数学考研笔记

1、数学笔记三角函数1，2积化和差：，3和差化积：，4倍角公式：，5半角公式：，6万能公式：设，则 ，7将次公式：，8其他：，函数极限的性质（1）极限唯一；（反证）（2）有界性：若，则在某个内有界；（3）局部保号性；推论1：若，且A>B，则在某个内；推论2：若，且在某个内，则AB。夹逼定理：若在某个内uvw，且，则。Heine定理：对以为极限的数列且，都有。闭区间上连续函数的性质定理：设， （1）有界定理：则M>0，st；（2）最值定理：则，st；（3）根值定理：若，则，st；若，则，st；（4）介值定理：且，则对，都，st；Stolz定理：设且，若(有限值或)，则。推论1：若，则；推

2、论2：若，且，则；推论3：若，且，则（补充首项1）。Cauchy收敛准则：收敛对，当时总有。Cauchy收敛准则：，对，总有。Cauchy收敛准则：收敛，当时，对总有。Cauchy收敛准则：，对，总有对以第一类间断点：均存在，其中：（或不存在），称为可去型；。称为跳跃型。第二类间断点：至少有一个不存在，其中：若之中有一个为，称为无穷型。常用极限，令，则，。等价无穷小量。极限趋近速度双曲函数（奇），（偶），(奇)，反：，一根两端固定自然下垂的绳索，如两根电线杆间的电线，称为悬链线，其方程为：常用导数高阶微分， 不具有形式不变性：为自变量时，；为中间变量时，。误差估计（1）准确值：A 近似值：a绝

3、对误差： 相对误差：。若（最大）绝对误差： （最大）绝对误差：。（2），的最大绝对误差：。常用积分（不定积分已略去常数C），其中：正交性：广义积分； 。，。变限积分求导，其中：函数的极值与最值、驻点与拐点1极值点的必要条件：若是的极值点，则或不存在。充分条件：在，若在内，且在内，则；在内，且在内，则；在和内正负号相同，则不是极值点。充分条件：设存在，且，则若，；若，。充引申：设存在，且，则若为偶数，当，；当，。若为奇数，不是极值点。2最值：；。3驻点：，则称为的驻点。驻点不一定为极值点。4拐点：若在处连续，且在和内正负号相反，则称为的拐点。或不存在的点和的点可能为拐点。 曲线C在拐点处凹向发生

4、改变。函数的凸凹1所谓凸凹是指朝向看去的直观结果。2，则：凸函数向上凹（往上无限）；凹函数向下凹（往下无限）。3詹生不等式：若在上是凸函数，则有：，其中 且。渐近线、曲率与渐屈线1渐近线 垂直：或，则直线即为垂直渐近线；斜：，其中；水平：，则直线即为水平渐近线。2弧微分曲率，曲率半径 曲率中心坐标：，3渐屈线（中心轨迹）：，原曲线为渐开线。函数作图基本步骤确定定义域讨论对称性与周期性求出，定出或不存在的点列表确定曲线的升降和凹向，算出极值和拐点讨论渐近线描出特殊点，绘出曲线。微分定理1Fermat定理 函数在内有定义，在处可导，且在取局部极值，则。2Roll定理 若函数，且：，则，。3Lagr

5、ange定理 若函数，则，；变形则，微分中值定理；变形则，；变形记，则，有限增量公式。推论 若函数在内有，则在内为一常数。推论 若两函数及对有，则 （C为一常数）。推论 若函数在上存在有界导数，则在上满足Lipschitz条件。Lipschitz条件：若函数在上有定义，且存在常数， 对有：，则称在上满足Lipschitz条件。4Cauchy定理 若函数,且对，则，。微分中值定理的应用（辅助函数的构造）Lagrange格式：。Cauchy格式： OR 。格式：其中为关于的轮换对称式。分离得到轮换式 ，。E.g 1 欲证：。，。E.g 2欲证：。，。E.g 3欲证：。E.g 4欲证：。 令 ，。函

