不定积分的计算（课堂PPT）

1、.1不定积分的计算不定积分的计算一、第一换元积分法一、第一换元积分法二、第二换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法三、分部积分法.2问题问题cos2xdx 解决方法解决方法利用复合函数求导的逆运算，设置利用复合函数求导的逆运算，设置中间变量中间变量. .过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx xCx2cos2sin21 说明结果正确说明结果正确一、第一换元积分法一、第一换元积分法.3( ( )( )fxx dx ,ux对于形如对于形如的积分，设的积分，设( ( )( )( )fxx dxFxC( ( )( )( )( ( )(

2、 )FxCFxxfxx ( )f ux及如果如果 ( ),f u duF uC+连续，且连续，且则则该积分法可由下面的逆运算证明该积分法可由下面的逆运算证明这种积分方法也叫做这种积分方法也叫做“”。.4定理定理1( ( )( )( )( ( ).fxx dxf u duFxC可导可导, 则有换元公式则有换元公式设设 f (u)具有原函数具有原函数 F (u), u = (x) 连续连续dxxg)(如何应用上述公式来求不定积分如何应用上述公式来求不定积分? ? 则使用此公式的关键在于将则使用此公式的关键在于将 ( )( )fxx dx化为化为的形式，的形式，,)(dxxg假设要求假设要求所以，第

3、一类换元积分法也称为凑微分法所以，第一类换元积分法也称为凑微分法.5例例1 求求 1.21dxx解解 u = 2x + 1, du=d(2x + 1) = 2dx, 则则 111112(21)21221221dxdxdxxxx112duu1ln |2uC1ln |21|.2xC想到公式想到公式duuln uC注意换回原变量注意换回原变量.6例例2 求求 2sin.xx dx221sinsin22xx dxxxdx1sin2udu1cos.2uC 解：解：则则2,2uxduxdx21cos.2xC 想到公式想到公式sindu ucosuC .7 这种换元法又称为凑微分法或配元法这种换元法又称为凑

4、微分法或配元法, 即引进即引进一个新变量以代替原来的变量一个新变量以代替原来的变量, 对于变量代换熟练对于变量代换熟练以后以后, 可以不写出中间变量可以不写出中间变量 u. 例例1 求求 1.21dxx解法二：解法二：111(21)21221dxdxxx1ln |21|.2xC.8例例3 求求 1sin.xdxx一般地一般地, 有有 1sinxdxx解解1()2().fx dxfx dxx2cos.xC 12dxdxx2 sinxdx12 sin2xdxx.9例例4 求求 tan.xdxsintancosxxdxdxx解解ln cos.xC cot xdx类似类似?dcotxxsinsindx

5、xln sin xCcossinxdxx1cos ,cosdxx cossindxxdx 1sin,cosx dxx 1lnduuCu.10例例5 求求 2sincos.xxdx2sincosxxdx解解31sin.3xCsin(cos )(cos ) cos ;x fx dxfx dx cos(sin )(sin ) sin .x fx dxfx dx一般地一般地, 有有 sincosdxxdx2sinsinxdx323uu duC.11例例6 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin24sincoscosxxxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(si

6、n)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明: :当被积函数是三角函数当被积函数是三角函数( (如正弦函数和余如正弦函数和余弦函数弦函数) )相乘时，拆开奇次项去凑微分相乘时，拆开奇次项去凑微分. .sincosdxxdx )(sincossin42xxdx.12例例7 求求 3sin.xdx3sin xdx解解2(cos1) cosxdx2coscoscosxdxdx31coscos.3xxC2sinsinxxdx2sincosxdx cossindxxdx 323uu duC.13例例8 求求 211xxxxedxdxeee解211 (

7、)xxdeearctan.xeC()().xxxxe f edxf ede1.xxdxee一般地一般地, 有有 xxdee dx211arctanduuuC.14例例9 求求 一般地一般地, 有有 .2 lndxxx2 lndxxx解1ln ln.2xC1(ln )(ln ) ln .fx dxfx dxx1(ln )2lndxx1lndxdxx1lnduuCu.15),(212xdxdx ,ln1xddxx),1(12xddxx,21xddxx,xxdedxe,cossinxdxdx第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过如何适当地选择变量代换，却没有

8、一般的法则可如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可循这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需循这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，例如要熟记一些函数的微分公式，例如等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中拼凑出合适的微分因子拼凑出合适的微分因子.16例例10 求求 221.dxax2222111 ( )dxdxxaxaa解1arctan.xCaa211( )1 ( )xdxaaa211arctanduuuC1xddxaa.17例例11 求求 221(0).dxaax2221111 ( )dxdxaxaxa解2

9、1( )1 ( )xdaxaarcsin.xCa211arcsinduuuC1xddxaa.18例例12 求求 .(12ln )dxxx(1 ln )dxxx解1ln 12ln.2xC1(ln )12lndxx11(2ln1)2 12lndxx1lnduuCu1lndxdxx.19例例13 求求 2331.xx dx2331xx dx解3322(1).3xC 1322(1)3xx dx1332(1)1xdx 1332(1)xdx132223u duuC.20例例14 求求 22.dxxa22()()dxdxxaxa xa解解111()2dxa xaxa111()2dxdxaxaxa111()(

10、)2d xad xaaxaxa1(lnln)2xaxaCa1ln.2xaCaxa.21例例15 求求 2sin.xdx21 cos2sin2xxdxdx解解1(cos2)2dxxdx11cos2(2 )24dxxdx11sin2.24xxC11cos222dxxdx.22xxtansec解解xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxxCxxtansecln类似可得类似可得xxdcscCxxcotcscln例例16. 求sec d .x x.23小结小结积分常用技巧积分常用技巧:(1) 分项积分分项积分:(2)

