生自己动手操作，从而直观的感受到他们之间的位置关系，很好地协助学生理解并记住了定理。实际操作中的数形结合能够很好地锻炼学生的形象思维水平的培养， 大大增强了学生对于图形以及位置关系的空

7、间想象水平，这就是“以数想形” ，是我们 常用的形象思维之一。3 以形助数的数形结合思想在数学教学中的应用3.1 应用数形结合思想解决集合问题例 1： 六年级 （ 1） 班有 52 名学生， 现在学校组织三种不同的体育活动小组，根据学校规定： 所有人都要参加， 每人至少参加一个体育活动小组， 也能够全都参加。据班主任统计参加篮球、乒乓球、足球小组的人数分别为 25， 26， 17。同时参加篮球、乒乓球、足球小组的 6 人，同时参加篮球、乒乓球、足球小组的7 人，同时参加篮球、乒乓球、足球小组的 8 人，问同时参加篮球、乒乓球、足 球小组的有多少人？分析：我们可用圆A, B, C分别表示参加篮球

8、、乒乓球、足球小组的人数(如 图)，则三圆的公共部分正好表示同时参加篮球、乒乓球、足球小组的人数。解：用n表示集合的元素，则有n(A) n(B) n(C) -n(A - B) -n(B - C) - n(A - C) (A - B - C) = 52即 25 26 17 -6 -7 -8 n(A - B - C) =52所以：n(A - B - C) =5即同时参加篮球、乒乓球、足球小组的有 5人。图3-1集合韦恩图图3-4分割多边形计算内角和3.2 应用数形结合思想解决函数问题(1)1X,XM0例2设函数f (x) = < 22x2 ,x 0若f(X0) > 0 ,则X0的取值范

9、围是(D)A.(-1,1)B.(-1, + °°)C .(- 00, -2) u (0, + oo)D.(-00,-1)2 (1, + 00)T分析：我们通过度别画出该函数的两段图像， 再画出y = i这条线段，非常直观 得找到了两个交点，并且判断出了函数值域大于1的大致范围，对于选择题来说 这些重要信息往往能够排除几个错误答案，让我们更加准确的选出答案。数形结 合通常也能够作为检查答案的手段，把计算好的答案再回到图中看是否符合也是 检验的好方法。3.3 应用数形结合思想解决方程问题例3:方程logio x = sinx的实数根的个的个数是（）A 1个B 2个C 3个D 4

10、个分析：如果我们想用代数的方法把这个方程的根求出来，凭借我们的现有知识 是做不到的，所以我们会考虑到用数形结合的思想来考虑这道题，10gl0 x = sinx这个方程的解是函数丫=1410*与丫 =§nx图象的交点的横坐标。我们只要在同 一个坐标系里分别画出丫=1的1。*与丫 =sinx的函数图象，如下图，显而易见， 这两个图象有三个不同的交点，所以实数根的个数是 3个，所以我们要找的准确 的选项为（C）。函数和方程在数学中是密切相关的两个概念，这两个函数图象的交点的横坐标 就是我们所要寻找的方程的解，所以对一些解起来很麻烦的方程，或者说我们根 本无法解出来的方程，用数形结合的方法来

11、思考是很有必要的， 特别是判断一个 方程解或者两个函数的交点的个数的时候，并非要求你求方程的具体解。Y图3-3函数图像3.4 应用数形结合思想来理解公式例4:理解n边形内角和公式（n-2） "80图（a）把n边形分成n2个三角形，每个三角形的内角和是180°。图（b） 把n边形分成n个三角形，然后再去除一个周角也就是360° ,故公式是180xn-360 o图（c）把n边形分成n-1个三角形，结合图像很容易发现把所有 三角形的内角加起来再减去一个平角就能够得出公式是180M（n1）180 o3.5 应用数形结合思想解决线性规划问题例5:已知：x之0, y20且x+

12、 2y =1,求x2 + y2的最小值与最大值。分析：看到一个二元一次方程，并提供了 x、y的范围，我们首先应该想到这 是一道线性规划的题目，我们根据题目画出图像，答案显而易见。解：如图3, x+2y=1 （ x之0,y±0）的图象画出来就是线段 AB,而线段上的点（x, y）到原点的距离为 v x2 + y2 ,显而易见线段AB上点到原点距离最小为4应用数形结合思想需要注意的问题以上我们介绍了诸多使用数形结合思想的优点，它不但形象直观，而且简便 易懂，能够避免代数上的繁琐的运算过程。 但是图像毕竟仅仅一部分内容而不是 全部，不能以偏概全忽略其他条件，所以在使用数形结合思想的时候同样

13、也存有 很多需要注意的问题。4.1 作图水平的培养熟练应用数形结合思想的前提条件是对“数”和“形”的掌握，由“数”到 “形”的转变要求同学们能够熟练得画出函数图像或者图形，不但要会画，而且还要知道如何变化，比如图像的平移、旋转、缩放等等，还有一个比较特殊的绝 对值，这些都是作图的难点。熟练掌握绘图是数形结合的第一步。4.2 作图要精确学生作图的习惯通常比较差，不喜欢用尺是最常见的，学生都认为画的差不 多就能够了，这种思想是万万不能有的。在数形结合中作图不精确就会导致致命 错误，可能仅仅差一点，也会导致漏解、错解。4.3 避免遗漏条件我们使用数形结合思想解题时， “数”到“形”或者“形”到“数”

14、是题目条件的转化， 转化的关键在于等价， 不能改变原有的条件。 在函数题目中最容易遗漏的条件就是定义域， 漏掉定义域之后范围就会扩大， 导致做错整道题。 所以 只有保证不遗漏条件才能保证转化的等价性。5 总结数形结合思想作为数学中最为重要的思想之一， 本论文简单阐述了一些数形结合思想在教学中的应用以及数形结合思想在应用中要注意的问题。让学生掌握数形结合思想肯定是极好的， 但这种思维的形成不是在短时间内能够实现的。 现代教学提倡以学生为主体， 教师起主导作用， 教师应该要把数形结合思想的培养作为重点之一， 在平时的课堂教学、 作业等等方面持续引导学生潜移默化地形成这样的思维， 让学生牢牢把握学习的主动权， 发现数学的奥妙之处。参考文献1 李雪川，高中数学数形结合思想的研究和应用 D ，河北师范大学， 2019.2 刘兴楠，数形结合思想在中学数学教学中的应用 D ，辽宁师范大学， 2019.3 李红梅，例