分式不等式地解法讲义

1、WORD格式不等式的解法1一元二次不等式的解法(1)含有未知数的最高次数是二次的一元不等式叫做一元二次不等式(2)一元二次不等式的解法(如下表所示 )设 a0， x ， x 是一元二次方程ax2 bx c0 的两实根，且x x2121(3)对于一元二次不等式的解法需注意： xa 0(a b)的解集为： x|xa 或 x b ；xa 0(a b)的解集为： x|a x b x bx b从函数观点来看，一元二次不等式ax2 bx c0(a 0)的解集是一元二次函数yax2 bx c(a 0)在 x 轴上方的点的横坐标的集合三个“二次的关系常说的三个“二次即指二次函数、 一元二次方程和一元二次不等式

2、， 这三者之间有着密切的联系， 这种联系点可以成为高考中的命题点 处理其中某类问题时， 要善于产生对于另外两个“二次的联想，或进展转化，或帮助分析具体到解一元二次不等式时，就是要善于利用相应的二次函数的图象进展解题分析， 要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等式的解集区间的端点值的联系2解一元二次不等式的方法：(1)图象法：先求不等式对应方程的根，再根据图象写出解集(2)公式法步骤：先化成标准型：ax2 bx c 0(或 0)，且 a0；计算对应方程的判别式；求对应方程的根；利用口诀“大于零在两边，小于零在中间写出解集3解绝对值不等式的根本思想专业资料整理WORD格式1解绝对值不等式的根本思想

3、是去掉绝对值符号，把带有绝对值号的不等式等价转化为不含绝对值号的不等式求解，常采用的方法是讨论符号和平方，例如：(1) 假设 a0，那么 x a" a x a" x2 a2；(2) 假设 a0，那么 x a" x a，或 x a" x2 a2；(3) |f ( x)|< g( x) " g( x)< f ( x)< g( x)；(4)|f ( x)|>g( x) "f ( x)> g( x)或 f ( x)<g( x)(无论 g( x)是否为正)常用的方法有：(1) 由定义分段讨论；(2)利用绝对值

4、不等式的性质；(3) 平方2常见绝对值不等式及解法：(1)|f(x)| (a0)"f(x) a或f() a；ax(2)|f ( x)| a( a0) " af ( x) a；(3)|x 1|x 2| ()，用零点分区间法aab4一般分式不等式的解法：(1)整理成标准型f x 0(或 0)或f x 0(或 0)g xg x(2)化成整式不等式来解： f x 0" f(x) ·g(x) 0 g x f x 0" f(x) ·g(x) 0 g x f x 0"f x·g x0g xg x 0 f x 0"f x

5、·g x0g xg x 0(3)再讨论各因子的符号或按数轴标根法写出解集热点考点题型探析考点 1一元二次不等式的解法题型 1.解一元二次不等式 例 1 不等式x2x 的解集是()A ,0B.0,1C.1,D.,01,【解题思路】严格按解题步骤进展 解析 由x2x 得 x( x1) 0, 所以解集为,01, 应选 D; 别解 : 抓住选择题的特点 , 显然当x2时满足不等式,应选D.【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根题型 2.一元二次不等式的解集求系数. 例 2关于x的不等式ax22xc0 的解集为 (1 , 1) ,求 cx 22xa0的解集.32【解题

6、思路】由韦达定理求系数解析 由 ax 22xc0 的解集为 (1 , 1 ) 知 a0 ,1 , 1为方程 ax22xc0 的两3232个根 , 由韦达定理得112,11c , 解得a12, c2,cx22xa0 即32a32a2x22x 12 0 ,其解集为 (2,3).【名师指引】 一元二次不等式的解集求系数的根本思路是,由不等式的解集求出根, 再由韦达定理求系数专业资料整理WORD格式【新题导练】专业资料整理WORD格式1.不等式a 2 x 2+2( a 2) -40,对一切x R恒成立，那么a 的取值X围是专业资料整理WORD格式A. - ,2B. -2,2C. -2,2D. - ,2

7、)专业资料整理WORD格式解析：可推知 -2 a2,另 a=2 时，原式化为 -4 0，恒成立，-2 a2. 选 B2. 关于x的不等式(m x-1)(x-2)0x|x2，那么 m的取值 ，假设此不等式的解集为X围是A. m 0B.0m 2C. mD.m 0解析：由不等式的解集形式知m 0.答案： D考点 2 含参数不等式的解法题型 1：解含参数有理不等式例 1：解关于x的一元二次不等式x2(3a)x3a0【解题思路】比较根的大小确定解集解析： x2(3a) x 3a0 ，x3xa0当 a3时, xa或 x3，不等式解集为x xa或 x3 ；当 a3时，不等式为x20 ，解集为 x xR且 x

