方法求矩阵全部特征值

1、数 值 分 析课程设计QR方法求矩阵全部特征值问题复述用算法求矩阵特征值：（i） （ii）要求：（1） 根据算法原理编制求（i）与（ii）中矩阵全部特征值的程序并输出计算结果（要求误差）（2） 直接用现有的数学软件求（i），（ii）的全部特征值，并与（1）的结果比较。问题分析 QR方法是目前公认为计算矩阵全部特征值的最有效的方法。它适用于任一种实矩。QR方法的原理是利用矩阵的正交分解产生一个与矩阵A相似的矩阵迭代序列，这个序列将收敛于一个上三角阵或拟上三角阵，从而求得原矩阵A的全部特征值。QR是一个迭代算法，每一步迭代都要进行QR分解，再作逆序的矩阵乘法。要是对矩阵A直接用QR方法，计算量太大

2、，效率不高。因此，一个实际的QR方法计算过程包括两个步骤，首先要对矩阵A用初等相似变换约化为上Hessenberg矩阵，再用QR方法求上Hessenberg矩阵的全部特征值。示意如下： 对B矩阵的约化只需将每列次对角线上的元素约化为0。因此常常用平面旋转阵（Givens变换阵）来进行约化。1、 QR方法原理及收敛性设已实现了QR分解，记其中是正交阵，是上三角阵。因为，用对作正交相似变换有可改写为 显然只是的QR分解因子阵的逆序相乘，而且与原矩阵有相同的特征值。对矩阵再重复以上过程并继续下去，可以得到一个与原矩阵A有相同特征值的矩阵序列。其过程如下： 记 对作正交分解 作矩阵 ， 对作正交分解

3、作矩阵 ，重复以上过程可得一般的形式为对作正交分解 构成矩阵序列 （k=1,2）A 从矩阵A开始得到一个矩阵序列这个矩阵序列中每一个矩阵都与原矩阵相似，即都有与A相同的特征值。这个矩阵序列在实质上收敛于依次以为对角元的上三角阵。具体可以表示为其中 的极限不一定存在。2、 用正交相似变换约化矩阵为上Hessenberg阵 用Householder变换可以将一个向量指定的某个分量以下的各分量变为0。我们只要求消掉A的次对角线以下的元素，即将A约化为上Hessenberg阵。为了使变换前后矩阵的特征值不变，需要用Householder矩阵对A作相似变换，即用正交阵同时左乘和右乘A时，原来已变为0的元

4、素不再改变。若设是Householder矩阵，用它对A的第一列元素的变换示意如下： 依次对A的各列进行类似的变换，一共要进行次变换，最终可以得到一个与原矩阵A有相同特征值的上Hessenberg阵。以上约化A为上Hessenberg阵的过程可以用一系列Householder矩阵来实现。其中，对于每一个有经过步约化就可得到一个上Hessenberg阵（A的第列不需要约化）3、 Hessenberg阵的QR算法 设矩阵，其特征值都是实数。若已用Householder变换约化为上Hessenberg阵对已得到的上Hessenberg阵可用QR变换，经过迭代过程约化为上三角形矩阵以求出A的特征值。只要

5、A的特征值是实数，将B约化为上三角形矩阵总是可以做到的。 由于B矩阵结构上的特点，对B矩阵的约化只需将每列次对角线上的元素约化为0.可用平面旋转阵（Givens变换阵）来进行约化。n阶方阵为平面旋转阵。还是一个非对称的正交阵，有，也是一个平面旋转阵。有以下几种作用： 1、左乘向量只改变x 的第i个和第j个分量。现构造对x作变换使的结果将x的第j个分量约化为0。令，有调整角可使。若记，按下式选取于是有。 2、对非零的n维向量x连续左乘，可将x的第i+1到第n个分量都约化为零；即其中 3、用对矩阵A作变换得到的结论是左乘A只改变A的第i,j 行；右乘A只改变A的第i,j列； 用对A作正交相似变换改

