三重积分（课堂PPT）

1、目录 上页 下页 返回 结束 .1第三节一、三重积分的概念三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算三重积分 第十章 目录 上页 下页 返回 结束 .2一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为目录 上页 下页 返回 结束 .3定义定义. 设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存

2、在,),(zyxfvzyxfd),(称为体积元素体积元素, vd.dddzyx若对 作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在 上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域 上连续,则存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 为 的体积, 积和式” 极限记作记作目录 上页 下页 返回 结束 .4二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截

3、面法 (“先二后一”) 方法方法3 . 三次积分法 ,0),(zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:目录 上页 下页 返回 结束 .5zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(细长柱体微元的质量为),(2yxzz

4、 ),(1yxzz 微元线密度记作yxddO目录 上页 下页 返回 结束 .6ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:为底, d z 为高的柱形薄片质量为zD以该物体的质量为vzyxfd),(bazDyxzyxfdd),(zDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd记作xyzO目录 上页 下页 返回 结束 .7投影法方法方法3. 三次积分法三次积分法设区域:利用投影法结果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得:vzyxfd),(),(),(

5、21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd目录 上页 下页 返回 结束 .8当被积函数在积分域上变号时, 因为),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均为为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.2),(),(zyxfzyxf目录 上页 下页 返回 结束 .9小结小结: 三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次积分三次积分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzy

6、xfyxvzyxfd),(zDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据vzyxfd),(vzyxfd),(三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择. 目录 上页 下页 返回 结束 .10其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面1xyz121O目录 上页 下页 返

7、回 结束 .11xyz例例2. 计算三重积分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDzO目录 上页 下页 返回 结束 .12xyz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,),(3RzyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面z),(zyxM)0 ,(yxO目录 上页 下页 返回 结

8、束 .13如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为zvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.zdddzzddddxyzddO目录 上页 下页 返回 结束 .142axyzO其中 为例例3. 计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所解解: 在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面zvdddd20dazz0dzzddd2原式298a由柱面cos

9、2围成半圆柱体.目录 上页 下页 返回 结束 .15OOxyz例例4. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下h:hz42dhh2022d)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所围成 .与平面其中 由抛物面42zvdddd原式 =目录 上页 下页 返回 结束 .163. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 ,),(3RzyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,zOMzr),(r则0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常

10、数锥面, rOM 令),(rMsinrcosrz MxyzO目录 上页 下页 返回 结束 .17rddrdd如图所示, 在球面坐标系中体积元素为dddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.dddsin2rrxyzO目录 上页 下页 返回 结束 .18xyzO例例5. 计算三重积分,ddd)(222zyxzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解: 在球面坐标系下:zyxzyxd

11、dd)(222所围立体.40Rr 020其中 与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20d4Rr 目录 上页 下页 返回 结束 .19例例6.求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积.解解: 由曲面方程可知, 立体位于xOy面上部,cos0:3ar 利用对称性, 所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yOz面对称, 并与xOy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xOz dddsind2rrv yzxaOr目录 上页 下页 返回 结束 .20内容小结内容小结zyxddd

12、zddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* * 说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成 ;目录 上页 下页 返回 结束 .212,zxz1. 将. )(),(Czyxf用三次积分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中 由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考与练习思考与练习六个平面围成 ,:目录 上

13、页 下页 返回 结束 .222. 设, 1:222zyx计算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用对称性原式 = 122ddyxyx0奇函数222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz目录 上页 下页 返回 结束 .233. 设 由锥面22yxz和球面4222zyx所围成 , 计算.d)(2vzyxI提示提示:zOxy24利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标 rr d420dsin4020d221564目录 上页 下页 返回 结束 .24作业作业P162 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); *10 (2) ; 11 (1), *(4)第四节 目录 上页 下页 返回 结束 .25备用题备用题 1. 计算,ddd12zyxxyI所围成. 其中 由1,1,12222yzxzxy分析分析：若用“先二后一”, 则有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210计算较繁! 采用“三次积分”较好.1zxy11O目录 上页 下页 返回 结束 .26:4528 1122yzx2211xzx11xxx d1211zxxd2211yyzxd112222221,1,1yxzxzy 由所围, 故可