数二基本知识点

1、数二基本知识点Deran Pan1目录第一章极限4一、定理4二、重要极限4三、等价无穷小4六、积分和求极限4四、佩亚诺余项泰勒展开4第二章一元函数微分5一、函数微分5二、微分运算法则5三、基本微分公式5四、变限积分求导5五、N阶导数5六、参数方程导数5七、隐函数求导法则，幂指函数求导法则5八、反函数的一阶、二阶求导5九、单调、极值、凹凸、拐点5十、渐近线5十一、曲率6十三、泰勒定理6十四、极限与无穷小的关系6十五、附6第三章一元函数积分7一、定理7二、基本积分公式7三、基本积分方法7四、一个重要的反常积分7五、定积分的应用7第四章多元函数微分8一、如果limxx0yy0fx,y存在，则fx,y

2、在该点连续8二、求重极限方法8三、可微性讨论8四、复合函数微分8五、高阶偏导8六、隐函数求导8七、二元函数极值的充分条件8八、条件极值、拉格朗日乘数法8九、二重积分8十、柯西积分不等式10第五章常微分方程11一、一阶微分方程11二、可降阶的高阶微分方程11三、高阶常系数微分方程11第一章行列式12一、余子式&代数余子式12二、几个重要公式12三、抽象n阶方阵行列式公式12第二章矩阵12一、运算规则12二、特殊矩阵12三、可逆矩阵12四、秩13第三章向量13一、线性表出、线性相关、极大线性无关组13二、施密特正交化13三、正交矩阵13第四章线性方程组14一、克拉默法则14二、齐次线性方程

3、组、基础解系14三、非齐次线性方程组、通解结构14第五章特征值、特征向量、相似矩阵14一、特征值、特征向量14二、相似矩阵14三、实对称矩阵15四、矩阵、特征值、特征向量15五、判断A是否相似于对角15第六章二次型15一、二次型15二、标准型15三、规范型15四、化二次型为标准型，规范型15五、合同16六、惯性定理16七、实对称矩阵A、B合同的充要条件16八、正定16九、正定阵性质16后记17第一章 极限一、 定理夹逼定理，单调有界定理二、 重要极限1.limx0sinxx=12.limx01+x1x=e3.limnnn=14.limx0+xIn xk=05.limxxke-x=1三、 等价无

4、穷小当 x0时：1、 sinxx、2、 tanxx、3、 1-cosx12x24、 ex-1x5、 In 1+xx6、 1+x-1x7、 arcsinxx8、 arctanxx9、 x-1xIn10、 xm+xkxm，(k>m>0)一、二、三、四、五、 洛必达法则六、 积分和求极限limnun=limn1ni=1nfin=01fxdx一、二、三、四、 佩亚诺余项泰勒展开1、 ex=1+x+12!x2+1n!xn+Oxn2、 sinx=x-13!x3+-1n2n+1!x2n+1+Ox2n+23、 cosx=1-12!x2+-1n2n!x2n+Ox2n+14、 In 1+x=x-x22

5、+x33+-1n-1xnn+Oxn5、 1+xm=1+mx+mm-12!x2+m×m-1××m-n+1n!xn+Oxn第二章 一元函数微分一、 函数微分dy=Ax+ox=Adx+ox二、 微分运算法则1、 u±v'=u'±v'2、 uv'=u'v+uv'3、 Cu'=Cu'4、 uv'=u'v-uv'v2三、 基本微分公式1、 C'=02、 x'=x-13、 x'=xIn4、 ex'=ex5、 logx'=1xIna6

6、、 cosx'=-sinx7、 sinx'=cosx8、 cotx'=-cscx29、 tanx'=secx210、 secx'=secxtanx11、 cscx'=-cscxcotx12、 arcsinx'=11-x213、 arccosx'=-11-x214、 arctanx'=11+x215、 arccotx'=-11+x2四、 变限积分求导1x2xftdt' =f2x2'x-f1x1'x五、 N阶导数1、 u±vn=un±vn2、 uvn=unv+Cn1un-1v

