平面连杆机构分析与设计的复矢量法

1、闽江学院学报2006年第2期平面连杆机构分析与设计的复矢量法 卢新平（闽江学院物理学与电子信息工程系，福建 福州 350108 ） 摘 要：本文采用复数矢量法，讨论平面连杆机构运动学分析与设计问题，得出矩阵形式的线性方程组，并引入Matlab计算程序。 关键词：复矢量；四连杆机构；运动分析。中图分类号：O316文献标识码：A 文章编号：10097821（2006）02ANALYSIS AND DESIGN OF PLANAR LINKAGE BASED ON THE COMPLEX VECTOR LU Xinping ( Physics and Electronics Information

2、Engineering Department of Minjiang University, Fuzhou Fujian 350108 )Abstract：In this paper, based on the complex vector, we study on the analysis and synthesis of planar four-bar linkage. The linear equations in the matrix form and the matlab programming are presented.Keywords： complex vector；four-

3、bar linkage ； .kinematic analysis 1.引言力学教学改革与精品课程建设，一要加强理论与工程技术实际的联系，二要重视计算机方法的运用。在信息时代的今天，高素质人才应能利用计算机和先进数学软件进行学习、工作和研究；计算机方法，也是研究非线性力学问题的需要。力学的计算机方法关键要抓住力学模型的建立，数据的准备和输入等方面，不要让学生把时间花在编程上。为此，力学的计算题，要变传统的解题方法为矩阵方程的解题方法，以便应用计算机程序求解力学问题。关于动力学问题，笔者已经在文献3中给出了矩阵形式的动力学方程以及计算机计算程序。本文研究运动学问题，这不仅是为动力学作准备，在工程

4、技术问题中运动学也有广泛的直接应用。以下以平面四杆机构为例，说明运动学的工程技术应用，并探讨为了引入Matlab计算机设计计算程序，如何运用复矢量分析法。 2. 复矢量分析法复数平面上的矢量叫做“复矢量”，记为： = r| = r cos+j rsin （1）记号r| 将矢量的长度和方向角归纳在一起，使用起来很方便。其中收稿日期：基金项目：闽江学院力学教改与力学精品课程建设项目资助，闽院教2005 48作者简介：卢新平（1950），男，福建闽侯人，闽江学院物理学与电子信息工程系副教授。|cos+j sin （2）是矢量的单位方向矢。用|乘以某一矢量，意味着将该矢量逆时针方向转动角，所以| 又称

5、为“转动角”。令=，则有 | = cos+j sin= j （3）这表明用j乘以某一矢量，意味着将该矢量逆时针方向转动角。单位方向矢|对时间的导数为： | = sin+ jcos= j (cos+j sin) = j| （4）其中：为方向矢|转动的角速度，它描述转动的快慢。二维矢量对时间导数的一般形式为： = | + r j| = (+ j r)| （5）当矢量= a|的长度a不变时，则有： = ja| = j （6） （）= j (+j2) （7）刚性杆作平面平行运动时，其长度不变，公式（6）和（7）在刚性杆运动方程的线性化程序中起着颇为重要的作用。3. 平面连杆机构运动分析与设计在自动化机

6、构、仪器仪表、以及其他机械传动与操纵系统中，广泛采用连杆机构。连杆机构作用大致有三：1）实现一定的运动要求；2）实现一定的动作（操纵机构）；3）实现一定的轨迹。连杆机构中的铰接四杆机构基本型式有：1）曲柄摇杆机构；2）双摇杆机构；3）双曲柄机构；4）曲柄滑块机构；5）导杆机构；等等。连杆机构比其它机构具有如下优点：1）两构件以低付相连接，是面接触，能承受较大压力和冲击力；2）接触面由于是柱对柱面或平面对平面，几何形状简单，容易加工，且容易获得较高精度；3）能够实现多种运动形式的转换和得到各种复杂的运动轨迹；等等。这一系列优点是促成其获得广泛应用的原因。连杆机构的一个大缺点是运动学和动力学的分析

7、与设计计算比较麻烦。本文试用复矢量法分析平面四杆机构的运动，并且引入Matlab计算机计算程序，以求简化设计计算。在平面连杆机构分析中，复矢量法的实用性归因于复数容易转换成极坐标形式，当需要微分时，用这种形式表示矢量特别有用，而且可以转化成矩阵方程，从而引入计算机方法。3.1 按位置分析与设计通常，机构是为了传递运动。在原动件（输入件）上给出某种运动时，由随动件得到所希望的运动，这就是机构的目的。为此，输入和输出的关系应当有某种固定的函数关系。表示机构的矢量图，就是确定形状的矢量图；表示机构的矢量方程就应当是可解的方程。在连杆机构中，最普通而有用的是四杆机构，其位置分析与设计的主要问题是确定位