6、数的一致性连续Def设在上有定义，若对，总存在只与有关而与内的无关的，当，恒有，则称函数在上一致连续，否则称非一致连续。PS 若要证函数在上非一致连续，只证：，对，总，虽然，但。或用反证法推出矛盾。Cantor定理设，则在闭区间上一致连续。判定对满足Lipschitz条件：为常数，则在上一致连续。函数可积条件定理闭区间上的连续函数是可积的。定理在闭区间上除去有限个点外都连续的有界函数（即具有有限个第一类间断点）是可积的。推论闭区间上的分段连续函数是可积的。定理闭区间上的单调函数必可积。定积分中值定理第一定理：设，且在上不变号，则，。推论 设，则，。性质 设在上可积，则也可积，且。第二定理：设，

7、且在上不变号，则，。Taylor公式1多项式;2函数，Peano余项;3函数，Lagrange余项，其中；注：具有阶连续导数和阶导数，所以证明时只可以用次L'Hospital法则，最后一步用Lagrange定理：。4Maclaurin公式：，在。5高阶微分形式：，()。 其中，仅适用于为自变量的情况。关于积分的处理令，则：尤拉变换：令，。函数序列的一致收敛性Def 设是定义在区间上的函数序列，若对，收敛，则称在上逐点收敛。：对，当时有：，则：。Def 设是定义在区间上的函数序列，若有定义在上的函数，满足：，总，当时，对一切都有： 则称在上一致收敛。定理(Cauchy一致收敛准则)在区间

8、上一致收敛，总，当时，对一切都有：。又叙述为：在上一致收敛，总，当时，有：，。 定理设，且在上一致收敛于，则有：；。定理 设在上收敛于，且在上一致收敛，则有：；。无穷级数定理 若级数收敛，则不改变项的顺序，而对任意有限项求和后得到的新级数仍收敛，且和数相同。Def 条件收敛：级数收敛但发散；绝对收敛：收敛。性质收敛收敛。反之不成立；若用比值判别法证明发散，则也发散；若收敛，则绝对收敛。令，则绝对收敛。在时收敛，在是发散。函数项级数的一致收敛性，总，当时，有：，。M判别 存在收敛级数，在区间上有，则在区间上一致收敛。关于幂级数1幂级数的收敛区间收敛域，收敛区间为不包括端点的开区间，收敛域可能为闭

9、区间。2幂级数在收敛区间内一致收敛，在收敛域内收敛，但在半径点收敛性不定（绝对or条件or发散）。3常用幂级数公式，；，Fourier级数1，其中：。2正弦级数（奇式延拓）。需给出间断点和端点收敛值，其中端点收敛于0。余弦级数（偶式延拓）。只给出间断点收敛值即可。3周期函数 以为周期的F-级数为：；。4将展成F-级数得：，。进一步可得：，。F-级数的复数形式，；。微分方程1分离变量型 ；齐次型 ；，其中：，2高阶微分方程 ；3一阶线性；(1) （齐次）(2) (3) Bernoulli：4二阶常系数线性 ；(1) 齐次特征方程：(2) 非齐次情形一即若为的重根，则方程特解。采用待定系数法求得。

10、(3) 非齐次情形二 OR Step1求的特解：若为的重根，则；Step2原方程特解 OR。非齐次方程通解，其中为对应齐次方程的通解。(4) 一般情况常数变易法，设。5Euler方程，；。6一阶线性方程组 ，特征方程：（齐次）；对于非齐次用消元法。7R-C回路由于R-C-L回路其中：，。多元函数微分学1。2隐函数求导：，其中；，。3方向导数：，其中：。4空间曲线的切线方程：，切向量：，其中法平面方程：。5空间曲面的法线方程：，法向量：，切平面方程：。多元函数的极值定理 设，令，当时，若，则为极大值点；若，则为极小值点。时，则不是极值点。时，则不确定是否是极值点。Lagrange法求约束型极值Obj：St：，构造辅助函数求导：，；，求得上述(m+n)元方程组的解代入目标函数验证。坐标变换1极坐标系；2广义极坐标系 ；3柱面坐标系表示半径为C的圆，表示过z轴且与+x方向成角的半平面，表示平行于xoy面的平面，；4球面坐标系表示以原点为圆心半径为C的球面，表示过z轴且与+x方向成角的半平面，表示以原点为顶点，以与+z方向成角的射线为母线的半圆锥面，（范围可由x、y和z的取值范围确定），；5广义球面坐标系 ；6一般坐标变换 ，其中Jacobi行列式；。几种曲线图形极坐标 表示半径为的圆； 表示心形线； 表示圆心在x轴上且直径为的圆；