排列组合问题解法大全

1、排列组合问题解法大全一.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有A、60种 B、48种 C、36种 D、24种解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种。二.相离问题插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位

2、有种，不同的排法种数是种，选.三.特殊元素或特殊位置优限法：优先解决带限制条件的元素或位置，或说“先解决特殊元素或特殊位置”例3.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种.四.分组分配：n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相

3、同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。 1.基本的分组问题例4 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组两本. (2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消

4、分组的顺序，即除以组数的全排列数，所以分法是=15(种)。(2)先分组，方法是，那么还要不要除以？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有=60(种) 分法。(3)分组方法是=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是=15(种)。通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。结论1： 一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m，m，m，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是。2.基本的分配的问题(1)定向分配问题例5

5、 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1) 甲两本、乙两本、丙两本.(2) 甲一本、乙两本、丙三本.(3) 甲四本、乙一本、丙一本.分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：分别有=90(种)，=60(种)， =30(种)。(2)不定向分配问题例6六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1) 每人两本.(2) 一人一本、一人两本、一人三本.(3) 一人四本、一人一本、一人一本.分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人，同一本书给

6、不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以，即=90(种)， =360(种) =90(种)。结论2. 一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。例7 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法(1

7、)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是+=90(种)。再考虑排列，即再乘以。所以一共有540种不同的分法。3.分配问题的变形问题例8 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有(种)，然后将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题，即共有=144(种)。例9有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项

8、任务，不同的选法有多少种？分析：先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共有(种)分法。再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担甲任务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以共有=2520(种)不同的选法。例10设集合A=1，2，3，4，B=6，7，8，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个？分析：由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配的问题。先考虑分组，集合A中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、1、2，

9、则共有(种)分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以，所以共有=36(个)不同的函数。五.相同元素隔板法及应用:情形1：将n件相同的物品或（名额）分配给m个（或位置），允许若干个人或（位置）为空。将n件物品和m-1个隔板排成一排，占n+m-1个位置，从n+m-1个位置选m-1位置放隔板，有种。情形2：将n件相同的物品或（名额）分配给m个（或位置），每个位置必须有物品，有种。例11. 把20个相同的球放入4个不同的盒子，每个盒子都不空，有多少种不同方法？把20个相同的球放入4个不同的盒子，每个盒子至少有3个小球，有多少种不同方法？把20个相同的球放入编号为2，3，4，5的4个盒子，每个盒子的小球数不

10、少于编号数，有多少种不同方法？把20个相同的球放入4个不同的盒子，盒子可以空，有多少种不同方法？1.指标分配问题。 例12、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？C2.求n项展开式的项数。 例13、求展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有、的5个不同的盒子表示数、，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有（i=1,2,5）每个盒子得到的小球数（i=1，2，5; ），记作的次方。这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。由隔板法知，这样的放法共有种，

11、故的展开式中共有项。 =1001（种）。所以，展开式中共有1001项。点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求展开式中的项数的理论依据。3.求n元一次方程组的非负整数解。例14、求方程+=7的正整数解的个数。解：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有、的5个不同的盒子表示未知数、，要得到方程+=7的正整数解的个数，可分以下两步完成。第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法；第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有种放法。由分步计数原理知，共有种不同放法。我们把标有（i=1,2,5）的每个盒子得到的小球数（i=1，2，5; ），记作：=。这

12、样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程+=7的每一组解（，）。 =15（个） 所以，方程+=7的正整数解共有15个。6. 至多，至少问题排除法例15.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有A、140种 B、80种 C、70种 D、35种解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台,选.例16.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有A、70种 B、64种 C

13、、58种 D、52种解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个.（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有A、150种 B、147种 C、144种 D、141种解析：10个点中任取4个点共有种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为，四个面共有个；过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是种.7. 综合问题先选后排例17.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个

14、空盒的放法有多少种？解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，“再排”在四个盒中每次排3个有种，故共有种.（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种.八.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.例18.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=6人中任取4人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的

15、公式得参赛方法共有：种.九.对等问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例19.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是A、24种 B、60种 C、90种 D、120种解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.十.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.例20.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，

16、选.（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.十一圆排问题线排法:把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成线排，其它

17、的元素全排列.例21.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式种不同站法.说明：从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法.12 复杂的排列组合问题1分解与合成法:例22.（1）30030能被多少个不同偶数整除？解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为个.（2）正方体8个顶点可

18、连成多少队异面直线？解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.2.构造模型法（1）构建方程模型例23 上一个有10级台阶的楼梯，每步可上一级或两级，共有多少种上台阶的方法？解：设表示上一级台阶的步数，表示上两级台阶的步数，则 。当时，于是用6步走完10级台阶的方法为种；同理，当，4，6，8，10时，的取值分别为5，3，2，1，0，则上台阶的方法分别为，种。所以上台阶的方法共有+种。点评：构建方程模型的关键是找到等量关系，正确列出方程。（2

19、）构建立体几何模型例24 如图1中A，B，C，D为海上四个岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来， 则不同的建桥方案共有（ ） A.8种 B.12种 C.16种 D.20种解：如图2，构建三棱锥，四个顶点表示小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁，由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法，这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法为种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取不共面的棱的不同取法为种，故选C项。点评：构建恰当的立体几何模型，可以使排列组合问题显得直观清晰、简洁明快。（3）构建隔板模型例25 把20个相同的球全部装入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，则共有 种不同的放法。解：运用隔板法必须同时具备以下三个条件：