2020年高考数学模拟试卷

1、精选优质文档-倾情为你奉上2020年高考数学模拟试卷（文科20）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合M=1,3，5，N=2,4，5，则MN=()A. 5B. 3,5C. 2,4，5D. 1,2，3，4，5【答案】D【解析】解：集合M=1,3，5，N=2,4，5，则MN=1,2，3，4，5，故选：D直接求出即可考查集合的并集运算，基础题2. 设z=i(1i)，则z=()A. 1iB. 1+iC. 1iD. 1+i【答案】A【解析】解：z=i(1i)=1+i，z=1i故选：A直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本

2、概念，是基础题3. 若双曲线x2a2y2=1(a0)的实轴长为4，则其渐近线方程为()A. y=xB. y=2xC. y=12xD. y=2x【答案】C【解析】解：实轴长为4，2a=4，a=2，其渐近线方程为：y=12x，故选：C先由实轴长为4，求出a=2，从而得到渐近线方程本题主要考查了双曲线的渐近线方程，是中档题4. 已知a=log0.22，b=20.2，c=0.20.3，则()A. acbB. abcC. cabD. bca【答案】A【解析】解：a1，c(0,1)，ac0解得a=3cos=35，sin=45cos22=1+cos2=45；故选：D设大直角三角形的直角边长为a，a+1，a2

3、+(a+1)2=25，a0.解出利用倍角公式即可得出本题考查了勾股定理、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8. 已知f(x)是奇函数，当x0时，f(x)=ex1(其中e为自然对数的底数)，则f(ln12)=()A. 1B. 1C. 3D. 3【答案】A【解析】解：f(ln12)=f(ln2)f(x)是奇函数，f(x)=f(x)当x0时，f(x)=ex1，则f(ln12)=f(ln2)=f(ln2)=(eln21)=1故选：A由f(x)是奇函数可得f(x)=f(x)，则f(ln12)=f(ln2)=f(ln2)，代入已知可求本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的函数值，属于基础试题

4、9. 已知四棱锥SABCD的所有顶点都在球O的球面上，SA=SB，SASB，底面ABCD是等腰梯形，AB/CD，且满足AB=2AD=2DC=2，则球O的表面积是()A. 43B. 823C. 4D. 8【答案】C【解析】解：底面ABCD是等腰梯形，AB/CD，且满足AB=2AD=2DC=2，可知底面ABCD的外心为AB的中点O，到顶点的距离为1，因为SA=SB，SASB，AB=2，所以SA=SB=2，AB的中点O到S的距离为1，所以O是四棱锥的外接球的球心，外接球的半径为1，所以球O的表面积是：412=4故选：C利用已知条件求出四棱锥的外接球的半径，然后求解球O的表面积本题考查几何体的外接球的

5、表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题10. 已知点F为椭圆x2a2+y2=1(a1)的一个焦点，过点F作圆x2+y2=1的两条切线，若这两条切线互相垂直，则a=()A. 2B. 2C. 3【答案】C【解析】解：如图，由题意椭圆x2a2+y2=1(a1)的右焦点为F，过点F作圆x2+y2=1的切线，若两条切线互相垂直，可得2=c，则2=c2，a2=b2+c2=3，则a=3故选：C由题意画出图形，可得c=2，利用椭圆的性质求解a即可本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题11. 函数f(x)=cosx(0)在区间0,2上是单调函数，且f(x)的图象关于点M(34

6、,0)对称，则=()A. 23或103B. 23或2C. 143或2D. 103或143【答案】B【解析】解：f(x)的图象关于点M(34,0)对称，则34=k+2，整理得：=4k3+23(kZ)，当k=0时，=23，所以函数f(x)=cos23x，函数的最小正周期为3，所以函数f(x)在区间0,2上是单调递减函数当k=1时，=2，所以函数f(x)=cos2x，函数的最小正周期为，所以函数f(x)在区间0,2上是单调递减函数当k=2时，=103，所以函数f(x)=cos103x，函数的最小正周期为35，所以函数f(x)在区间0,2上是不是单调递减函数，函数的单调性先减后增，故错误故选：B首先求

