第3章 §2 数学证明

1、.§2数学证明1理解演绎推理的概念重点2掌握演绎推理的根本形式，并能用它们进展一些简单的推理重点3能用“三段论证明简单的数学问题难点根底·初探教材整理数学证明阅读教材P58P59“练习以上部分，完成以下问题1证明1证明命题的根据：命题的条件和的定义、公理、定理2证明的方法：演绎推理2演绎推理的主要形式演绎推理的一种形式：三段论，其推理形式如下：1大前提：提供了一个一般性道理2小前提：研究对象的特殊情况3结论：根据大前提和小前提作出的判断判断正确的打“，错误的打“×1“三段论就是演绎推理2演绎推理的结论是一定正确的3演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理【答案】1&#

2、215;2×3×质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型把演绎推理写成三段论的形式将以下演绎推理写成三段论的形式1一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数；2三角形的内角和为180°，RtABC的内角和为180°；3通项公式为an3n2n2的数列an为等差数列【精彩点拨】三段论推理是演绎推理的主要形式，推理形式为“假如bc，ab，那么ac.其中，bc为大前提，提供了的一般性原理；ab为小前提，提供了一个特殊情况；ac为大前提和小前提结合产生的

3、逻辑结果【自主解答】1一切奇数都不能被2整除大前提75不能被2整除小前提75是奇数结论2三角形的内角和为180°.大前提RtABC是三角形小前提RtABC的内角和为180°.结论3数列an中，假如当n2时，anan1为常数，那么an为等差数列大前提通项公式an3n2，n2时，anan13n23n123常数小前提通项公式为an3n2n2的数列an为等差数列结论把演绎推理写成“三段论的一般方法：1用“三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，提醒一般性原理与特殊情况的内在联络2在寻找大前提时，要保证

4、推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提再练一题1将以下演绎推理写成三段论的形式1平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；2等腰三角形的两底角相等，A，B是等腰三角形的两底角，那么AB.【解析】1平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分结论2等腰三角形的两底角相等，大前提A，B是等腰三角形的两底角，小前提AB.结论演绎推理在几何中的应用如图3­2­1所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，BFDA，DEBA，求证：DEAF.写出“三段论形式的演绎推理. 【导学号：67720195】

5、图3­2­1【精彩点拨】用三段论的形式依次证明：1DFAE，2四边形AEDF为平行四边形，3DEAF.【自主解答】同位角相等，两直线平行，大前提BFD和A是同位角，且BFDA，小前提所以DFAE.结论两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DEBA且DFEA，小前提所以四边形AFDE为平行四边形结论平行四边形的对边相等，大前提DE和AF为平行四边形的对边，小前提所以DEAF.结论1用“三段论证明命题的步骤1理清楚证明命题的一般思路；2找出每一个结论得出的原因；3把每个结论的推出过程用“三段论表示出来2几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，

6、将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论再练一题2证明：假如梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角【解】在梯形ABCD中如下图，ABDCAD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分BCD，BD平分CBA.证明：等腰三角形的两底角相等，大前提DAC是等腰三角形，DCDA，小前提12.结论两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，大前提1和3是平行线AD，BC被AC 所截的内错角，小前提13.结论等于同一个量的两个量相等，大前提2，3都等于1，小前提2和3相等结论即CA平分BCD.同理BD平分CBA.探究共研型演绎推理在代数中的应用探究1演绎推理的结论一定正确吗？【提示】演绎

7、推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确探究2因为对数函数ylogaxa0，a1是增函数，而yx是对数函数，所以yx是增函数上面的推理形式和结论正确吗？【提示】推理形式正确，结论不正确因为大前提是错误的a，b，m均为正实数，b<a，用三段论形式证明：<.【精彩点拨】利用不等式的性质证明【自主解答】因为不等式两边同乘以一个正数，不等号不改变方向，大前提b<a，m>0，小前提所以mb<ma.结论因为不等式两边同加上一个数，不等号方向不变，大前提mb<ma，小前提所以mbab<maab，即bam<ab

8、m结论因为不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变，大前提bam<abm，aam>0，小前提所以<，即<.结论代数问题中常见的利用三段论证明的命题：1函数类问题：比方函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等2导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等3三角函数的图像与性质4数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质5不等式的证明再练一题3当a，b为正实数时，求证：.【解】因为一个实数的平方是非负实数，大前提而2是一个实数的平方，小前提所以是非负实数，即0.所以.结论构建·体系1下面几种推理过程是演绎推理的是A两条直线平

9、行，同旁内角互补，假如A与B是两条平行直线的同旁内角，那么AB180°B某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得出高三所有班级中的人数都超过50人C由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D在数列an中，a11，ann2，通过计算a2，a3，a4猜测出an的通项公式【解析】A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理【答案】A2用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0，你认为这个推理A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D是正确的【解析】这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0，小前提是“a是实数，结论是“a2>0显然结论错误，原因是大前提错误【答案】A3函数y2x5的图像是一条直线，用三段论表示为：大前提：_；小前提：_；结论：_.【答案】一次函数的图像是一条直线函数y2x5是一次函数函数y2x5的图像是一条直线4如图3­2­2所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，BCAD.图3­2­2又因为ABC和CDA的三边对应相等，所以ABCCDA.上述推理的两个步骤中分别省略了 _、_.【答案】大前提大前提5用三段论的