微分在近似计算中的应用教案

1、微分在近似计算中的应用教学目的：1、理解微分的几何意义 2、掌握微分在近似计算的应用 3、掌握微分在误差估算的应用教学重点：1、微分在近似计算的应用 2、微分在误差估算的应用教学难点：1、微分在近似计算的应用 2、微分在误差估算的应用教学过程：1、回顾函数微分内容，微分的概念，定义，以及微分的运算 2、导入新课 3、讲授新课 （1）1、理解微分的几何意义 （2）微分在近似计算的应用 （3）微分在误差估算的应用 4、例题分析 5、课堂小结 6、布置作业微分在近似计算中的应用在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算是很费力的，利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简

2、单的近似公式来代替。1函数增量的近似计算如果在点可微,则函数的增量 ,当很小时,有 例1 半径10厘米的金属原片加热后半径伸长了0.05厘米，问面积增大了多少？解：设，厘米，厘米，则（）例2 有一批半径为1cm的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0.01cm，估计一下每只球需用铜多少g(铜的密度是8.9g/cm 3)?解: 先求出镀层的体积，再求相应的质量。因为镀层的体积等于两个球体体积之差，所以它就是球体体积 当自取得增量时的增量，我们求对的导数:将带入上式，得 于是镀每只球需用的铜约为2函数值的近似计算由，得,令, 有 （用导数作近似计算公式）.若，则 说明：（1）要计

3、算在点的数值，直接计算比较困难，而在点附近一点处的函数值和它的导数却都比较容易求出,于是可以利用作为的近似值, 与越接近越精确。（2）常用的近似公式（假定|x|是较小的数值）: ; , ( x用弧度作单位来表达); ( x用弧度作单位来表达); 证明： 取, 则，, 代入，便得 . 取，则，代入，便得 如：（1）（直接开方的结果是.）（2）（3）（4）（5）例3 计算的近似值。解：设,则，由，取，得.例4 计算的近似值。解：令，3误差估计 在生产实践中, 经常要测量各种数据，但是有的数据不易直接测量, 这时我们就通过测量其它有关数据后, 根据某种公式算出所要的数据。由于测量仪器的精度、测量的条

4、件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差。 下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差。（1）绝对误差：如果某个量的精确值为，它的近似值为,那么叫做的绝对误差。（2）相对误差：绝对误差与的比值叫做的相对误差。 在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的，于是绝对误差和相对误差也就无法求得。但是根据测量仪器的精度等因素，有时能确定误差在某一个范围内。如果某个量的精确值为，测得它的近似值为,又知道它的误差不超过，则（3）绝对误差限:若，则称为测量的绝对误差限。（4）相对误差限: 为测量的相对误差限。一般地，根据直接

5、测量的值按公式计算值时，如果已知测量的绝对误差限是，即，则当时，的绝对误差即的绝对误差限约为，的相对误差限约为.以后常把绝对误差限和相对误差限简称为绝对误差和相对误差。例如.要求得圆的面积S,只能测出其直径d,后由Sf(d)算出面积S.由于测量得到的直径d有绝对误差,于是由此计算出面积S也相应地有绝对误差.在近似计算中知道,当很小时,（=）.于是可用算出S的绝对误差,对于圆面积Sf(d)有,所以有（绝对误差）； （相对误差）进一步,若已知时,则得绝对误差限和相对误差限分布为：；一般地,若x是由测量得到的,量y是由函数yf(x)计算得到的,在测量时,x的近似值为,.若已知测量值的误差限为,即,当很小时,；1.要给一个半径为的球表面涂上油漆,油漆的厚度为,试计算这层油漆的体积。解：2.设测得圆钢截面的直径，测量的绝对误差限欲用公式计算圆钢截面积，试估计面积的误差。解：的绝对误差限约为的相对误差限约为3.设测得一球体的直径为42cm，测量工具的精度为0.05 cm，试求以此直径计算球体体积时所引起的误差。解：由直径计算球体体积的函数式是 .取,求得，则球体体积的绝对误差限为 相对误差限为.4.设钟摆的周期是1 s，在冬季摆长至多缩短0.01 cm，试问此钟每天至多快几秒？解：由物理学知道，单摆周期