微分方程与差分方程详解与例题

1、第七章 常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分

2、方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的简单应用。【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些

3、自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。【考点分析】本章包括三个重点内容：1常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。2微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。3数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。【考

4、点八十三】形如的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当，然后左、右两端积分上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C为任意常数，的一个原函数，表示函数的一个原函数.【例7.1】微分方程的通解为_。【详解】， .两边积分得， 即 ， ，C为任意常数。【例7.2】微分方程，当时，的特解为_。【详解】分离变量得 ，.积分得，即.令，则， 所求特解为 .【例7.3】若连续函数满足关系式，则等于（ ）（A）（B）（C）（D）【详解】对所给关系式两边关于求导，得，且有初始条件. 于是，积分得，故 令应选（B）。【例7.4】已知曲线处的切线斜率为则.【详解】 将【例7.5】

5、一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时？【详解】半径为的球体体积为，表面积为，而雪堆为半球体状，故设雪堆在时刻的底面半径为r，于是雪堆在时刻的体积，侧面积。其中体积，半径与侧面积S均为时间的函数。由题意，有. 。即， ，又时，, ，即 .而，即 .，。当雪堆全部融化时，令 ，得（小时）。【例7.6】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为，在时刻已掌握新技术的人数为，在任意时刻已掌握新技术的人数为（将视为连续可微变

6、量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数，求。【详解】首先要根据题中所给条件，建立的微分方程。由于题中条件很明确，即：的变化率与成正比，容易得出的微分方程，再求出特解即得。由已知得 , 分离变量，得 .积分得即 , . , 又代入得，故 。【考点八十四】形如的微分方程称为齐次方程。其解法是固定的：令，则，代入得 .分离变量，得 。两端积分，得，求出积分后，将换成，即得齐次方程的通解。【例7.7】求初值问题的解。【详解】故此方程为齐次方程，其解法是固定的。令，故，积分得 代入，得 即，由已知，代入得 ， 所求初值问题的解为 ，化简得 .【例7.8】设函数在上连续。若

7、由曲线，直线与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为 试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解。【详解】由旋转体体积计算公式得于是，依题意得 .两边对t求导得 将上式改写为 ，即 令，则有 当时，由. 两边积分得.从而方程的通解为为任意常数）。由已知条件，求得从而所求的解为或【例7.9】求微分方程的通解.【详解】将微分方程进行恒等变形，化为 设，有，则 .积分得 【考点八十五】1. 形如的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程，其通解公式为： .【评注】由于一阶微分方程的通解只包含一个任意常数c,因此通解公式中的积分，只表示其中一个任意的原函数，不含任意常数c。2. 求通解可

8、以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推导公式的方法求解。3. 通解公式的记忆方法：一阶线性非齐次微分方程等价于即两边积分得即 【例7.10】微分方程满足的解为.【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式：，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为，于是通解为 =，由得C=0，故所求解为【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为，即 ，两边积分得，再代入初始条件即可得所求解为【例7.11】设求此微分方程满足条件的特解。【详解】先求,是方程的解，代入方程得解出，即 这是一阶线性非齐次微分方程，而：对应地，又由，得，即，。【

9、例7.12】设为连续函数，（1）求初值问题的解，其中是正常数；（2）若（为常数）。证明：当时，有【详解】原方程的通解为由于在本题中未给出函数的具体表达式，在上式中想利用初始条件来确定常数C很困难。而通解中的式子实为的一个原函数，因此改写为，于是通解为。令，由，得即.故所求的解是。（2）由题设及知，当时，【例7.13】设有微分方程，其中 试求在内的连续函数，使之在和内都满足所给方程，且满足条件。【详解】线性方程中的非齐次项有间断点。在点处无定义，且为的第一类间断点中的跳跃间断点。当及时均可求出方程的解，二者相等。又因为是连续函数，故，从而可以确定中的任意常数，得到解。当时方程为，其通解是。将初始

