工程力学(天津大学)第11章答案

1、第十一章梁弯曲时的变形第一章 梁弯曲时的变形习 题11-1用积分法求下列简支梁A、B截面的转角和跨中截面C点的挠度。EI A卜一|/2 十1/2MeMeEl BX第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形(b)习题11-1图解：（a）取坐标系如图所示弯矩方程为:挠曲线近似微分方程为:Ely积分一次和两次分别得：El y2x2 C ,(a)21Ely3x 亠Cx亠D61(b)边界条件为：x=0时，y=0, x=1时,y=0.MeEI Cy第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形代入（a）、（b）式，得：c =梁的转角和挠度方程式分别为:第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形1 M e

2、 2 (xEl21y (El归 x 3 -lx )61所以：9aM el6 ElM e-1, yc3 El（b）取坐标系如图所示。AC段弯矩方程为:ex11BC2M el16 ElMeAxEl1/2 十 1/2第十一章梁弯曲时的变形jx2 -Me1( x2 - 1 )2第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为:第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形AC段:El y1 =ElyBC段:Ely2l61ElyXi(a)21X2Ely6l亠CXi亠D(b)X2 - MHD(c )(d)边界条件为：X1=0时，y1=0, X2=l时，y2=0.变形连续条件

3、为:X1时,y1 = y2,y1 = y2代入（a）、（b）式、（c ）、（d）式,得:11 M2424I, D=0,梁的转角和挠度方程式分别为:AC段:(-X1El2l24y1X1lX 1)El6l24BC段:(-X21111 MEl2l24y2X2lxEl6l24所以:el24 El0Bl,24 Elyc解:11- 2用积分法求下列悬臂梁自由端截面的转角和挠度。11F 1Ell(a)El(b)习题11- 2图（a）取坐标系如图所示。弯矩方程为:(a)第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形挠曲线近似微分方程为：El y = ?x22积分一次和两次分别得：Ely * = q x3 C ,

4、(a)6q 4zi Elyx Cx D (b)24边界条件为：x=l时，y=0，y' = 0,代入(a)、(b)式，得：C = -qi 3,D =丄 ql 46梁的转角和挠度方程式分别为：1q 3q ,3x1q 4qy-(xl )， y(xEI66EI24634所以：9a 二-qlql-,y a6 EI8 EI314x ql )8（b）取坐标系如图所示。弯矩方程为：m 挠曲线近似微分方程为：El y ” = _M e 积分一次和两次分别得：EI厂=_MeX C(a)EIy =e 2x Cx D2(b)边界条件为：x=l时，y=0，y' = 0,代入（a）、（b）式，得：c =

5、m梁的转角和挠度方程式分别为:1(_MEIex M el)1 M y (- EIlxel所以：9aM elEI2EI第十一章梁弯曲时的变形11- 3 一悬臂梁在BC段受均布荷载作用，如图所示，试用积分法求梁自由 端截面C的转角和挠度。EIl/2y qF ir 1f 1+ x dBl/2C第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形习题11-3图第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形解：取坐标系如图所示AB段弯矩方程为:BC段弯矩方程为:qi32lMXiql(°< Xi)282ql32il 2MX2qlq(X2-)2822( x2 - 1 )2两段的挠曲线近似微分方程及其积

6、分分别为:AB 段: El yi1xi232ql8El yi =ql23 2(a)Xi+qlXiCi，48Ely i 二q3IXi+32ql2XiCi Xt D i(b)i2i6BC段:El :F / 2qlX 23 ql2 iq(xl2 )2822ql23 2il 3Ely2 =X+ql x2q(X2)-C24862ql332 2ilEly2 二-X+ ' 2ql x2q (x2 )i2i6242边界条件为:Xi=° 时,yi=°，yi' = °，1变形连续条件为:Xi :l=x 2 =时，yi=y 2,24C 2X2 D 2 (d)yi = y

7、2Ci2（C）代入（a）、（b）式、（c）、（d）式,得:梁的转角和挠度方程式分别为：AB段:yiU24El3 ql8Xi)yiiq3(1x iEli23 ql i6xi2 )BC段:, iy2 =Elqi2X2iq (X26iql 332il 4y2-XqlXq(X2)Eli2i64234所以：0c_ 7qlJyc4i ql,y C二 °48 El384 El11- 4 一外伸梁受均布荷载，如图所示，试用积分法求 A、B截面的转角以及C、D截面的挠度。习题ii - 4图第十一章梁弯曲时的变形解：取坐标系如图所示AB段弯矩方程为：3ql12Mx1qx 1(0 乞 x t 乞 21)4