6、变了A的i行和j行以及i列和j列。用一系列连续左乘矩阵A，可以将矩阵A化为上三角阵。 数据结构描述主要数据成员说明double Ann 存放矩阵Adouble Qnn,存放QR分解式的正交矩阵Qdouble Rnn存放QR分解式的上三角阵Rdouble pnnGivens矩阵pdouble InnN阶单位阵double Vnn存放Q矩阵的转置double Tnn初等反射阵Tdouble eps精度double max最大值double det存放行列式的值int count存放迭代次数主要函数成员说明double Det(double Lnn)用高斯列主元方法求行列式int Non_singu

7、larMatrix(double Lnn)判断是否是非奇异矩阵void Disp(double Hnn)输出矩阵int IsZero(double a,int j)判断数组是否全为0int sgn(double y)符号函数void Hessenberg(double Ann)将矩阵化为上Hessenberg矩阵int IsHessenberg(double Enn)判断是否是上Hessenberg矩阵void QRAlgorithm(double Ann)QR算法求特征值void SeekEigenvalue(double Ann)判断是否满足QR算法条件，满足则进行QR方法求特征值算法的描

8、述（流程图）  源程序C程序为：#include<stdio.h>#include<math.h>#define n 3#define eps 1E-5double Det(double Lnn)/用高斯列主元方法求行列式double det=1,t;for(int k=0;k<n-1;k+)double max=Lkk;int Ik=k;for(int j=k+1;j<n;j+)if(max<Ljk)max=Ljk;Ik=j;if(max=0) return 0;if(Ik!=k)for(int j=k;j<n;j+)t=LIkj;L

9、Ikj=Lkj;Lkj=t;det*=-1;for(int i=k+1;i<n;i+)t=Lik/Lkk;Lik=t;for(int j=k+1;j<n;j+)Lij=Lij-t*Lkj;det*=Lkk;if(Ln-1n-1=0) return 0;elseprintf(" 矩阵A的行列式为:%.5fn",det*Ln-1n-1);return det*Ln-1n-1;int Non_singularMatrix(double Lnn)/判断是否是非奇异矩阵printf(" 判断矩阵A的行列式是否为0?n");if(Det(L)!=0) r

10、eturn 1;return 0;void Disp(double Hnn)/输出矩阵for(int i=0;i<n;i+)for(int j=0;j<n;j+)printf("%.6f ",Hij);printf("n");int IsZero(double a,int j)/判断数组是否全为0for(int i=0;i<j;i+)if(ai!=0) return 0;return 1;int sgn(double y)/符号函数if(y>0) return 1;else if(y=0) return 0;else return

11、 -1;void Hessenberg(double Ann)/将矩阵化为上Hessenberg矩阵printf("原矩阵为:n");Disp(A);/输出原矩阵double Tnn,Bnn,Cnn,cn-1,vn-1,un-1,Rn-1n-1,In-1n-1,t,w,s;int i,j,k,m;for(k=0;k<n-2;k+)for(i=0;i<n-k-1;i+)for(j=0;j<n-k-1;j+)if(i=j) Iij=1;else Iij=0;/定义单位阵Idouble max=fabs(Ak+1k);/求最大值for(i=0;i<n-k-

12、1;i+)if(max<fabs(Ai+k+1k)max=fabs(Ai+k+1k);for(i=0;i<n-k-1;i+)ci=Ai+k+1k/max;/标准化数组if(IsZero(c,n-k-1)/判断数组是否全为0continue;/数组为0，则这一步不需要约化for(i=0,t=0.0;i<n-k-1;i+)t+=ci*ci;vk=sgn(Ak+1k)*sqrt(t);/u0=c0+vk;for(j=1;j<n-k-1;j+)uj=cj;/求矩阵uw=vk*(c0+vk);for(i=0;i<n-k-1;i+)for(j=0;j<n-k-1;j+)

