连续型随机变量

1、第6讲 连续型随机变量 随机变量的分布函数教学目的：使学生理解连续型随机变量和随机变量分布函数的概念，了解几个常用连续型随机变量的分布，会求离散型和连续型随机变量的分布函数。教学重点：连续型随机变量和随机变量分布函数的概念。教学难点：学生对连续型随机变量和随机变量分布函数概念的理解。教学时数：2学时教学过程：第二章 随机变量及其分布2.4 连续型随机变量离散型随机变量是不能在某个区间上连续取值的，但在自然和社会的现象中，有许多随机变量是可以在某个区间上连续取值的，这类非离散型随机变量中最常见的是连续型随机变量。定义1 若随机变量的取值范围是某个实数区间（有界或无界），且存在非负函数，使得对于任

2、意区间有则称为连续型随机变量，函数称为连续随机变量的概率密度函数，简称概率密度。概率密度函数的性质：（1），（2）。注 （1）满足性质（1）和性质（2）的函数必为某一连续型随机变量的概率密度函数；（2）对于连续型随机变量来说，这表明连续型随机变量取任何实数的概率都为零。（3）发生的概率为0的事件未必不发生。（4）对于连续型随机变量，有例1设连续型随机变量X的概率密度为求：（1）系数；（2）随机变量X的概率分布的中值，即应满足等式解 （1）由概率密度函数的性质（2）有即，故有。（2）因为，所以应有而故例2 设随机变量X的概率密度为（1）确定常数；（2）求。解 （1）由，得解得，于是X的概率密度为

3、（2）。2.5 几种常用的连续型随机变量的分布1. 均匀分布定义2 设随机变量X的概率密度为则称随机变量X在区间上服从均匀分布，记作，其中是分布参数。注 (1) 因为对于任意,所以服从均匀分布的随机变量落在内任何长为的小区间内的概率与小区间的位置无关，只与其长度成正比。(2)在数值计算中，由于“四舍五入”最后一位数字所引起的随机误差，在刻度器上读数时，把零头数化为最近整分度时所发生的随机误差等都可以认为服从均匀分布的。例3 用电子表计时一般准确至百分之一秒，即若以秒为时间的计量单位，则小数点后第二位数字是按“四舍五入”原则得到的。求由此产生的计时误差的概率密度。解 由题意知，计时误差X可能取得

4、区间上的任意数值，并在此区间上服从均匀分布，X的概率密度为例4 设电阻值R是一个随机变量，R在上服从均匀分布，求R的概率密度及R在上取值的概率。解 按题意，R的概率密度为故有2指数分布定义3 设随机变量X的概率密度为则称随机变量X服从指数分布，记作，其中是分布参数。注 可用服从指数分布的随机变量描述的现象有：（1）随机服务系统中的服务时间；（2）电话问题中的通话时间；（3）无线电元件的寿命及动物的寿命，指数分布常作为各种“寿命”分布的近似。 例5 已知某电子元件厂生产的电子元件的寿命(h)服从指数分布(3000)。该厂规定寿命低于300（h）的元件可以退换，问该厂被退换元件的数量大约占总产量的

5、百分之几？解 因为的概率密度为故有所以，该厂退换元件的数量大约占总产量的9.5%。2.6 随机变量的分布函数1随机变量分布函数的概念为了更进一步研究随机变量的概率分布，我们引入随机变量分布函数的概念。定义4 设是随机变量，是任意实数，则事件的概率称为随机变量X的分布函数，记作，即注（1）对于任意实数，有，（2）分布函数是一个普通的函数，正是通过它使我们能用数学分析的方法来研究随机变量。（3）如果把随机变量的取值看成是数轴上随机点的坐标，那么，分布函数在处的函数值就等于随机变量取区间上的值的概率。2离散型随机变量分布函数的求法设是离散型随机变量，并有概率函数，则由分布函数的定义知例6 设离散型随机变量的概率分布为-123求：（1）的分布函数；（2）求。解 （1）由得 即（2），由例6可知，离散型随机变量的分布函数是分段阶梯函数，在的可能取值处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度。3连续型随机变量分布函数的求法设是连续型随机变量，并有概率密度，则由分布函数的定义知且在的连续点处，有。例7 设连续型随机变量的概率密度为求：（1）X的分布函数；（2）。解 （1）由得即（2）。由例7可知，连续型随机变量的分布函数在上处处连续连续