8、2BC段弯矩方程为：3ql129Mx2qx 2ql (x2 -2l)(21 ： x2 "： 3l)424两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为:AB段:3qEI y ilx i4ei y；xi2qx： - Ci，8 6(a)Ely i3q 3 lx ；244qx ； C ； x；D ；24(b)BC段:Eg型x2 1qx2429ql g -2l)4El y23ql8263qx92-ql (X2 -21)- C 28(c)Ely 2ql3二一 x8 224qx29-ql (x224-2l) C 2 x2 - D 2(d)边界条件为：X1=0时，y1=0.变形连续条件为：X1 = x 2

9、 =21 时，y1 = y2 =0, y1 = y2代入(a)、(b)式、(c)、(d)式，得：C1 ql363qlC 2, D 1 = 0， D2=06梁的转角和挠度方程式分别为:AB段:y13qlxEl 8313、qx 1 ql ) 6y1El(-qlx24qx1BC段:y2Ely2El3qlql24qxqx所以:ql6 El一一 ql g=0,-2l)-qlql (x-2l)qlql8 Elql12 El191323x22613228246344第十一章梁弯曲时的变形11- 5用积分法求位移时，下列各梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程 式？试分别列出积分常数时所需的边界条件和变形连续条件

10、。q第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形(a)(b)习题11- 5图 解：(a)分三段。AB、BC、CD段位移分别为yi、y3。yi 二 y2 二 0,C点：3l D,门x2 =x3时，y3=y2=0,2则边界条件B点:X1 二 X22时变形连续条件为:x = x 2 时，y<!y22X_!= x2yiy2第十一章梁弯曲时的变形2M1 qx 22解：取坐标系如图所示。El y = -1 qlx2积分一次和两次分别得:(a)(b)分两段。AB、BC段位移分别为yi、y2。 则边界条件A点：xi =o时，yi =o.B 点：X2 =X3=I 时，yi = y2 =0,变形连续条件为：

11、xi =x2时,yi = y2 ,11- 6 一简支型钢梁承受荷载如图所示，已知所用型钢为i8号工字钢，E = 2i0GPa, M = 8.ikNm, q=i5kN/m，跨长I = 3.26m。试用积分法求此梁跨中 点C处的挠度。挠曲线近似微分方程为:1 2EI yqlx 3丄M Ely 二一qlx ' 12 2 M4第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形2 丄 qx 4 Cx D24(b)第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形边界条件为：x=O=l时，y=03代入（a）、（b）式，得：c =_, d224梁的挠度方程式为：El1【一123qlx 亠14124 qX ( 2

12、43 M exq 一 2 )x解:yC45ql2M el384 El8 El98210 10 1660 10 一-3二 3.2410(m)二 3 .24 mm5154103.26384328.1103.2611- 7 一简支梁受力如图所示，试用叠加法求跨中截面 C点的挠度。A1FEI,FC丨 a a一丿aB习题11- 7图当右边的F单独作用时，查表得:Fbx 222(l -b -x )Fa6lEI4a EI1 6a2311 Fa2 2-a -4a =12 EI由对称得:311 Fayc12 EI311 Fa6EI11- 8一简支梁承受均布荷载作用,并在 A支座处有一集中力偶作用，如图所示，已知

13、：M =2ql20试用叠加法求A、B截面的转角和跨中截面C的挠度。解：当q单独作用时,0Aq3ql2 4 EIBq当Mq单独作用时,0AMMl3EI0A 二 0AqAM3ql40 EI11-3ql2 4EIycq45ql384EI3ql60EI.0MlBq3qlMl 26EI120 EIy CM4ql16 EI320 EI0 B 二 0Bq0BM3ql30 EIyc419 qlCM1920 EI悬臂梁受力如图所示，试用叠加法求自由端截面的转角和挠度。71cFl/2EIl/2习题11 - 8图aPEIl/2习题11-9图第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形解:yB8 El所以:y c =

14、 yB4ql128 El4ql128 El6 El3ql1 + X2 48 El47ql11-10 外伸梁受力如图所示,已知：F = ql/6。3ql-48 El384 El , 0C0b3ql48 El试用叠加法求自由端截面的转角和挠度。El1/2习题11- 10图解：对AB段，看作在均布荷载和力偶Fl/2作用下的简支梁,则，0Bqql 3Ml2Flql 324El3El6 El36 El所以：0b = 0Bq - 03qlBM72 El将BC段看作悬臂梁,固定端处有转角0B,则3ElFl4ql24 El144 Elyc24ql144 El所以:=y C12El2丄旦2 8El3ql48 E

