第三十五讲 二阶常系数线性非齐次微分方程_第1页
第三十五讲 二阶常系数线性非齐次微分方程_第2页
第三十五讲 二阶常系数线性非齐次微分方程_第3页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、第三十五讲 二阶常系数线性非齐次微分方程重点：二阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法难点：二阶常系数线性非齐次微分方程特解的形式形如 （1）的微分方程，其中、为常数，称为二阶常系数线性非齐次微分方程，简称二阶常系数线性非齐次方程。我们把方程 （2）叫做方程（1）对应的齐次方程。下面讨论二阶线性非齐次微分方程（1）的解，为此，我们先讨论二阶常系数线性非齐次方程解的结构。一、二阶常系数线性非齐次方程解的结构在第三节中我们已经看到，一阶线性非齐次微分方程的通解由两部分构成：一部分是对应的齐次方程的通解；另一部分是非齐次方程本身的一个特解。实际上，不仅一阶线性非齐次微分方程的通解具有这样的结构，而且二

2、阶及更高阶线性非齐次微分方程的通解也具有同样的结构。定理7.3 如果函数是二阶常系数线性非齐次微分方程（1）的一个特解，是它对应的齐次方程（2）的通解，则 （3）是二阶常系数线性非齐次微分方程（1）的通解。根据以上的讨论，求二阶线性非齐次微分方程通解的一般步骤：（1）求对应齐次方程的线性无关的两个特解与。因此该齐次方程的通解为。（2）求二阶线性非齐次微分方程的一个特解，那么，二阶线性非齐次微分方程的通解为=。二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法由定理1知道，二阶常系数线性非齐次方程的通解是对应的齐次方程的通解与其自身的一个特解之和。而求二阶常系数线性齐次方程的通解问题已经解决，所以求线性非齐

3、次方程的通解的关键在于求其一个特解。下面介绍方程中取两种常见形式时求的方法。这种方法的特点是不用积分就可以求出来，它叫做待定系数法。（1）型设二阶常系数线性非齐次方程为 （5）其中为的次多项式。因为、均为常数且指数函数的导数仍为指数函数，多项式的导数仍为多项式，不难验证，（5）式的特解为 其中与是同次多项式。若不是对应齐次方程的特征方程的特征根，k=0；若是特征根且为单根，k=1；若是特征根且为重根，k=2。例1 求方程的特解。例2 求方程的一个特解。例3 求方程的特解。（2）=型设二阶常系数线性非齐次方程 （6）其中a、b、均为常数。由于、均为常数且指数函数的导数仍为指数函数，正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，不难验证，（6）式的特解为 其中、为待定常数。若不是对应齐次方程的特征根时，k=0；若是特征根且为单根时，k=1。例4 求方程的特解。例5 求方程的通解。定理7.4 设二阶常系数线性非齐次微分方程为 （4）且与分别是 和 的特解，则是方程（4）的特解。这一定理通常称为线性非齐次微分方程的解的叠加原理。例6 求方程的通解。解 原方程对应齐次方程的特征方程为 解之，得特征根 ，。于是，对应齐次方程的通解为 。对于二阶常系数线性

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 辅导培训

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论