福师大网络教育《复变函数》网络作业答案

1、文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！ 复变函数作业一 一、判断（对的用T表示，错的用F表示）1、如果存在，那么在解析。（ F ）2、。（ F ）3、当且仅当为实数时，为实数。（ F ）4、设在区域内是解析的，如果是实常数，那么在整个内是常数；如果是实常数，那么在内也是常数。（ T ）2、 填空1、= ；= 。2、设是1的次根，则= 0 。3、在映射下，扇形区域的像区域为 。4、若，则= 。三、计算1、 计算下列函数值：1）；2）。1）、解：主值 ,2）、解： 设3+4i的平方根是x+yi，x、yR，则有 x2-y2=3，且 2xy=4，求得 x=2，y=1，或x=-2 y=-1，故3

2、+4i的平方根是 2+i，或-2-i，故答案为：2+i，或-2-i 2、下列函数在复平面上何处可导？何处解析？1）；2）。1）；解：因为 f(z)=|z| 当趋于0-时 f(z)=|-1； 当趋于0+时 f(z)=|1； 右极限不等于左极限。所以f(z)=|z|在z=0处不可导，而在除0以外的其他地方都可导且解析。2）。解：仅在直线上可导，在复平面上处处不解析。3、函数是否为解析函数？求出其导数。解：不是解析函数，因为满足条件的只有两个点，不成区域4、已知，求。解：5、计算积分 1）；解：1）； 2）；解：在内只有一个极点，所以令，所以3） ；解: 4） 。解： 四、证明：若积分路径不经过，则

3、。证明：如果积分路径不经过，且不绕过， 则由柯西定理得，若积分绕z=转 圈，则积分值为 若绕z = -i转 圈，则积分值为故在一般情况下，积分值为五、证明：设是的共轭调和函数，问下列各对函数中后者是不是前者的共轭调和函数？判断并给出理由：1）（为常数）；2）。1）证明：2） 不是 的共轭调和函数证明： 因为在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部，反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数。和不满足此条件，应该是2uv是的共轭调和函数。综上所述，不是 的共轭调和函数。复变函数作业二一、判断1、在z=0收敛，在z=3发散。（ F）2、在区域内解析，且在

4、区间（-R，R）取实数值的函数f(z)展开成z的幂级数时，展开式的系数都是实数。（ T）3、在圆环区域内不能展开成罗朗级数。（ F）4、z=0是的本性奇点。（ T）二、填空1、的收敛半径为 。2、展开成z的幂级数的收敛半径= 。3、z=0是的 3 级零点。4、以z=a为m级和n级极点，则z=a为的 m+n 级 极 点。三、计算1、求在处的泰勒展开式。解：2、 求解：3、 求在z=1处的泰勒展开式。解：当z=1时，此函数的泰勒展开式为：（z-1）3-(z-1)2-3(z-1)4、将在以为中心的圆环域内展开为罗朗级数。解: 四、若为整函数，且，则是不高于n 次的多项式。证明：当时，令当时，复变函数

5、作业三一、 判断题（对的用“T”表示，错的用“F”表示）1、若在区域内单叶解析，则在内。（F）2、线性变换将平面上的圆周变为圆周或直线。（T ）3、解析函数具有保形性。（F）4、函数在可去奇点处的留数为0。（ F ）二、 填空题1、方程在单位圆内有      6   个根。2、关于的对称点为 x²+(y-1)²=1 。3、，则= 4 。4、在点处的旋转角为           ，伸缩率为    20      。三、 计算题1、解：设f1(z)=1/(z-2)(z-48)(z-50)，f2(z)=1/(z-1)(z-48)(z-50)，f3(z)=1/(z-1)(z-2)(z-50)，则答案为 2if1(1)+f2(2)+f3(48)2、解：3、解： 4、求把平面的单位圆变为平面的单位圆，并使1成为不动点，使变为无穷远点的线性变换。解：依题意得，设 ，因为1+i关于单位圆的对称点为 ，无穷远点关于单位圆的对称点是0，5、 求把平面的单位圆 变为平面的单位圆的线性变换，使。解：设圆周内部一点Z=a()变为w=0,点a(a