7、1+Cnkun-kvk+uvn六、 参数方程导数yx'=yt'xt'yxx''=yx't'xt'=xt'ytt''-xtt''yt'xt'3七、 隐函数求导法则，幂指函数求导法则八、 反函数的一阶、二阶求导dxdy=1dydx=1f'x''y=-f''xf'x3九、 单调、极值、凹凸、拐点十、 渐近线水平渐近线：limxfx=b铅直渐近线：limxx0fx=b斜渐近线：limxx0fxx=a，limxx0fx-ax=b十一、 曲

8、率k=|y''|1+y'232R=1k=1+y'232|y''|十二、 定理费马定理（驻点）、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。十三、 泰勒定理fx=fx0+f'x01!x-x0+f''x02!x-x02+fnx0n!x-x0n+Rnx十四、 极限与无穷小的关系limxx0fx=Afx=A+x，其中limxx0x=0十五、 附麦克劳林公式：fx=f0+f'01!x+f''02!x2+fn0n!xn+Rnxx0=0泰勒公式：fx=fx0+f'x01!x-x0+f''x0

9、2!x-x02+fnx0n!x-x0n+Rnxn=0拉格朗日余项：Rnx=fn+1n+1!x-x0n+1fx=fx0+f'1x-x0fx-fx0=f'x-x0拉格朗日中值定理n=1佩亚诺余项：Rn=Ox-x0nfx=fx0+f'x01x-x0+Ox-x0fx-fx0=f'x0x-x0+Ox-x0y=f'x0x+Ox-x0增量与微分的关系式第三章 一元函数积分一、 定理1、 定积分存在定理2、 原函数存在定理3、 积分中值定理abfxdx=f'b-a二、 基本积分公式1、 xdx=1+1x+1+C2、 1xdx=Inx+C3、 xdx=xIn+C4

10、、 exdx=ex+C5、 sinxdx=-cosx+C6、 cosx dx=sinx+C7、 tanxdx=-Incosx+C8、 cotxdx=Insinx+C9、 secxdx=Insecx+tanx+C10、 cscxdx=Incscx-cotx+C11、 sec2xdx=tanx+C12、 csc2xdx=-cotx+C13、 12+x2dx=1arctanx+C14、 12-x2dx=12In+x-x+C15、 12-x2dx=arcsinx+C16、 1x2±2dx=Inx+x2±2+C三、 基本积分方法1、 凑微分法2、 换元积分法a) 含a2-x2，命x=

11、asintb) 含x2+a2，命x=atantc) 含x2-a2，命x=asect3、 部分积分法4、 利用被积函数的奇偶性5、 拆项积分四、 一个重要的反常积分-+e-x2dx=20+e-x2dx=五、 定积分的应用1、 平面图形的面积A=aby2x-y1xdxA=cdx2x-x1xdyA=122d2、 平面曲线的弧长S=abx't2+y't2dtS=ab1+y'x2dxS=2+'2d3、 旋转体体积V=aby2xdxV=aby22x-y12xdxV=2abxy2x-y1xdx4、 旋转曲面面积S=2ab|y|1+f2xdxS=2ab|yt|x't2+

12、y't2dt第四章 多元函数微分一、 如果limxx0yy0fx,y存在，则fx,y在该点连续二、 求重极限方法1、 利用极限性质、四则运算、夹逼准则等2、 消除分母中为零的因子，有理化、等价无穷小等3、 转化为一元函数求极限4、 利用无穷小乘以有节量仍为无穷小三、 可微性讨论1、 可微a) 考察fx'x0,y0和fy'x0,y0是否都存在。b) 考察limx0y0fx0+x,y0+y-fx0,y0-fx'x0,y0x+fy'x0,y0yx2+y2=0是否成立。2、 可微的必要条件：可微必可导，不可导一定不可微。3、 可微的充分条件：有连续一阶偏导函数一

13、定可微。四、 复合函数微分1、 一元与多元复合dzdt=dzdududt+dzdvdvdt2、 多元与多元复合zx=zuux+zvvx、zy=zuuy+zvvy3、 全微分形式不变dz=zxdx+zydy =zudu+zvdv五、 高阶偏导2zx2=xzx=fxx''x,y2zxy=yzx=fxy''x,y2zyx=xzy=fyx''x,y2zy2=yzy=fyy''x,yfxy''x,y 与 fyx''x,y 相等，次序无关六、 隐函数求导1、 利用公式a) 一元：dydx=-Fx'Fy&

