数学中考新定义运算解题方法及举例

1、新定义运算、新概念问题一、中考专题诠释所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力.二、解题策略和解法精讲解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”； 归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类

2、讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题.25.（本题12分）如图1，点P为MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果APB绕点P旋转时始终满足，我们就把APB叫做MON的智慧角。（1）如图2，已知MON=90°，点P为MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且APB=135°。求证：APB是MON的智慧角；（2）如图1，已知MON=（0°<<90°），OP=2，若APB是MON的智慧角，连结AB，用含的式子分别表示APB的度数和AOB的面积；（3）

3、如图3，C是函数图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交轴和轴于点A，B两点，且满足BC=2CA，请求出AOB的智慧角APB的顶点P的坐标。21教育网2-1-c-n-j-y【答案】解：（1）证明：MON=90°，点P为MON的平分线上一点，.，.，.，即.APB是MON的智慧角.（2）APB是MON的智慧角，即.点P为MON的平分线上一点，.如答图1，过点A作AHOB于点H，.，.（3）设点，则.如答图，过C点作CHOA于点H.i）当点B在轴的正半轴时，如答图2，当点A在轴的负半轴时，不可能.如答图3，当点A在轴的正半轴时，.，.APB是AOB的智慧角，.AOB=90°，O

4、P平分AOB，点P的坐标为.ii）当点B在轴的负半轴时，如答图4，.AOB=AHC=90°，BAO=CAH，.APB是AOB的智慧角，.AOB=90°，OP平分AOB，点P的坐标为.综上所述，点P的坐标为或.【考点】新定义和阅读理解型问题；单动点和旋转问题；相似三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想的应用.【分析】（1）通过证明，即可得到，从而证得APB是MON的智慧角.（2）根据得出结果.（3）分点B在轴的正半轴，点B在轴的负半轴两种情况讨论.2.平面上有两条直线AB、CD相交于点O，且BOD=150°（如图

5、），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：（1）点O的“距离坐标”为（0，0）；（2）在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距离为q（q0）的点的“距离坐标”为（0，q）；（3）到直线AB、CD的距离分别为p，q（p0，q0）的点的“距离坐标”为（p，q）设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：（1）画出图形（保留画图痕迹）：满足m=1，且n=0的点M的集合；满足m=n的点M的集合；（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式（说明：图中OI长

6、为一个单位长）思路分析：（1）以O为圆心，以2为半径作圆，交CD于两点，则此两点为所求；分别作BOC和BOD的角平分线并且反向延长，即可求出答案；（2）过M作MNAB于N，根据已知得出OM=n，MN=m，求出NOM=60°，根据锐角三角函数得出sin60°=，求出即可解：（1）如图所示：点M1和M2为所求；如图所示：直线MN和直线EF（O除外）为所求；（2）如图：过M作MNAB于N，M的“距离坐标”为（m，n），OM=n，MN=m，BOD=150°，直线lCD，MON=150°-90°=60°，在RtMON中，sin60°=

7、，即m与n所满足的关系式是：m=n点评：本题考查了锐角三角函数值，角平分线性质，含30度角的直角三角形的应用，主要考查学生的动手操作能力和计算能力，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等3.概念：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点（1）根据上述概念，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是 2；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为 ； （2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，

8、求d关于m的函数解析式（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；点D的坐标为（0，2），m0，n0，作MNx轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由15解：（1）当m=2，n=2时，如题图1，线段BC与线段OA的距离等于平行线之间的距离，即为2；当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，如答图1，过点B作BNx轴于点N，则AN=1，BN=2，在RtABN中，由勾股定理得：AB=（2）如答图2所示，当点

9、B落在A上时，m的取值范围为2m6： 当4m6，显然线段BC与线段OA的距离等于A半径，即d=2；当2m4时，作BNx轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，ON=m，AN=OA-ON=4-m，在RtABN中，由勾股定理得：d=（3）依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，其周长为：2×8+2××2=16+4，点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4 结论：存在m0，n0，点M位于第一象限A（4，0），D（0，2），OA=2OD如图4所示，相似三角形有三种

10、情形：（I）AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA-OH1=2-m，由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2-m），m=1；（II）AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2-OA=m-2， 由相似关系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m-2），m=3；（III）AM3H3，此时点B落在A上如图，OH3=m+2，AH3=OH3-OA=m-2，过点B作BNx轴于点N，则BN=M3H3=n，AN=m-4，由相似关系可知，AH3=2M3H3，即m-2=2n  （1）在Rt

11、ABN中，由勾股定理得：22=（m-4）2+n2  （2）由（1）、（2）式解得：m1=，m2=2，当m=2时，点M与点A横坐标相同，点H与点A重合，故舍去，m=综上所述，存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与AOD相似，m的取值为：1、3或4.25阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=x+4问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部（1）直接写出点D（m

12、，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将OAP沿着OP折叠，点A落在点A的位置，当点A在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？【分析】（1）根据特征线直接求出点D的特征线；（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可【解答】解：（1）点D（m，n），点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+nm，y=x+m+n；（2）点D有一条特征线是y=x+1，nm=1，n=

13、m+1抛物线解析式为，y=（xm）2+m+1，四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），B（2m，2m），（2mm）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；D（2，3），抛物线解析式为y=（x2）2+3（3）如图，当点A在平行于y轴的D点的特征线时，根据题意可得，D（2，3），OA=OA=4，OM=2，AOM=60°，AOP=AOP=30°，MN=，抛物线需要向下平移的距离=3=乳头，当点A在平行于x轴的D点的特征线时，顶点落在OP上，A与D重合，A（2，3），设P（4，c）（c0），由折叠有，PD=PA，=c，c=，P（4，）直线OP解析式为

14、y=，N（2，），抛物线需要向下平移的距离=3=，即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，特征线的理解，解本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标27（9分）如图，P为ABC内一点，连接PA、PB、PC，在PAB、PBC和PAC中，如果存在一个三角形与ABC相似，那么就称P为ABC的自相似点如图，已知RtABC中，ACB=90°，ACBA，CD是AB上的中线，过点B作BECD，垂足为E，试说明E是ABC的自相似点在ABC中，ABC如图，利用尺规作出ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；若ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数BBBCCCAAADPE(第27题)27. 解在Rt ABC中，ACB90°，CD是AB上的中线，C