11、 降低幂次降低幂次:(3) 统一函数统一函数: 利用三角公式利用三角公式 ; 凑微分法（陪元方法）凑微分法（陪元方法）(4) 巧妙换元或配元。巧妙换元或配元。等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx利用积化和差利用积化和差; 分式分项等分式分项等;利用倍角公式利用倍角公式 , 如如.24作业作业P155 1 (1)-(18).25二、第二换元积分法二、第二换元积分法 0,xtt且 f x dx设设将积分将积分 化为化为 ( )( )ftdtF tC ,ftdt 1( ),f x dxFxC+若若则则若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正

12、确性。若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。.26例例1 1 求求1.1dxx解解,tx令令2,xt2,dxtdt11dxx21tdtt1 121tdtt 121dxdtt2ln 1.ttC则则于是于是2ln 1.xxC.27例例2 2 求求解解.11dxex xet 1令令21,xet则,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 11111ln1ln1ln1tttCCt .11ln2Cxex ,1ln2 tx11ln11xxeCe.28说明说明当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各

13、根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,ntx n例例3 3 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx .29三、三、分部积分法分部积分法由导数公式由导数公式vuvuuv )(积分得积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或或uvvuvudd 分部积分法一般用于是解决分部积分法一般用于是解决两种不同类型函数乘积两种不同类型函数乘积的不定积分问题的的不定积分问题的.30例例1. 求求.dl

14、nxxx解解: 令令,ln xu vx 则则1,dudxx221xv 原式原式 =xx ln212xxd21Cxxx2241ln21uv dxuvu vdx 分析：分析：被积函数被积函数 xlnx 是幂函数与对数函数的乘积是幂函数与对数函数的乘积, 采用分部积分采用分部积分.31例例2 2 求积分求积分.cos xdxx解（一）解（一）令令,cosxu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当，积分更难进行选择不当，积分更难进行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsi

15、nsin.cossinCxxx 分析：分析：被积函数被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积是幂函数与三角函数的乘积, 采用分部积分采用分部积分.uv dxuvu vdx.32(1) v要容易求出要容易求出; (2)要要比比vduudv容易积出容易积出. ddudvuvvduuvxuvuv x或分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择, u v, u v一般来说，一般来说， 选取的原则是：选取的原则是：.33 解题技巧：解题技巧： 分部积分法求不定积分的关键分部积分法求不定积分的关键是要确定是要确定u，由计算的经验，可以得出以下顺序：，由计算的经验，可

16、以得出以下顺序：“（反三角函数）、（反三角函数）、（对数函数）、（对数函数）、（幂函（幂函数）、数）、（指数函数）、（指数函数）、（三角函数）（三角函数）” ，当两，当两种不同类型函数相乘求积分时，按以上顺序，排序种不同类型函数相乘求积分时，按以上顺序，排序在前的函数作为在前的函数作为u.即即 把被积函数视为两个函数之积把被积函数视为两个函数之积 , 按按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序的顺序, 前者为前者为 后者为后者为u.v.34例例3. 求求.darccosxx解解: 令令,arccosxu 1 v, 则则,211xuxv 原式原式 =xxarccosxxxd21xxarccos)1

17、d()1 (222121xxxxarccosCx 21uv dxuvu vdx.35例例4 求求 arctan.xxdx解解 设设 u = arctanx, v= x, 则则 21arctanarctan()2xxdxxdx22211arctan22 1xxxdxx22111arctan1221xxdxx211 (1)arctan.22xxxC“ 反对幂指三反对幂指三”前者为前者为 后者为后者为u.vuv dxuvu vdx2211,12dudx vxx.36例例5 求求 ln.xdx解解 设设 u = lnx, dv = dx, 则则 1,dudx vxxln xdx于于是是“ 反对幂指三反

18、对幂指三”前者为前者为 后者为后者为u.vuv dxuvu vdx11x nxxdxxlnxxxC.37例例6 求求 2sin.xxdx22sin( cos )xxdxx dx2cos2 cosxxxxdx 2cos2sinxxxdx2cos2( sinsin)xxxxxdx 2cos2 sin2cos.xxxxxC 设设 u = x 2, , 则则 du = 2xdx, v = - -cosx, 于是于是解：解：sinvx=uv dxuvu vdx.38例例7 求求 sin.xexdxsinsinxxexdxxde解解sincosxxexexdxsincosxxexxdesincossin.

19、xxxexexexdx 上式最后一项正好是所求积分上式最后一项正好是所求积分, 移到等式左边然后除移到等式左边然后除以以2, 可知可知 e x sinx 的一个原函数为的一个原函数为1(sincos ),2xexx1sin(sincos ).2xxexdxexxC于于是是uv dxuvu vdx.39说明说明:分部积分题目的主要类型分部积分题目的主要类型:1) 直接分部化简积分直接分部化简积分 ;2) 分部产生循环式分部产生循环式 , 由此解出积分式由此解出积分式 ;(注意注意: 两次分部选择的两次分部选择的 u , v 函数类型要一致函数类型要一致 , 解出积分后加解出积分后加 C ).40不定积分计算练习题不定积分计算练习题51.d.xex12.d.12xx-13.d.lnxxx2114.sind.xxx728.tansecd.xx x()22arctan6.d.1xxx+arcsin2107.d.1xxx-25.d.23xxx-.4119.12dxx+()arctan11.1xdxxx+4110.dxxx+14.arcsin d.x x12.sin d.xx x2ln16.d.xxx15.ln d.x x13.d.xxex-.42例例1 求求.231dxx duu 1211ln2uC1ln 32.2xC解解: 令令32 ,ux则则d2d