13、Rij=Iij-ui*uj/w;for(i=0;i<n;i+)for(j=0;j<n;j+)if(i=j) Tij=1;else Tij=0;/定义矩阵T为单位阵for(i=0;i<n-k-1;i+)for(j=0;j<n-k-1;j+)Ti+k+1j+k+1=Rij;/初等反射阵Tfor(i=0;i<n;i+) /矩阵T左乘矩阵Afor(j=0;j<n;j+)for(m=0,s=0.0;m<n;m+)s+=Tim*Amj;Bij=s;for(i=0;i<n;i+) /矩阵T右乘矩阵Afor(j=0;j<n;j+)for(m=0,s=0.0

14、;m<n;m+)s+=Bim*Tmj;Cij=s;for(i=0;i<n;i+)for(j=0;j<n;j+)Aij=Cij;printf("原矩阵化成上Hessenberg矩阵后为:n");Disp(A);int IsHessenberg(double Enn)/判断是否是上Hessenberg矩阵for(int i=2;i<n;i+)for(int j=0;j+1<i;j+)if(Eij!=0)return 0;return 1;int count=1;void QRAlgorithm(double Ann)/QR算法求特征值int i,j

15、,k,m;double pnn,Qnn,Rnn,Fnn,Vnn,c,s,t,y,max;for(i=0;i<n;i+)/赋Q为单位阵for(int j=0;j<n;j+)if(i!=j) Qij=0;else Qij=1;for(m=0;m<n-1;m+)/对矩阵A进行QR分解for(i=0;i<n;i+)/赋p为单位阵for(j=0;j<n;j+)if(i!=j) pij=0;else pij=1;c=Amm/sqrt(Amm*Amm+Am+1m*Am+1m);s=Am+1m/sqrt(Amm*Amm+Am+1m*Am+1m);pmm=c;pmm+1=s;pm+

16、1m=-s;pm+1m+1=c;/p为Givens矩阵for(i=0;i<n;i+)/p矩阵左乘W矩阵,p矩阵左乘Q矩阵for(j=0;j<n;j+)t=0;y=0;for(k=0;k<n;k+)t+=pik*Akj;y+=pik*Qkj;Rij=t;Fij=y;for(i=0;i<n;i+)/A,R赋新值for(j=0;j<n;j+)Aij=Rij;Qij=Fij;for(i=0;i<n;i+)/Q转置for(j=0;j<n;j+)Vij=Qji;for(i=0;i<n;i+)for(j=0;j<n;j+)Qij=Vij;for(i=0;

17、i<n;i+)/矩阵A为矩阵R和矩阵Q的乘积for(j=0;j<n;j+)t=0;for(k=0;k<n;k+)t+=Rik*Qkj;Aij=t;count+;max=fabs(A10);/求A矩阵下三角的绝对值最大值for(i=1;i<n;i+)for(j=0;j<i;j+)if(fabs(Aij)>max)max=fabs(Aij);if(max<eps)/满足精度条件，输出Q矩阵，R矩阵以及特征值printf("在精度%.1e下,QR算法迭代次数为:%d次n输出矩阵A%d:n",eps,count-1,count);Disp(

18、A);/输出A矩阵printf("输出矩阵Q:n");Disp(Q);printf("输出矩阵R:n");Disp(R);printf("输出A矩阵的全部特征值:");for(i=0;i<n;i+)if(i%3=0) printf("n");printf("a%d=%.6ft",i+1,Aii);printf("n");return;QRAlgorithm(A);void SeekEigenvalue(double Ann)/判断是否满足QR算法条件，满足则进行QR方法求特征值double Znn;for(int i=0;i<n;i+)for(int j=0;j<n;j+)Zij=Aij;printf("判断矩阵A是否是非奇异矩阵?n");if(Non_singularMatrix(Z)=0)printf("矩阵A不是非奇异矩阵!不符合分解条件!n");return;elseprintf("矩阵A是非奇异矩阵!符合分解条件!n");printf("判断矩阵A是否是上Hessenberg矩阵?