10、条件代入通解中，得到得特解 .又当时方程为，即，两端积分得 ，即 .因为是连续函数，所以有 ，.故当时，特解为。补充在处的函数值，则得到在上的连续函数，即所求解为 .【例7.14】设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件：，且f(0)=0, (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】 (1) 由= =(2-2F(x),可见F(x)所满足的一阶微分方程为(2) =将F(0

11、)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=-1.于是【例7.15】f (u , v)具有连续偏导数，且满足.求所满足的一阶微分方程，并求其通解.【分析】本题综合了复合函数求偏导数与微分方程。先求，利用已知关系，可得到关于y的一阶微分方程.【详解】因为，所以，所求的一阶微分方程为.解得 (C为任意常数).【例7.16】设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足方程。【详解】代入原方程，得。特征方程为，特征根为r=1,-1, 故【例7.17】设f(x)是可微函数且对任何x,y 恒有 又，求f(x)所满足的一阶微分方程，并求f(x)【详解】 令x=y=0,得f(0)=2f(0)， 故

12、f(0)=0。在方程两边对y求偏导数，有 。令y=0，得 。于是求f(x)，归法为求解下列初值问题：解得= 。由f(0)=0，得C=0，故 。【例7.18】求的通解。【详解】化为标准型：，对比公式：，通解为得新公式：，通解为而本题：,，,通解为，即【例7.19】设连续，求解方程 .【详解】因为原方程中，均可导，故可导。对方程两边同时求导，将积分方程转化为微分方程：，即 .根据一阶线性微分方程通解公式，得又 , 当时， .代入得 . 【例7.20】设函数在区间上连续，且满足方程，且，求。【详解】当时，由已知条件，即. 两边对求导得, 即 .这是一阶线性微分方程，代入通解公式，得 .令，得，故。【

13、例7.21】过点且满足关系式的曲线方程为.【详解】方程化为设于是 通解由【例7.22】求微分方程，使得由曲线轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积最小。【详解】题设方程可化为利用求解公式，得通解旋转体体积由解得由于故为惟一极小值点，也是最小值点，于是得【考点八十六】可降阶的高阶微分方程：1.大纲要求：会用降阶法解下列高阶微分方程：；（缺）；（缺）。2方程：直接求次积分，即可求解。3方程：这类方程的特点是不显含未知函数。令，则化为关于的一阶微分方程，然后再用解一阶微分方程的解法解之。4方程：这类方程的特点是不显含自变量。令，则 .因而原方程化为关于的一阶微分方程： .【例7.23】求初值问题

14、的解。【详解】方程不显含，令，。代入原方程得，即。分离变量，得。两边积分，得，由初始条件：时，故， .，（不合题意舍去）.，即.两边积分得，再由，得.所求特解为，即.【例7.24】微分方程的通解为_。【详解】设，则 .方程化为 。分离变量，得 。两端积分，得，即， .积分得 . 因此应填 .【例7.25】设对任意，曲线上点处的切线在轴上的截距等于，求的一般表达式。【详解】曲线在点处的切线为。令，得切线在轴上的截距为。由已知 ，即。两端对求导，得 。令，则。代入得，分离变量，得 。 即 。积分得。【例7.26】求微分方程满足条件，的特解。【详解】设，于是 . 代入原方程，得，即. 。这是关于和的

15、一阶线性方程，其通解为.解出，则或（不合题意舍去）。又， ，即 ，分离变量，得. 两边积分得，代入，得. .【例7.27】函数且满足等式（1）求导数；（2）证明：当【详解】（1）原方程两边乘后再求导，得设则方程化为，故 ，.由及，知，从而，故.（2）对两端积分，得，即 当于是，所以 【考点八十七】二阶常系数齐次线性微分方程:1标准形式：，均为常数。2通解公式：特征方程为；若特征方程有互异实根，则通解为；若特征方程有相等实根，则通解为；若特征根为共轭复根（为常数，），则通解为【例7.28】求下列微分方程的特解：，当时，。【详解】对应的特征方程为 ，有二重特征实根. 所以微分方程的通解为。求导得 .由已知，当时，。代入得， 即 ，故所求特解为。【例7.29】设二阶线性常系数齐次