7、出函数的关系式中的和k的关系，进一步对k的取值进行验证，最后求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型12. 已知数列an满足an+1=2+4anan2，则a1+a2020的最大值是()A. 422B. 82C. 4+22D. 8+2【答案】C【解析】解：依题意an+1=2+4anan2，可化为：(an+12)2+(an2)2=4，令bn=(an2)2，则bn+1+bn=4，bn+2+bn+1=4，于是bn+2=bn，b1=(a12)2，b2020=b2=(a22)2，b1+b2020=b1+b2=4，即

8、(a12)2+(a20202)2=4，法一：a1=2+2cosa2020=2+2sina1+a2020=4+22sin(+4)4+22(当且仅当=4时等号成立)；法二：x+y2x2+y22，a1+a2020=(a12)(a20202)+42(a12)2+(a20202)22+4=4+22(当且仅当a1=a2020=2+2时等号成立)法三：(a12)2+(a20202)2=4，即(a1,a2020)在(x2)2+(y2)2=4上，令z=x+y，即x+yz=0，d=|z4|22，|z4|22，422z4+22，zmax=4+22故选：C依题意an+1=2+4anan2，可化为：(an+12)2+(

9、an2)2=4，法一：利用圆的参数方程，结合辅助角公式可求得a1+a2020的最大值；法二：由x+y2x2+y22，利用基本不等式可求得a1+a2020的最大值；法三：依题意，(a1,a2020)在(x2)2+(y2)2=4上，令z=x+y，利用点到直线间的距离公式可求得答案本题考查数列递推式的应用，考一题多解的运用，其中涉及圆的参数方程法、基本不等式法及点到直线间的距离公式的应用，考查思维与运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y=(x1)ex在点(1,0)处的切线方程为_【答案】exye=0【解析】解：由y=(x1)ex，得y=xex，则曲线y=(x1)

10、ex在点(1,0)处的切线斜率k=y|x=1=e，曲线y=(x1)ex在点(1,0)处的切线方程为exye=0，故答案为：exye=0先对曲线y=(x1)ex求导，然后求出切线斜率k=y|x=1，再求出切线方程本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属基础题14. 已知向量a=(1,1)，b=(3,m)，若向量2ab与向量b共线，则实数m=_【答案】3【解析】解：因为向量a=(1,1)，b=(3,m)，所以向量2ab=(5,2m)；2ab与向量b共线；5m(2m)(3)=0m=3；故答案为：3先求出向量2ab的坐标(5,2m)，这样根据向量平行时的坐标关系即可建立关于m的方程，解出m本题主要

11、考查向量坐标的数乘和减法运算，以及共线向量的概念，共线向量的坐标关系15. 已知圆锥的顶点为S，点A，B，C在底面圆周上，且AB为底面直径，若SA=AC=BC，则直线SA与BC的夹角为_【答案】3【解析】解：取AB中点O，连结SO，CO，圆锥的顶点为S，点A，B，C在底面圆周上，且AB为底面直径，SA=AC=BC，OS平面ABC，OCAB，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，设OC=1，则S(0,0，1)，A(0,1,0)，B(0,1，0)，C(1,0，0)，SA=(0,1,1)，BC=(1,1,0)，设直线SA与BC的夹角为，则cos=|SABC|SA|BC|

12、=122=12，=3直线SA与BC的夹角为3故答案为：3取AB中点O，连结SO，CO，推导出OS平面ABC，OCAB，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线SA与BC的夹角本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题16. 有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下：“在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，_，c2b23c+3=0，求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且该题的答案A=45是唯一确定的，则破损处应是_【答案】c=3+32【解析

13、】解：因为c2b23c+3=0，a=3所以c2b23ac+a2=0，即a2+c2b22ac=32，所以cosB=32，又B(0,)，所以B=6(1)由正弦定理可知，bsin30=3sin45可得b=62检验：bsinB=asinA62sin30=3sinAsinA=22，又因为A(0,)且ab，所以A=4或者A=34，这与已知角A的解为唯一解矛盾(2)B=6，A=4，所以C=712，由正弦定理可知，csin105=3sin45c=3+32，检验：csinC=asinA3+32sin75=3sinAsinA=22，又A(0,)，且ca，A=4.故应填的条件是：c=3+32故答案为：c=3+32由