8、 3 ；3当 a 3时, x 3或x a ，不等式解集为x x3或 xa【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:根据二次项系数 (大于 0,小于0,等于 0);根据根的判别式讨论(0,0,0).根据根的大小讨论( x1x2, x1x2 , x1x2).题型 2：解简单的指数不等式和对数不等式例 2. 解不等式 log a(1 1 ) 1(a 0, a1)x【解题思路】借助于单调性进展分类讨论110解析 (1)当 a 1 时，原不等式等价于不等式组x11ax专业资料整理WORD格式由此得 1a1 .因为 1 a 0，所以 x 0，1 x 0.x1a110(2)当 0 a 1 时，原

9、不等式等价于不等式组：x11ax由得 x 1 或 x 0，由得0 x1，1 x1.1a1a综上，当 a1 时，不等式的解集是 x| 1a x 0 ，当 0 a 1 时，不等式的解集为1 x|1 x1.1a【名师指引】 解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般的不等式 ( 组 ) 来求解，当底数含参数时要进展分类讨论.【新题导练】3. 关于x的不等式63x22mxm20 的解集为()A.(m , m)B.( m ,m)C. (,m )( m , )D.以上答案都不对977997解析 : 原不等式可化为(xm)(xm)0,需对 m 分三种情况讨论,即不等式的解集与m 有

10、关.974.解关于x的不等式： ax22(a1)x40解析： (ax2)( x2)0222(a1)aa当 a122x |2x2；aa当 0a122x | 2 x2，aa当 a 0( ax 2)( x2) 0x | x2或 x 2aa0x2; a1x5.考点 3分式不等式及高次不等式的解法例 5解不等式 : ( x21)(x26x 8)0【解题思路】先分解因式,再标根求解 解析 原不等式(x1)(x1)(x2)( x4)0 ,各因式根依次为-1,1,2,4, 在数轴上标根如下 :专业资料整理WORD格式-1124x所以不等式的解集为(, 11,24,) .【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一

11、般用根轴法,要注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系 .【新题导练】5. 假设关于x的不等式xa0 的解集是( 3,1)(2,) ,那么a的值为_(x 3)( x 1)a2 .解析 : 原不等式(xa)( x 3)( x1) 0, 结合题意画出图可知6. 解关于x的不等式(a1)x 21x( a0)ax 1解：假设0a5111515) ；2，那么原不等式的解集为(，)(，a22假设a5 1，那么原不等式的解集为 (15 ，) ；22假设a51，那么原不等式的解集为( 15， 1)(15 ，)22a27. *省*中学20212021学年度高三第一学段考试解不等式 x x 2( 1 )4 2

12、 x2.2解析：2 x 2(1) 42x222x2 2 2x412 2即 23x21552 2得 x所以原不等式的解集为 x | x66考点 4 简单的恒成立问题题型 1: 由二次函数的性质求参数的取值X围例 1. 假设关于x的不等式ax22x20 在R上恒成立,*数a的取值X围.【解题思路】结合二次函数的图象求解 解析 当a 0时 , 不等式2x20 解集不为R,故 a0不满足题意 ;当 a 0 时,要使原不等式解集为a01R ,只需42a, 解得a2202综上 , 所*数a的取值X围为(1,)2a0【名师指引】不等式 ax2bxc0 对一切 xR 恒成立ba 00 或4ac 0cb20专业

13、资料整理WORD格式a0a0不等式 ax2bxc0 对任意 x R 恒成立b0 或b24ac0c0题型 2. 转化为二次函数的最值求参数的取值X围【解题思路】先别离系数, 再由二次函数最值确定取值X围 .解析 (1) 设f ( x)ax2bxc(a0).由f (0)1得 c1,故f ( x)ax2bx1 . f ( x1)f (x)2x a( x1)2b(x1)1(ax2bx1) 2x即 2axa b 2x ,所以 2a 2, ab0 ,解得 a1,b1 f ( x)x2x1(2)由(1)知 x2x12xm 在1,1恒成立 即 mx23x1在 1,1恒成立.,令 g( x)x23x1( x3)