14、#39;b) 二元：zx=-Fx'Fz'、zy=-Fy'Fz'2、 方程组两端分别求导3、 利用微分形式不变，方程两端求微分七、 二元函数极值的充分条件若 fx'x0,y0=0 以及 fy'x0,y0=0设 A=fxx''x0,y0、B=fxy''x0,y0、C=fyy''x0,y0则：AC-B2>0，取的极值，A>0为极小值，A<0为极大值AC-B2<0，无极值AC-B2=0，不能确定八、 条件极值、拉格朗日乘数法1、 构造拉格朗日函数Fx,y,=fx,y+x,y2、 解方

15、程组Fx=fx+x=0Fy=fy+y=0F=x,y=0所有满足解的点是可能的极值点九、 二重积分1、 性质a) 比较定理b) 估值定理c) 中值定理2、 计算a) 直角坐标系下的计算i. 适合先y后x的积分域D fx,yd=abdx1x2xfx,ydyii. 适合先x后y的积分域D fx,yd=abdy1y2yfx,ydxb) 极坐标下的计算i. 极点O在区域D之外D fx,yd=d12fcos,sindii. 极点O在区域D的边界上D fx,yd=d0fcos,sindiii. 极点O在区域D的内部D fx,yd=02d0fcos,sindiv. 环形域D fx,yd=02d12fcos,s

16、ind3、 利用对称性和奇偶性a) 对称性i. 若积分域关于x或y对称ii. 若积分关于直线x=y对称，则fx,yd=fy,xd十、 柯西积分不等式f(x)gxdx2f2xdx+g2xdx第五章 常微分方程一、 一阶微分方程1、 可分离变量方程2、 齐次方程dydx=fyx，令u=yx，则y=uxdydx=u+xdudx 3、 线性方程y'=Pxy=Qx y=e-PxdxQ(x)ePxdxdx+C 二、 可降阶的高阶微分方程1、 反复积分，y(n)=f(x)2、 不是含有y的二阶微分方程y''=fy',x，令P=y'则：y''=dPdx，

17、dPdx=f(P,x)3、 不是含有x的二阶微分方程y''=f(y',y)，令P=y'则：y''=dPdx=dPdydydx=y'dPdy=PdPdy三、 高阶常系数微分方程1、 齐次方程：+py'+qy=0a) 解特征值：1、2 。2+p+q=0i. 有不相同的两个实根：y=C1e1x+C2e2xii. 有一对相等的实根：y=C1+C2xexiii. 有一对共轭复根±i：y=exC1cosx+C2sinx2、 非齐次方程：y''+py'+qy=f(x)a) 通解形式为y=Y(x)齐次解+y*特解

18、i. 若fx=exQmx，则设y*=xkexPmx。k为特征值的重数ii. 若fx=exQlxcosx +Qnxsinx，则设y*=xkexPlxcosx +Pnxsinxk为特征值±i的重数第一章 行列式一、 余子式&代数余子式二、 几个重要公式1、 上（下）三角形行列式AA=a11a22ann2、 副对角线行列式AA=-1nn-12a1na2n-1an13、 A、B分别是m阶，n阶矩阵A*OB=AO*B=|A|B|OAB*=*ABO=-1mn|A|B|4、 范德蒙行列式11 x1 x1 1 x1xnn-1xnn-1xnn-1xnn-1=1j<inxi-xj三、 抽象

19、n阶方阵行列式公式1、 AT=|A|2、 kA=kn|A|3、 AB=AB，A2=A24、 A*=An-15、 A-1=A-16、 A=i=1ni7、 若AB，A=B第二章 矩阵一、 运算规则1、 加法2、 数乘3、 乘法4、 转置A+BT=AT+BTkAT=kATABT=BTATATT=A5、 伴随矩阵AA*=A*A=EA*-1=A-1*=1|A|AA*T=AT*kA*=kn-1A*A*=An-1A*=An-2A6、 方阵的幂Akl=AklAkAl=Ak+l二、 特殊矩阵单位阵数量阵对角阵上下三角阵对称阵发对称阵正交阵初等矩阵伴随矩阵三、 可逆矩阵1、 运算性质kA-1=1kA-1AB-1=