14、c2b23c+3=0，a=3.结合余弦定理可求cosB，进而可求B，然后结合正弦定理及大边对大角即可进行求解本题主要考查了利用正弦定理及余弦定理及三角形的大边对大角定理在求解三角形中的应用，属于中档试题三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. 已知an是公差为1的等差数列，数列bn满足b1=1，b2=12，anbn+1+bn+1=nbn(1)求数列bn的通项公式；(2)设cn=bnbn+1，求数列cn的前n项和Sn【答案】解：(1)由题意，可知a1b2+b2=b1，即12a1+12=1，解得a1=1又数列an是公差为1的等差数列，an=1+n1=nanbn+1+bn+1=(n+1)bn

15、+1=nbn，数列nbn是常数数列，即nbn=1b1=1，bn=1n，nN*(2)由(1)知，cn=bnbn+1=1n(n+1)=1n1n+1，故Sn=c1+c2+cn=112+1213+1n1n+1=11n+1=nn+1【解析】本题第(1)题将n=1代入anbn+1+bn+1=nbn.可解出a1的值，从而可得数列an的通项公式，然后将数列an的通项公式代入anbn+1+bn+1=nbn.可发现数列nbn是常数数列，从而可得数列bn的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列cn的通项公式，然后运用裂项相消法求出前n项和Sn本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和考查

16、了转化思想，、方程思想、逻辑思维能力和数学运算能力，本题属中档题18. 如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别是棱AB，BC，AD的中点(1)证明：D1M/平面A1EF；(2)求点D1到平面A1EF的距离【答案】(1)证明：取CD的中点N，连结MN，D1N，EN因为E，F，M，N分别是棱AB，BC，AD，CD的中点，所以MN/EF，又因为MN平面A1EF，EF平面A1EF，所以MN/平面A1EF又因为A1D1/EN，A1D1=EN，所以四边形A1D1NE是平行四边形，所以D1N/A1E，所以D1N/平面A1EF又D1NMN=N，所以平面D1MN/平面A1EF，又D1

17、M平面D1MN，所以D1M/平面A1EF；(2)解：因为D1M平面A1EF，所以点D1到平面A1EF的距离可以转化为点M到平面A1EF的距离由已知可得SMEF=1221=1，所以VA1MEF=13SMEFAA1=1312=23，又A1E=5,EF=2,A1F=AA12+AF2=4+5=3，所以cosA1EF=5+29252=1010，可知sinA1EF=31010，所以SA1EF=12A1EEFsinA1EF=125231010=32又因为VA1MEF=VMA1EF，所以点M到平面A1EF的距离为43所以点D1到平面A1EF的距离为43【解析】(1)取CD的中点N，连结MN，D1N，EN，只需

18、证明A1D1/EN，A1D1=EN，四边形A1D1NE是平行四边形，即可证明D1M/平面A1EF；(2)可得D1M平面A1EF，所以点D1到平面A1EF的距离可以转化为点M到平面A1EF的距离由VA1MEF=VMA1EF，即可得点D1到平面A1EF的距离本题考查了空间面面平行、点面距离，属于中档题19. 某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近6个月的市场占有率y%进行了统计，结果如表：月份2019.72019.82019.92019.102019.112019.12月份代码x123456y101415162021(1)请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y与月份代

19、码x之间的关系如果能，请计算出y关于x的线性回归方程；如果不能，请说明理由；(结果精确到0.01)(2)根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本1000元/辆的A型车和800元/辆的B型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如表：报废年限车型1年2年3年4年总计A8324020100B12433510100经测算，平均每辆单车每年能为公司带来500元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？参考数据：i=16(xix)(yiy)=37，i=

20、16(xix)2=17.5，i=16(yiy)2=82，143537.88，3737.880.98参考公式：相关系数r=i=1n(xix)(yiy)i=1n(xix)2i=1n(yiy)2，b=i=1n(xix)(yiy)i=1n(xix)2，a=ybx【答案】解：(1)由表格中数据可得，x=3.5，y=16r=i=1n(xix)(yiy)i=1n(xix)2i=1n(yiy)2=3717.582=0.98，y与月份代码x之间高度正相关，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系b=i=1n(xix)(yiy)i=1n(xix)2=3717.5=74352.114，a=ybx=162.1143.5

21、8.601y关于x的线性回归方程为y=2.114x+8.601；(2)这100辆A款单车平均每辆的利润为：1100(5008+032+50040+100020)=360(元)，这100辆B款单车平均每辆的利润为：1100(30012+20043+70035+120010)=415(元)用频率估计概率，A款单车与B款单车平均每辆的利润估计值分别为360元、415元，应采购B款车型【解析】(1)由表格中的数据求得相关系数r值，可知y与月份代码x之间高度正相关，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系再求出b与a的值，得到线性回归方程；(2)分别求出这100辆A款单车平均每辆的利润与这100辆B款单车