14、25,那么g( x)在1,1上单调递减 .所以g( x)在1,1 上24的最大值为 g(1)1.所以m的取值X围是(,1) .【名师指引】 mf (x)对一切 xR 恒成立,那么m f (x)min;mf (x) 对一切 xR 恒成立 , 那么m f (x)max;【新题导练】不等式 ax 24xa12x2对一切xR恒成立，那么实数a的取值X围是_8. 解析 ：不等式ax24xa12x 2对一切xR恒成立,即 (a2) x24x a10 对一切xR恒成立假设 a2 =0,显然不成立假设 a20，那么a 20 a209.假设不等式 x2ax 10 对于一切 x 0，1成立，那么 a 的取值X围是

15、2A 0B 25D -3C -2解析：设 f x x2 ax 1，那么对称轴为xa ,假设a1，即 a 1时，那么 f x在222 0，1上是减函数，应有f1 0 5x 1222假设a0，即 a0 时，那么 fx在0，1上是增函数，应有 f010 恒成立，故 a 022假设 0 a1，即1a 0，那么应有 faa2 a211a20 恒成立，222424故 1a 0综上，有5a,应选 C 2抢分频道根底稳固训练1. 不等式x25x 60 的解集是_专业资料整理WORD格式解析 : 将不等式转化成x25x6 0，即x1x 6 0 .2. 假设不等式x2ax b0 的解集为 x | 2x3 ,那么不

16、等式 bx2ax10 的解集为_. 解析 : 先由方程x2axb0的两根为2 和 3求得 a,b 后再解不等式bx2ax 1 0 .得1 1,2 33. (*省五校2021年高三上期末联考 )假设关于x 的不等式g(x)a2a 1(x R) 的解集为空集，那么实数a 的取值X围是解析： g( x) a2a 1(xR) 的解集为空集，就是1= g( x) maxa2a1所以 a(,1)(0,)4(08* ) 设命题P：函数f ( x) lg( ax 2x1 a) 的定义域为R；命题q ：不等式161 2x 1 ax对一切正实数均成立。如果命题p 或 q 为真命题，命题p 且 q 为假命题，*数

17、a的取值X围。解：命题 P 为真命题函数 f (x) lg( ax 2x1 a) 定义域为R1 a16ax 2x0对任意实数x均成立a0时x0 解集为R，或16a0a211a20命题 P 为真命题a245. 解关于 x 的不等式k(1 x)1 0 (k0，k1).x2原不等式即 (1k) xk20，x21°假设 k=0，原不等式的解集为空集；2°假设 1 k>0，即 0<k<1 时，原不等式等价于( x2k )( x2)0,1k此时 2k 2= 2k >0，1k1k假设 0<k<1，由原不等式的解集为 x|2<x<2k ；1k

18、3°假设 1 k<0，即 k>1 时，原不等式等价于( x2k )( x2)0,1k此时恒有 2>2k ，所以原不等式的解集为x|x<2k，或 x>2.1k1k综合拔高训练6. . ，且，解关于x 的不等式：专业资料整理WORD格式1log 2 ( a x1)log 4 (4a x ).2解：原不等式等价于1log 2 (a x1)1 log2 (4a x ),1 2log 2 (a x1) log 2 (4 a x )22log 2 ( a x1) 22log 2 (4a x )a x10(1)原不等式同解于4a x0(2)7 分2( ax1) 24a

19、 x (3)，由得 由得 2(a x ) 23ax20,1a x2从而 12分当 1 时，原不等式解为 当 时，原不等式解为 6.(*省*外国语学校2021届第三次质检 )据调查，某地区 100 万从事传统农业的农民，人均收入 3000 元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进展深加工，同时吸收当地局部农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x 0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a 元 a 0。（ I 在建立加工企业后， 要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农

20、民的年总收入，试求 x 的取值X围； II 在 I 的条件下，当地政府应该如何引导农民即x 多大时，能使这 100 万农民的人均年收入到达最大。解： I 由题意得 100-x·3000· 1+2x% 100×3000，即 x2 50x0，解得0x50，又 x 0 0 x50；II 设这 100万农民的人均年收入为y 元，那么y= (100 x) ×3000 ×(1+2x%)+3000ax=60x2+3000(a+1) x+300000100100322=5x 25(a+1)+3000+475( a+1)(0< x 50)（ i 当 0<25( a+1) 50，即 0a1，当 x=25( a+1) 时， y 最大；ii 当 25(a+1) 50，即 a 1，函数 y 在 0,50 单调递增，当x=50 时， y 取最大值答：在 0 a1时，安排 25(a +1)万人进入企业工作，在a 1 时安排 50 万