20、B-1A-1，A2-1=A-12AT-1=A-1TA-1-1=AA-1=1A2、 求逆矩阵a) 公式法：A-1=1AA*b) 初等变换：AE=EA-1c) 分块矩阵：BOOC-1=B-1OOC-1OBCO-1=OC-1B-1O四、 秩1、 rA=rAT2、 rkA=rA3、 rA+BrA+rB4、 rABminrA，rB5、 若A可逆，rAB=rB=rBA6、 若A是m×n阵，B是n×s阵，AB=O，则rA+rBn7、 分块矩阵：rAOOB=rA+rB第三章 向量一、 线性表出、线性相关、极大线性无关组二、 施密特正交化1=12=2-2,11,113=3-3,22,22-3

21、,11,111=11、2=22、3=331，2，3则是正交规范向量组三、 正交矩阵1、 AAT=ATA=E2、 A是正交矩阵AT=A-1 A行（列）向量是正交规范向量组3、 如A是正交矩阵，则行列式A=±1第四章 线性方程组一、 克拉默法则二、 齐次线性方程组、基础解系三、 非齐次线性方程组、通解结构第五章 特征值、特征向量、相似矩阵一、 特征值、特征向量1、 若A=，则：则称是A的特征值，是A对应于的特征向量。（特征方程、特征多项式、特征矩阵）2、 性质a) i=1ni=i=1naiib) i=1ni=A3、 求法a) E-A=0解出特征值b) iE-AX=0j解出特征向量二、 相

22、似矩阵1、 若P-1AP=B，则AB2、 N阶矩阵A可对角化 特征向量1，2线性无关3、 12是A的特征值 特征向量1，2线性无关4、 是A的ri重特征值，则该特征值得特征向量应小于等于ri5、 性质：a) AA，反身性b) ABBA，对称性c) 若AB，BCAC，传递性6、 两矩阵相似的必要条件ABE-A=E-B rA=rB A=B=i=1ni三、 实对称矩阵1、 元素aij都是实数的对称矩阵2、 A.实对称矩阵的特征值全部是实数B.实对称矩阵属于不同特征值对应的特征向量相互正交C.实对称矩阵必相似于对角阵，即存在P-1AP=，且存在正交阵Q使得Q-1AQ=QTAQ=3、 实对称矩阵相似于对

23、角阵步骤a) E-A=0解出全部ib) iE-AX=0解出所有特征值的特征向量c) 正交化i的特征向量d) 将全部特征向量单位化e) 即有Q-1AQ=QTAQ=四、 矩阵、特征值、特征向量矩阵特征值特征向量AkAkAkkfAfA-1-1A*AA-1+fA1+f五、 判断A是否相似于对角1、 A是否是实对称矩阵2、 若A不是，看A是否有n个互不相同的特征值3、 若A有r重根，看对应是否有r个线性无关的特征向量第六章 二次型一、 二次型1、 矩阵表示 fx1,x2,xn=i=1nj=1naijxixj =x1x2xna11a12a21a22a1na2nan1an2annx1x2xn =XTAX其中

24、AT=A是对称矩阵，为二次型f的对于矩阵2、 若A、B是两个n阶对称阵，f=XTAX，g=XTBX：a) 若A=Bf=gb) 若ABf合同于gc) 若rA=rrf=rd) 若A正定f正定二、 标准型若二次型fx1,x2,xn只有平方项，没有混合项则为标准二次型。 fx1,x2,xn=XTAX =d1x12+dpxp2-dp+1xp+12-dp+qxp+q2 p+q=rn三、 规范型在二次型的标准型中，若平方项的系数di只取1、-1、0，则该二次型为规范型四、 化二次型为标准型，规范型1、 对于任意一个n元二次型f=XTAX，必存在正交变换X=QY，Q是正交阵：fx1,x2,xn=XTAX=YTQTAQY=1y12+2y22+nyn22、 任意一个二次型f，都可以通过（配方法）可逆线