22、平均每辆的利润，比较大小得结论本题考查相关系数与线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题20. 设抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，C的准线与x轴的交点为E，点A是C上的动点当AEF是等腰直角三角形时，其面积为2(1)求C的方程；(2)延长AF交C于点B，点M是C的准线上的一点，设直线MF，MA，MB的斜率分别是k0，k1，k2，证明：k1+k2=2k0【答案】解：(1)当AEF是等腰直角三角形时，EFAF，点A(p2,p)，12pp=2，p=2，抛物线方程为：y2=4x；(2)抛物线方程为：y2=4x，准线方程为：x=1，焦点F(1,0)，设M(1,y0)，A(x1,y1)，B(x

23、2,y2)，当直线AB的斜率不存在时，A(1,2)，B(1,2)，k0=y02，k1=y022，k2=y0+22，k1+k2=2y02=2k0，即k1+k2=2k0，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=k(x1)，联立方程y=k(x1)y2=4x，消去y得：k2x2(2k2+4)x+k2=0，x1+x2=2k2+4k2，x1x2=1，y1+y2=k(x1+x2)2k=4k，k0=y02，k1=y0y11x1，k2=y0y21x2，k1+k2=y0y11x1+y0y21x2=(y0y11+x1+y0y21+x2)=(y0y1)(1+x2)+(y0y2)(1+x1)(1+x1)(1+x

24、2)=2y0+y0(x1+x2)(y1+y2)2kx1x2+k(x1+x2)1+(x1+x2)+x1x2=2y0+y0(2+4k2)4k2k+k(2+4k2)4+4k2=y0(4+4k2)4+4k2=y0，k1+k2=2k0，故k1+k2=2k0得证【解析】(1)由题意可得：12pp=2，所以p=2，从而得到抛物线方程；(2)设M(1,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，对直线AB的斜率分情况讨论，当直线AB的斜率不存在时，A(1,2)，B(1,2)，易得k1+k2=2k0，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=k(x1)，与抛物线方程联立，利用韦达定理化简k1+k2=y0y

25、11x1+y0y21x2得：k1+k2=y0，即k1+k2=2k0本题主要考查了抛物线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题21. 已知函数f(x)=x+12ln2xlnx+1(1)讨论f(x)的单调性；(2)若m0，方程mf(x)x+mx=0有两个不同的实数解，求实数m的取值范围【答案】解：(1)依题意函数f(x)的定义域为(0,+)，f(x)=1+lnxx1x=x+lnx1x，令g(x)=x+lnx1，则g(x)=1+1x0，故g(x)在(0,+)单调递增，又g(1)=0，所以当x(0,1)时，g(x)0，即f(x)0，即f(x)0；故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调

26、递增；(2)方程mf(x)x+mx=0化简可得m(x+lnx)=x2，所以方程mf(x)x+mx=0有两解等价于方程x+lnxx2=1m有两解，设F(x)=x+lnxx2，则F(x)=x2+x2x22xlnxx4=1x2lnxx3，令h(x)=1x2lnx，由于h(x)=12x0，即F(x)0，当x(1,+)时，h(x)0，即F(x)0；故F(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减所以F(x)在x=1时取得最大值F(1)=1，又F(1e)=ee20，所以存在x1(1e,1)，使得F(x1)=0，又F(x)在(0,1)上单调递增，所以当x(0,1e)时，F(x)0，即F(x)(0,1)因为F(x)在(1,+)上单调递减，且当x(1,+)时，F(x)=x+lnxx20，即F(x)(0,1)所以方程x+lnxx2=1m有两解只须满足01m1，所以方程mf(x)x+mx=0有两个不同的实数解时，实数m的取值范围是(1,+)【解析】(1)求导可得f(x)=x+lnx1x，令g(x)=x+lnx1，再利用导数可知g(x)在(0,+)单调递增，进而可得当x(0,1)时，f(x)0，由此求得函数f(x)的单调性；(2)问题等价于方程x+lnxx2=1m有两解，设F(x)=x+lnxx2，利用导数研究函数F(x)的性质，可得01m1，由此求得实数m的取值范围本题考查利用导数研究函数的