8、置变量的值，求各杆尺寸和独立变量的值。如图1示平面四杆机构，d为机架，a为主动杆，b为连杆，c （Fig. 1.） 为从动杆, 机构回路闭合方程可写成复矢量形 a| + b| = d 0| + c| (8 )使用尤拉方程分出方程(8 )的实部和虚部，整理可得：bcos= d +c cosa cos， bsin= c sin a sin 两式平方后相加，可消去角，得到输出角与输入角的函数关系为：po cosp1cos() +p2cos （9）其中：po=； p1=； p2 = (a2b2 +c2+ d 2) / 2ad如果给出主，从动杆三个对应角位置 (1，1)， (2，2) ，(3，3)，代入

9、（9）式，可得关于未知数po， p1， p2的三个独立的线性方程，容易引入计算机程序求解出三个未知数po， p1， p2 的值，进而求出四杆长度之比a：b：c：d1：b1：c1：d1中的b1，c1和d1；如果再选定某杆长度，则其它三杆长度也就都可以确定。3.2. 按速度和加速度分析与设计未知变量的回路闭合方程的解析式是一个非线性问题，会导致冗长的代数运算。幸而，我们将会看到有关速度分析的复矢量法只涉及一系列线性公式，而且解法是相当简单的。作为方法的一种说明，我们来推导图1所示四杆机构的一个表示其输入角速度和输出曲柄角速度之间关系的公式。根据回路闭合方程（8），考虑所有的长度保持不变，我们利用公

10、式（6）求时间导数，可得： ja| + jb| = jc| （10）用|乘方程（10）两边，得： bc| = a|根据两边虚部相等，得： csin () = asin ()由此可解得从动杆的角速度为： =a sin () / c sin () （11）用|乘方程（10）两边后取虚部相等得： bsin () = a sin ()由此可解得连杆的角速度： =a sin () / b sin () （12）值得注意的是，我们已经把上述问题中所解的联立方程组全部线性化了。同样值得注意的是连杆的角速度和从动杆的角速度的表达式中，两者在分母中都包含有sin () ；通常任何的速度分析问题对于每一速度未知数

11、的解答都有同样的分母。这些分母是线性方程未知数的基本系数的决定因素。可以看出，在四杆机构中，()是一个传动角。当传动角变小时，输出速度和输入速度之比变得很大。3.3. 设计计算举例 设有如图所示四杆机构，其中4为机架（常矢），1为主动杆，3为从动杆，2为连杆。设在某一工作位置时各杆的角速度和角加速度分别取如下值： 1=20 rad/s, 1= 0；2=8.5 rad/s, 2=10 rad /s2；3=13 rad/s, 3=160 rad /s2. 试根据上述要求确定该机构尺寸比。根据图（2），回路闭合方程可写为：1 +2 +34回路闭合方程对时间求导一次，利用（6）式，可得：1 1 +2

12、2 +33 0 回路闭合方程对时间求导两次，利用（7）式，可得 （Fig. 2） c11 + c2 2 + c33 0 其中 c1=1+j12 ， c2=2+j22 ， c3 =3+j32 解关于1 ，2 和3的线性方程组：4 （13）可得 1=4， 2=4 ， 3=4注意到上述解中含有相同的分母D,它是一个复数，不妨记为Dkj|，被它除的效果是把各杆的长度都缩小k倍，同时方向都顺时针旋转角，相当于机构不动，坐标轴逆时针旋转角。设计机构时，重要的是机构的形状与尺寸比例。基于这种考虑，可设4 / D 1，则有1=Dx=1230j497.3 ； 2= Dy =3200j1820 ； 3= Dz =

13、200+j1955 .于是： 4 = (1 +2+3) = 1770+j362.3在坐标系上作出上述各杆矢量图，根据各杆矢量图作出机构的闭合矢量图，再根据实际需要选定某一杆长度，其它各杆长度按图比例相似放大。把图整体旋转适当角度，可使机架杆R4处于水平位置，就得到如图2所示的机构图。4. 引入Matlab计算机设计计算程序 采用复矢量法，分析与设计连杆机构时，容易建立类似于（13）的线性方程组。这些线性方程组的求解问题，可以采用MATLAB程序轻而易举地完成。MATLAB中的变量与常量都是矩阵（标量可看作11阶的矩阵，向量可看作n1或1n阶的矩阵），其元素可以是复数和任意形式的表达式，它具有元

14、素群运算能力。MATLAB的这些优于其他语言的特色，尤其方便于分析计算上述复矢量描述下连杆机构的各种问题。作为一个例子，我们这里给出采用MATLAB求解方程组（12）的编程方法和程序。MATLAB程序：clear, format compact1=20 ；2=8.5 ；3=13；1= 0；2=10 ；3=160； % 设置参数R4=1；按A*X=B*R4列写此连杆机构问题的矩阵方程，其中XR1；R2；R3;a11=1；a12=1；a13=1； %设置系数Aa211；a222；a233；a31 =1+j12 ； a32=2+j22 ；a33 =3+j32；Aa11，a12，a13；a21，a22，a23；a31，a32，a33；B1；0；0； %设置系数BXA B*R4 %解出X并且显示结果程序运行结果X0.6665j 0.4417 2.108j 0.6877 0.3539 + j 0.9121此结果是：设机架杆4 = 1180 o|1 + j 0，则1=0.6665j 0.4417， 2=2.108j 0.6877， 3= 0.3539 + j 0.9121 .