15、l3ql3ql3ql48 El72 El144 El11-11试用叠加法求下述悬臂梁自由端截面的挠度和转角。A习题11- 11 图El解：（a）当M单独作用时,CM2Ml3Fl2 El2 ElaJa*(b)0cmMl2FlElEl第十一章梁弯曲时的变形38416第十一章梁弯曲时的变形当F单独作用时,y bf3EIFl24 El9bf2 ElFl8EI所以:CFBF5 Fl48 El9cf= 9bfFl8 El则:=yCMFl5Fl29 FlCF2 El48 El48 El°CM' °CFFlFl9 FlEl8El8 El解:(b)当C点处的F单独作用时,Fa3El9

16、cFa2 El此时y bi二 yc9c2 a4 Fa3El9b二 9cFa2El当D点处的F单独作用时,3_ F(2a)-3 El38 Fa_ 3El9d2F (2a)22 Fa2 El-El3此时yB2 u 9d 年22 FaEl所以yB=y B1 - yB236 FaEl9b=9B19B 225 Fa2 El11- 12一工字钢的简支梁,梁上荷载如图所示,已知：I = 6m,M =4kN m,q = 3kN/m,1,工字钢为20a,钢材的弹性模量E = 200GPa,400试校核梁的刚度。y maxAMElMAqFf4H H| 1V J M I» BEl戈IJL l/2 l/2习

17、题11-13图习题11-12图45qlMl 2384El亠216 El200109237010T(353106322 4 10 4)= 0.01448 m =14 .48 mm1丄-414 l 400，所以刚度满足要求。38416第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形11- 13 一工字钢的简支梁，梁上荷载如图所示,已知:l=6m, F = 10kN，第十一章梁弯曲时的变形，弹性模量 E = 200GPa试f1q = 4kN/m ,二 ，材料许用应力:-=150 MPa l250选择工字钢的型号并校核梁的刚度2qi解：跨中最大弯矩为:Fl124648第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时

18、的变形max33310150610333= 0.1210 一 m 220 cm第十一章梁弯曲时的变形45ql取I 20a,则Fl 3y maxH384 EI 48 EIy max9820010237010 -1f252 .8 ' l 34一(5410610106 ) = 0.0237 m = 23.73mm38448二丘，所以刚度满足要求11- 14在下列梁中，指明哪些梁是超静定梁，并判定各种超静定梁的次数。(a)(b)Fq1(c)(d)q(e)第十一章梁弯曲时的变形习题11-14图解：（a） 2次；（b） 1次；（c） 2次；（d）1次；（e）静定结构；（f） 3次。11- 15试画

19、出下列各超静定梁的弯矩图。(b)I F第十一章梁弯曲时的变形解：（a）该梁为一次超静定梁，将B支座视为多余约束，解除该支座，并施 加多余约束反力Frb。根据该梁的变形条件，梁在B点的挠度应为零，即补充方 程式为：yB = °(a)由叠加法：yB 二 yBM yBF °式中：yBM为梁在力偶单独作用下引起的B点的挠度（图d），由表格11-1可查 得：2Ml2 EIyBF为梁在Frb单独作用下B点的挠度，同样由表格11-1可查得:23Frb1Frb1 216EI3EIyBM(b)y bf(c)第十一章梁弯曲时的变形3FrBIRB °3EI(d)由该式可解得：Frb =

20、 -3M2l将（b）、（c，两式代入式（a），得：Ml ：2EI第十一章梁弯曲时的变形则M图为：（b）该梁为一次超静定梁，将 B支座视为多余约束，解除该支座，并施加 多余约束反力Frb。根据该梁的变形条件，梁在 B点的挠度应为零，即补充方程 式为：yB 二 °由叠加法: 式中：yBF为梁在F单独作用下引起的B点的挠度，由表格11-1可查得:yB =yBFy RB(a)323F (2a ) F ( 2a )14 FayBF 二 yc 亠 Bea 二EI2EI3EIyRB为梁在Frb单独作用下B点的挠度，同样由表格11 - 1可查得：3F RB / ° 39 F RB ay R

21、B( 3a )3EIEI将(b)、(c)两式代入式(a),得：14 Fa 39 Frb由该式可解得:14 F27(b)(c)(d)3EIEI第十一章梁弯曲时的变形则M图为：(c) 该梁为一次超静定梁，将B支座视为多余约束，解除该支座，并施加多 余约束反力Frb。根据该梁的变形条件，梁在B点的挠度应为零，即补充方程式 为：由叠加法:yB 二 yBF式中：yBF为梁在F单独作用下引起的2 2Fbx ( l by BF-yRB =oB点的挠度，由表格11 - 1可查得:23-x )11 Fa6lEI12 EIyRB为梁在Frb单独作用下B点的挠度，同样由表格11 - 1可查得:Frb3yRB；TET

22、( )将(b)、(c)两式代入式(a)，得：364 F RB a48 EI由该式可解得:3311 Fa 64 F rb a12EI 一 48 EI=0(a)(b)(c)(d)11 F16则M图为：(d) 该梁为三次超静定梁，将 A支座化为固定铰支座，解除该支座的转动 约束，并施加多余约束反力 Ma。将B支座化为可动铰支座，解除该支座的转动 约束和水平约束，并施加多余约束反力 Mb和水平力Hb，由于水平支反力对位移 的影响可忽略不计，所以先不考虑 Hb,根据该梁的变形条件，梁在 A点和B点 的转角应为零，即补充方程式为：Ba = ° Bb = °由叠加法：B A 二 BAF

23、BAMABAMB =°， BB B B F BBMA B BMB °，(a) 式中：Bf和Bf为梁在F单独作用下引起的A点和B点的转角，由表格11 - 1 可查得：第十一章梁弯曲时的变形0AFOama得:2222F ( 2a ) FaF ( 2a )Fa,B B F ,16 EI 4 EI16 EI4EIGBma为梁在Ma单独作用下A点和B点的转角，同样由表格(b)11-1可查0AMAM A2 M A a荷(2a'EET0BMA(2a6EI3EIOamb得:GBmb为梁在Mb单独作用下A点和B点的转角，同样由表格c)11-1可查0AMBM bM b a荷(2a)F0

24、BMA(2a3EI3EI(d)将(b)、(c) (d)式代入式(a)，得：2M A a2Fa 2 M A a M b a 0 4 3EI 3EI2FaM A a2 M b a0 43EI 3EI由上式可解得：MFaAFa8第十一章梁弯曲时的变形8第十一章梁弯曲时的变形则M图如下：(e)该梁为一次超静定梁,(a)yRB为梁在Frb单独作用下B点的挠度，同样由表格11 - 1可查得:Sa)33EI将(b)、(c)两式代入式(a)，得：8Fy RB8 F rb a3EI(c)3Ba6EI3EI34 qa=0(d)将 B支座视为多余约束，解除该支座，并施加 多余约束反力Frb。根据该梁的变形条件，梁在

25、 B点的挠度应为零，即补充方程 式为：由叠加法:yB 二 yBq yRB 0式中：yBq为梁在q单独作用下引起的B点的挠度，由表格11 - 1可查得：22224qx ( X +61-4 lx ) q( 2a ) J 、2 一、2 34 qayBq(2a)6(3a)-4 3a 2a24 EI24 EI6EI(b)8第十一章梁弯曲时的变形8第十一章梁弯曲时的变形由该式可解得：Frb二17阻 则M图为:11- 16 一集中力F作用在梁AB和CD连接处，试绘出二梁的弯矩图 知：El1=0.8El2。8第十一章梁弯曲时的变形习题11- 16图解：该梁为一次超静定梁，AC和CD梁的受力图如图所示，其中Fc

26、为未知力变形条件为：二梁在自由端处挠度相等，即：Vba =ycD由表格11- 1可查得:y BAF - Fc3EI 13(2a)38( F Fc )a-30.8EI 2第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形y CD3EI 2Fc代入上式解得：10 F Fc11则弯矩图为：11-仃 在下列结构中，已知横梁的弯曲刚度均为 EI，竖杆的拉伸刚度均为 EA,试求图示荷载作用下各竖杆内力。却丨 U * it * * * J卜 °l/2第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形(b)习题11 - 17图(a)解：（a）该结构为一次超静定结构，将BC杆的拉力Fbc看作多余约束，变形方程为：

27、y BA 二 yBC式中yBA为梁AB在q和拉力Fbc共同作用下，B端的挠度。yBC为拉杆BC的伸长 量。y BA二 yq + y FBCq8EI34 F bc l一 3EIy BCBCEA代入（a）式得:F BC43Aql38( Al - 3aI )(a)（b）该结构为一次超静定结构，将EC杆的拉力Fec看作多余约束，变形方程为:ycE八c式中yc为梁AB在q和拉力Fec共同作用下，C点的挠度。ycE为拉杆EC的伸长 量。代入（a）式得：35q4 F ec lyc - yq+ yfeclq384 EI48 EIFec 仏=EA a4F5AqlF EC324( Al +16 aI )11- 18梁AB因强度、冈H度不够，用同一材料和同样截面的短梁AC加固,试求：二梁接触处的压力Frc。加固前后梁AB的最大弯矩和B点的挠度各减少多少?A-1/2- 一 l/2 -第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形习题11-18图(a)解: AB杆和AC杆的受力情况如图所示。二梁在 C点